2021-2022学年陕西省咸阳市武功县高一下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年陕西省咸阳市武功县高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（       ）

A．该市参加升学考试的全体学生是总体

B．1000名学生的数学成绩是样本

C．1000名学生是样本容量

D．1000名学生中的每一名学生是个体

【答案】B

【分析】根据总体、样本、样本容量、个体的概念分析可得答案.

【详解】该市参加升学考试的全体学生的数学成绩是总体，故A不正确；

1000名学生的数学成绩是样本是正确；

1000是样本容量，故C不正确；

1000名学生中的每一名学生的数学成绩是个体，故D不正确.

故选：B

2．已知角为第四象限角，则点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据三角函数的定义判断、的符号，即可判断.

【详解】因为是第四象限角，所以，，则点位于第三象限，

故选：C

3．如图是根据x，y的观测数据得到的散点图，可以判断变量x，y具有线性相关关系的图是（       ）

A．①② B．③④ C．②③ D．①④

【答案】B

【分析】根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左上到右下或从左下到右上，再依次判断即可.

【详解】若变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左上到右下或从左下到右上，

所以③④图的变量具有线性相关关系.

故选：B

4．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若，则与的终边相同；④若，是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.

【详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；

对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；

对于③，若，则与的终边相同，或关于轴对称，③错误；

对于④，若，则是第二或第三象限的角，或终边在负半轴上，④错误；

综上，其中正确命题是②，只有个.

故选：

【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.

5．下列事件中，随机事件的个数是（       ）

①2022年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④，则的值不小于0．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据各项的描述，判断随机事件、必然事件、不可能事件，进而确定随机事件的个数.

【详解】①2022年8月18日，北京市不下雨，随机事件；

②在标准大气压下，水在4℃时结冰，不可能事件；

③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，是随机事件；

④，则的值不小于0，必然事件；

∴随机事件有①、③.

故选：B

6．抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（       ）

A．抛掷硬币10次，事件A必发生5次

B．抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次

C．抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5

D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小

【答案】D

【分析】根据频率与概率的关系可得答案.

【详解】不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；

随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；

故选：D

7．某高中学校开展学生对宿舍管理员满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生1100人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生900人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高一年级学生人数为（       ）

A．18 B．20 C．22 D．30

【答案】C

【分析】求出高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生之比，然后可得答案.

【详解】该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生之比为

所以抽取的高一年级学生人数为

故选：C

8．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学来讲解本题的解答思路，则下列各组事件中，互斥且对立的事件是（       ）

A．“恰有1名男生”与“恰有2名男生”

B．“至少有1名男生”与“全是男生”

C．“至少有1名男生”与“全是女生”

D．“至少有一名男生”与“至少有一名女生”

【答案】C

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐个分析可得答案.

【详解】“恰有1名男生”与“恰有2名男生”是互斥事件，但不是对立事件，故A不正确；

“至少有1名男生”与“全是男生”既不是互斥事件，也不是对立事件，故B不正确；

“至少有1名男生”与“全是女生”既是互斥事件也是对立事件，故C正确；

“至少有一名男生”与“至少有一名女生” 既不是互斥事件，也不是对立事件，故D不正确.

故选：C

9．有诗云：“芍药乘春宠，何曾羡牡丹.”芍药不仅观赏性强，且具有药用价值.某地打造了以芍药为主的花海大世界.其中一片花海是正方形，它的四个角的白色部分都是以正方形的顶点为圆心､正方形边长的一半为半径的圆弧与正方形的边所围成的（如图所示）.白色部分种植白芍，中间阴影部分种植红芍.倘若你置身此正方形花海之中，则恰好处在红芍中的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设正方形的边长为，分别求得正方形与阴影部分的面积，结合面积比的几何摡型，即可求解.

【详解】由题意，设正方形的边长为，可得以正方形的顶点为圆心的圆的半径为，

可得正方形的面积为，

阴影部分的面积为，

根据面积比的几何概型，可得恰好处在红芍中的概率是.

故选：A.

10．某区创建全国文明城市指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评，工作人员在本区选取了甲，乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个实地点位进行现场测评，下面的茎叶图是两个街道的测评分数（满分100分），下列说法正确的是（       ）

A．甲，乙两个街道的测评分数的极差相等

B．甲，乙两个街道的测评分数的平均数相等

C．街道乙的测评分数的众数为87

D．甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数比较大

【答案】D

【分析】计算甲，乙两个街道的测评分数的极差，判断A;求得两街道测评分数的平均数，判断B;观察得到乙街道测评分数的众数，判断C;求得甲，乙两个街道的测评分数的中位数，判断D.

