2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高一上学期期末考试数学试卷含答案

  长安一中2021—2022学年度第一学期期末考试

高一数学试题

一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集，集合则下图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增函数是（    ）

A  B.  C.  D.

3. 函数的一个零点所在的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 若两个非零向量，满足，则与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 函数，若，，，则（    ）

A.  B.  

C.  D.

6. 在的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 将函数图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（    ）

A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增

C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增

8. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，，，则（    ）

A.  B.  

C.  D.

10. 已知函数，下列说法错误的是（    ）

A. 函数在上单调递减

B. 函数是最小正周期为的周期函数

C. 若，则方程在区间内，最多有4个不同根

D. 函数在区间内，共有6个零点

11. 函数的图象如图所示，则在区间上的零点之和为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 若，则（    ）

A  B.  C.  D.

13. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

14. 如图，在平面四边形ABCD，，，，．若点E为边上的动点，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．

15. 已知向量，，若，则的值为________.

16. 若，则________.

17. 若，，则________.

18. 已知函数，的部分图象如图所示，其中点A，B分别是函数的图象的一个零点和一个最低点，且点A的横坐标为，，则的值为________.

19. 已知函数，则下列说法正确的有________.

①的图象可由的图象向右平移个单位长度得到

②在上单调递增

③在内有2个零点

④在上的最大值为

20. 设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝____________.

三、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21. 函数

（1）当时，求函数的值域；

（2）当时，求函数的最小值．

22. 已知向量，，．

（1）若，求向量与的夹角；

（2）若函数．求当时函数的值域．

23. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆）需另投入成本y（万元），且由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．

（1）求出2020年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额减去成本）

（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．

24. 已知函数，（为常数）.

（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；

（3）讨论零点的个数.

答案

1-10 CDBCA  CDACB  11-14 DBAA

15.

16. 16

17.

18. ##

19. ②③

20.

21.（1）解：由题意，函数，

可得函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在区间上的最大值为，最小值为，

综上函数在上的值域为.

（2）解：①当时，函数在区间上单调递减，最小值为；

②当时，函数在区间上单调递减，

在区间上单调递增，最小值为；

③当时，函数在区间上单调递增，最小值为，

综上可得：当时，函数的最小值为；当，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.

22.（1）解：因为，

当时，，又.

所以，，，

所以，

因为，

所以向量与的夹角为.

（2）解:因为，，

所以，

当时，，

所以，则

因此函数在时的值域为

23.（1）解：由题意得当，，

当时，，

所以；

（2）当时，，

当时，，

当时，

由对勾函数，当时，

，时，，

时，

即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元

24. （1）当时，且时，是单调递减的.

证明：设，则

又且，

故当时，在上是单调递减的.

（2）由得，变形为，即，

设，令，则，

由二次函数的性质，可得，所以，解得.

（3）由有个零点可得有两个解，

转化为方程有两个解，

令，作的图像及直线图像有两个交点，

由图像可得：

i）当或，即或时，有个零点.

ii）当或或时，由个零点；

iii）当或时，有个零点.