2021-2022学年陕西省咸阳市武功县普集高中高一实验班下学期第一次月考数学试题含解析

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2021-2022学年陕西省咸阳市武功县普集高中高一实验班下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．以下三个命题：
①对立事件也是互斥事件；
②一个班级有50人，男生与女生的比例为3：2，利用分层抽样的方法，每个男生被抽到的概率为，每个女生被抽到的概率为；
③若事件，，两两互斥，则.
其中正确命题的个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由对立事件的定义可判断①；由分层抽样的定义可判断②；由互斥事件的概率理解可判断③.
【详解】对于①，由对立事件的定义可知对立事件一定是互斥事件，故①正确；
对应②，可知该班有男生30人，女生20人，由于不知道需要抽取多少人，所以无法得出概率，故②错误；
对应③，事件，，不一定包含所有事件，故，故③错误.
故选：B.
【点睛】本题考查考查对事件互斥、对立的理解，考查对分层抽样的理解，属于基础题.
2．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个不同的数，其和等于15的概率是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先计算从四个阴数和五个阳数共9个数字中随机选取3个不同的数，总共有种选法，再计算符合条件和等于15的三个数的种类，即可算出概率．
【详解】从四个阴数和五个阳数共9个数字中随机选取3个不同的数，总共有种选法，
其和等于15的三个数的种类共有8种，即：（图形中各横，各列，对角线所在的三个数字之和均为．
故其和等于15的概率是：，
故选：．
【点睛】本题考查古典概型的概率计算，运用分类和分步分别选出符合条件的种类，找出古典概型的分子和分母是关键，属于中等题．
3．从一批零件中抽取个，测量其直径（单位：），将所得数据分为组：、、、、，并整理得到频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径不小于的个数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据频率分布直方图计算直径不小于的零件所占的频率，乘以即可得出结果.
【详解】由频率分布直方图可知，直径不小于的零件所占的频率为，
因此，在被抽取的零件中，直径不小于的个数为.
故选：C.
4．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（　　）
A．45 B．54 C．90 D．126
【答案】C
【分析】由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的容量n．
【详解】解：A种型号产品所占的比例为，
，故样本容量n=90．
故选C．
【点睛】本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．
5．下列命题是真命题的是（       ）
A．有甲､乙､丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为，则样本容量为
B．若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲
C．数据，，，，，的平均数､众数､中位数相同
D．某单位､､三个部门平均年龄为岁､岁和岁，又，两部门人员平均年龄为岁，､两部门人员平均年龄为岁，则该单位全体人员的平均年龄为岁
【答案】D
【分析】对于选项根据分层抽样的定义可判断正误，对于选项求出乙组数据的方程，与甲组数据的方差比较，可判断正误，对于选项求出数据的平均数、众数、中位数即可判断正误，对于选项设，，三个部门的人数为，，，根据题意可得，，从而求出该单位全体人员的平均年龄．
【详解】解：对于选项：如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为，故选项是假命题，
对于选项：乙组数据的平均数为，方差为，
因为乙组数据的方程比甲组数据的方差小，所以这两组数据中较稳定的是乙，
故选项是假命题，
对于选项：数据1，2，3，4，4，5的平均数为、众数为4、中位数为，故选项是假命题，
对于选项：设，，三个部门的人数为，，，则有：
，化简得，
，化简得，
所以该单位全体人员的平均年龄为岁，
故选项是真命题，
故选：．
6．根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是（ ）
A．至少有一个样本点落在回归直线上
B．若所有样本点都在回归直线上，则变量同的相关系数为1
C．对所有的解释变量（），的值一定与有误差
D．若回归直线的斜率，则变量x与y正相关
【答案】D
【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误；
所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为，故B错误；
若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C错误；
相关系数r与符号相同，若回归直线的斜率，则，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从这七块小木板中随机抽取2块，这两块的面积相等的概率是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先算出各个小木板的面积，进而根据古典概型加法公式求得答案.
【详解】如图，设正方形EGHI的边长为x（dm），根据题意可知，AE=CE，即.

容易求得,记为S=4，，记为，，记为.
所以所求概率.
故选：A.
8．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为35，21，则输出的（       ）