【详解】街道甲的测评分数的极差是，街道乙的测评分数的的极差是，两者不相等，故A错误;

街道甲的测评分数的平均数为 ，街道乙的测评分数的平均数为，故B错误；

街道乙的测评分数的众数为81，故C错误；

街道甲的测评分数的中位数为，街道乙的测评分数的中位数为,故D正确，

故选:D．

11．如图是一程序框图，则输出结果为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】按照程序框图的流程依次执行，确定输出结果.

【详解】首先，

第一次循环，，

第二次循环，

第三次循环，，

第四次循环，，

第五次循环，，

输出，

故选：B.

12．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（       ）

A．  B．  C．  D．

【答案】A

【解析】先求出基本事件总数，再求出田忌的马获胜包含的基本事件种数，由此能求出田忌的马获胜的概率.

【详解】分别用A，B，C表示齐王的上、中、下等马，用a，b，c表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba，Ca，Cb共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为.

故选：A.

【点睛】本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.

二、填空题

13．国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”，某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一名学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第12行第5列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第4个号码为______.（注:如下为随机数表的第12行和第13行）

16   00   11   66   14   90   84   45   11   65   73   88   05   90   52   27   41   14   86   22

12   22   08   07   52   74   95   80   35   69   68   32   50   61   28   47   39   75   34   58

【答案】05

【分析】根据随机数表法可求出结果.

【详解】根据题意可得其中不在编号范围内，舍去，第二个重复，舍去，剩下的号码为，故选取的第4个号码为.

故答案为：.

14．已知，则的值为______.

【答案】3

【分析】利用诱导公式化简后，弦化切，再代入即可得解.

【详解】.

故答案为：.

15．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数的值越小，表明空气质量越好，AQI指数不超过50，空气质量为“优”；AQI指数大于50且不超过100，空气质量为“良”；AQI指数大于100，空气质量为“污染”.如图是某市2021年空气质量指数（AQI）的月折线图.下列关于该市2021年空气质量的叙述中，不正确的是______.（填序号）

①全年的平均AQI指数对应的空气质量等级为优或良；

②每月都至少有一天空气质量为优；

③2月，8月，9月和12月均出现污染天气；

④空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份.

【答案】④

【分析】根据折线图观察可得答案.

【详解】对于①，根据AQI指数月折线图可知，全年的AQI指数都小于100，故全年的平均AQI指数对应的空气质量等级为优或良，故①正确；

对于②，1月、3月、4月、5月、6月、7月、10月、11月的AQI指数的最大值不超过100，故②正确；

对于③，2月，8月，9月和12月的AQI指数的最大值超过了100，故③正确；

对于④，从折线图只能知道，2月AQI指数的最大值最大，不能说明2月的空气质量为“污染”的天数最多，故④不正确.

故答案为：④.

16．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中的长度为______.

【答案】

【分析】设圆的半径为，根据勾股定理可求得的值，求出，利用扇形的弧长公式可求得结果.

【详解】设圆的半径为，则，，

由勾股定理可得，即，解得，

所以，，，所以，，故，

因此，，

故答案为：.

三、解答题

17．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位:吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中的值；

(2)设该市有30万居民，试估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.

【答案】(1)

(2)3.6万

【分析】（1）根据所有矩形面积和等于1，列方程可求出结果；

（2）根据频率分布直方图求出月均用水量不低于3吨的频率，再乘以万可得结果.

【详解】(1)∵，

∴.

(2)由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：，

因为

∴全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万.

18．某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.

（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？

（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？

【答案】（1）； （2）.

【分析】（1）利用互斥事件有一个发生的概率加法公式求得结果；

（2）利用对立事件的概率公式进行求解即可得结果.

【详解】（1）设事件“电话响第声时被接”为，

那么事件彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件，

根据互斥事件概率加法公式，

得

.

（2）事件“打进的电话响4声而不被接”是事件“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为.

根据对立事件的概率公式，得.

【点睛】该题考查的是有关互斥事件有一个发生的概率以及对立事件发生的概率的求解公式，属于简单题目.