A．3 B．5 C．7 D．14
【答案】C
【分析】根据程序框图依次运行，写出运行过程，即可得解.
【详解】由题意知：，；，；
，；，.
故选：C.
【点睛】此题考查程序框图的识别，根据框图求输出结果，关键在于弄清框图作用，根据框图准确计算.
9．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意把6根算筹所能表示的两位数列举出来后，计算哪些能被3整除即可得概率．
【详解】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示5和9，
因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除，
所以所求概率为．
故选：D．
【点睛】本题考查古典概型，考查中国古代数学文化，解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两位数．
10．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，4能够构成等腰三角形的概率是(       )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用乘法原理求出基本事件总数，然后按照分类讨论的方法求出a，b，4能够构成等腰三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由乘法原理可知，基本事件的总数是36，
结合已知条件可知，
当时，符合要求，有1种情况；
当时，符合要求，有1种情况；
当时，符合要求，有2种情况；
当时，符合要求，有6种情况；
当时，符合要求，有2种情况；
当时，符合要求，有2种情况，
所以能构成等腰三角形的共有14种情况，
故a，b，4能够构成等腰三角形的概率.
故选：D.
11．如图来自某中学数学研究性学习小组所研究的几何图形，大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有1个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，小球相交部分(图中阴影部分)记为Ⅰ，大球内、小球外的部分(图中黑色部分)记为Ⅱ，若在大球中随机取一点，此点取Ⅰ，Ⅱ的概率分别记为，，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意推知小球半径是大球的一半，建立大球体积小球体积和阴影部分的体积的关系，可推知选项．
【详解】设小球的半径为r，则大球的半径为，体积为，
4个小球的体积之和为，小球相交部分的体积，
大球内、小球外的部分的体积，
所以，从而，，
，
所以选项A、B、D错误，选项C正确．
故选：C.
【点睛】本题主要考查几何概型，考查组合体的体积，空间想象能力，逻辑推理能力，是难题．
12．在圆内任取一点，则该点恰好在区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出不等式组表示的平面区域，得到的及其内部，求得其面积，再求得圆的面积，结合面积比的几何概型，即可求解.
【详解】作出不等式组   表示的平面区域，得到的及其内部，
如图所示，其中，可得，且到的距离为，
所以
因为位于圆的内部，其中圆的面积，
所以在圆内任取一点，
则该点恰好在平面区域内的概率为.
故选：C


二、填空题
13．一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：，6；，4；，10；，8；，8；，4；则样本在上的频率为_________.
【答案】
【分析】根据频率公式，求出对应的频率即可.
【详解】由题意得频率，
故答案为：.
14．总体由编号为00，01..59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从下列随机数表第1行的第9列开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为___________.

【答案】58
【分析】根据随机数表的读取方式，重复出现的数字只读一次即可得出结果．
【详解】由题意，从随机数表第1行的第9列数字0开始，从左到右依次选取两个数字的结果为：00，18，00(舍去)，18(舍去)，38，58，故选出来的第4个个体编号为58.
故答案为：58
15．随着经济发展，江门市居住环境进一步改善，市民休闲活动的公园越来越多，其中，最新打造的网红公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园.某个节假日，甲、乙、丙、丁四组家庭到这个网红公园打卡，通过访问和意向筛查，最后将这四组家庭的意向汇总如下：
公园
儿童公园
湖连潮头中央公园
下沙公园
有意向的家族组
甲、乙、丙
甲、乙、丁
乙、丙、丁
若每组家庭只能从已登记的选择意向中随机选取一项，且每个公园至多有两组家庭选择，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为________.
【答案】
【分析】分以下三种情况枚举所有情况即可，①选儿童公园和湖连潮头中央公园，②选儿童公园和下沙公园，③选下沙公园和湖连潮头中央公园，利用古典概型计算公式即可.
【详解】①选儿童公园和湖连潮头中央公园时，有以下情况：甲丙、乙丁；乙丙、甲丁；
②选儿童公园和下沙公园时，有以下情况：甲乙、丙丁；甲丙、乙丁；
③选下沙公园和湖连潮头中央公园时，有以下情况：甲乙、丙丁；甲丁、乙丙；
④选3个公园时，有以下几种情况：甲乙、丁、丙；甲丙、乙、丁；甲丙、丁、乙；乙丙、甲、丁；
丙、甲乙、丁；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；
甲、丁、乙丙；丙、甲、乙丁；甲、乙、丙丁；乙、甲、丙丁；
共有18种选择，其中甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的4种，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为.
故答案为：.
16．已知为所在平面内一点，且，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在的概率为__________．
【答案】
【详解】
以PB、PA为邻边作平行四边形PADB,则，
∵，
∴,得，
∴,即，
由此可得，P是△ABC边AB上的中线CO的一个三等分点，
点P到AB的距离等于C到AB的距离的.
∴.
将一粒黄豆随机撒在△ABC内,黄豆落在△PBC内的概率为
故答案为.
点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．