19．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位:m/s）的数据如下:

(1)画出数据的茎叶图；

(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m/s）的平均数和方差，并判断选谁参加比赛比较合适？

【答案】(1)作图见解析

(2)甲的平均数为33，乙的平均数为33；甲的方差约为；乙的方差为；选乙参加比赛比较合.

【分析】（1）利用表格中的数据，根据茎叶图的概念可作出茎叶图；

（2）利用平均数和方差的公式分别求出甲、乙的平均数和方差，可知平均数相等，乙的方差比甲的方差小，所以选乙比较合适.

【详解】(1)画出茎叶图如下：

(2)甲的平均数，

乙的平均数，

甲的方差为：，

乙的方差为：

∵甲和乙的平均分相等，但甲的方差大于乙的方差，

∴乙更稳定，乙参加比赛比较合.

20．第130届中国进出口商品交易会(广交会)于2021年10月15日至11月3日举办.其中10月15日～18日的第二期展示中，有两家礼品参展商为了交流感情，进行了如下游戏，在甲参展商的箱子和乙参展商的箱子中分别装有标号为1，2，3的3个形状材质均相同的小礼品盒，现从甲、乙参展商的两个箱子中各取出1个小礼品盒，每个小礼品盒被取出的可能性相等.

(1)求取出的两个小礼品盒标号相同的概率；

(2)若将乙参展商箱子中的小礼品盒全部倒入甲参展商的箱子中，然后从甲参展商的箱子中不放回的随机取出两个小礼品盒，求取出的两个小礼品盒标号相同的概率.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)列举出从两个箱子中各取一个小礼品盒的所有结果，小礼品盒标号相同的结果，再利用古典概型公式计算即得.

(2)将两个箱子中小礼品盒分别编号，再列举出取出两个小礼品盒的所有结果，小礼品盒标号相同的结果，利用古典概型公式计算即得.

【详解】(1)依题意，从两个箱子中各取一个小礼品盒的基本事件有：

(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共9种，

设事件“取出的两个小礼品盒标号相同”，则事件A包含的基本事件有(1，1)，(2，2)，(3，3)，共3种，

于是得，

所以取出的两个小礼品盒标号相同的概率.

(2)分别用，，和，，表示甲、乙两参展商箱子中的小礼品盒，

取出两个小礼品盒的基本事件有：，，，，，，

，，，，，，，，，共15种，

设事件“取出的两个小礼品盒标号相同”，则事件B包含的基本事件有，，，共3种，

于是得，

所以取出的两个小礼品盒标号相同的概率.

21．已知函数

(1)作出函数的简图；

(2)该函数是不是周期函数？如果是，求出它的最小正周期；

(3)写出这个函数的单调递增区间.

【答案】(1)作图见解析

(2)该函数是周期函数，函数的最小正周期为

(3)

【分析】（1）先对函数化简，然后再作其简图，

（2）根据函数的图象求解其最小正周期，

（3）根据函数的图象可求得其单调增区间

【详解】(1)

函数图像如下图所示：

(2)由图像知，该函数是周期函数，且函数的最小正周期为.

(3)由图像知，函数的单调递增区间为.

22．中央办公厅和国务院办公厅联合印发《关于引导农村土地经营权有序流转发展农业适度规模经营的意见》，要求大力发展土地流转和适度规模经营.某种粮大户2017年开始承包了一地区的大规模水田种植水稻，购买了一种水稻收割机若干台，这种水稻收割机随着使用年限的增加，每年的养护费也相应增加，这批水稻收割机自购买使用之日起，5年以来平均每台水稻收割机的养护费用数据统计如表:

(1)求关于的线性回归方程；

(2)若该水稻收割机的购买价格是每台16万元，由（1）中的回归方程，从每台水稻收割机的年平均费用角度，你认为一台该水稻收割机是使用满5年就淘汰，还是继续使用到满8年再淘汰？

参考公式:线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，

【答案】(1)

(2)建议使用8年再淘汰.

【分析】（1）根据最小二乘法公式可求出结果；

（2）根据题意分别求出使用满5年就淘汰和使用到满8年再淘汰时每台水稻收割机年平均费用，比较大小可得答案.

【详解】(1)由表中的数据可得，，,，

∴，.

故关于的线性回归方程为.

(2)若满5年就淘汰，则每台水稻收割机年平均费用为（万元），

若满8年就淘达，则每台水稻收割机年平均费用为（万元），

∵，

∴建议使用8年再淘汰.