三、解答题
17．判断下列两个变量之间是否具有相关关系：
(1)月平均气温与家庭月用电量；
(2)一天中的最高气温与最低气温；
(3)某企业生产的一种商品的销量与其广告费用；
(4)谷物的价格与牛肉的价格；
(5)在公式中的L与W．
【答案】(1)不具有；
(2)不具有；
(3)具有；
(4)不具有；
(5)不具有.
【分析】根据相关关系的定义逐一判断即可.
【详解】(1)月平均气温的高低不受家庭月用电量的影响，两个变量之间不具有相关关系；
(2)一天中的最高气温不受最低气温的影响，两个变量之间不具有相关关系；
(3)企业生产的一种商品的销量除了受其广告费用影响，还受其它因素影响，比如商品的质量等，因此这两个变量之间具有相关关系；
(4)谷物的价格不受牛肉的价格影响，两个变量之间不具有相关关系；
(5)
在公式中，给定L一个值，W有唯一确定的值与之对应，是函数关系，不具有相关关系.
18．一个袋子中装有5个形状、大小完全相同的球，其中红球1个、白球3个、黑球1个，现在从袋子中抽取球，每次随机取出一个，抽取这些球的时候，无法看到球的颜色．
（1）现从袋子中无放回地取球两次，求取出的球都是白球的概率；
（2）现在有放回地取球两次，规定取出一个红球记1分，取出一个白球记2分，取出一个黑球记3分，求取出两球后得分之和为4分的概率．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意一一列举出所有的基本事件，再列出所取的球全部是白球的事件，按照古典概率的公式进行计算即可；
（2）根据题意一一列举出所有的基本事件，再计算出所有得分之和为4的事件的个数，按照古典概率的公式进行计算即可；
【详解】（1）设无放回地取两次球的事件总数为，所有基本事件如下：
（红，白1），（红，白2），（红，白3），（红，黑），
（白1，红），（白1，白2），（白1，白3），（白1，黑），
（白2，红），（白2，白1），（白2，白3），（白2，黑），
（白3，红），（白3，白1），（白3，白2），（白3，黑），
（黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，白3），故
设事件：“现从袋子中无放回地取球两次，取出的球都是白色”，包括（白1，白2），（白1，白3），（白2，白1），（白2，白3），（白3，白1），（白3，白2），共6个．
所以
（2）设有放回地取两次球的事件总数为，所有基本事件如下：
（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，白3），（红，黑），
（白1，红），（白1，白1），（白1，白2），（白1，白3），（白1，黑），
（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，白3），（白2，黑），
（白3，红），（白3，白1），（白3，白2），（白3，白3），（白3，黑），
（黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，白3），（黑，黑），故．
设事件：“现从袋子中有放回地取球两次，得分之和为4分”
包括一红一黑和两个白球，共11个．
所以
19．某生物研究小组准备探究某种蜻蜒的翼长分布规律，随机捕捉20只该种蜻蜓，测量它们的翼长（翼长为整数，单位：mm）并绘制成如下的茎叶图和一部分频率分布直方图，其中基叶图中有一处数字看不清（用表示），但已知茎叶图中每一行的数据都按照从小到大的顺序排列且无相同数据频率分布直方图每个分组含左端点不含右端点．

（1）求的值；
（2）根据茎叶图将频率分布直方图补充完整；
（3）分别根据茎叶图和频率分布直方图计算蜻蜓翼长的中位数，并分析哪个中位数可以更准确地反映蜻蜓翼长的总体情况．
【答案】（1）；（2）作图见解析；（3）茎叶图，中位数为；频率分布直方图中，中位数为50；答案见解析．
【分析】（1）先计算出区间中的个体数，然后根据茎叶图分析的取值；
（2）根据茎叶图分别计算，，，，对应的频率除以组距的值，由此可补充频率分布直方图；
（3）茎叶图：取第个和第数据相加然后除以即可得到结果；频率分布直方图：计算频率和为时对应的横坐标的值即为中位数；然后根据茎叶图、频率分布直方图对数据的保存特点分析哪一个统计图的中位数更准确地反映蜻蜓翼长的总体情况.
【详解】解：（1）区间对应的个体个数为，对应的三个数据分别为41，42，43，
因此必须要大于4且小于6，从而．
（2）区间，，，，对应的纵坐标分别为
，，，，．
所以频率分布直方图如下：

（3）根据茎叶图，中位数为．
频率分布直方图中，区间的频率为，因此中位数为50．
利用茎叶图计算的中位数更加准确，因为频率分布直方图损失了样本的部分信息，数据的分组对数字特征的估计结果也有影响；
茎叶图是原始数据，记录了样本的全部信息，所以能更准确地反映蜻蜓翼长的总体情况．
20．某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”学习的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．

(1)试估计被抽查人员利用“学习强国”学习的平均时长和中位数．
(2)宣传部为了解大家利用“学习强国”学习的具体情况，准备采用分层随机抽样的方法从学习时长在和内的人中选取50人了解情况，则应从两组中各选取多少人？再利用分层随机抽样从选取的50人中选5人参加一个座谈会，现从参加座谈会的5人中随机选取2人发言，求学习时长在内的人中至少有1人发言的概率．
【答案】(1)平均时长为6.8，中位数为；(2)
【分析】（1）根据频率直方图可求得平均数和中位数；
（2）先利用频率求得应从学习时长在和内的人中分别选取的人数，再运用列举法和古典概率公式计算即可.
【详解】(1)解：设被抽查人员利用“学习强国”学习的平均时长为，中位数为，
则，
，解得，
所以估计被抽查人员利用“学习强国”学习的平均时长为6.8，中位数为．
(2)解：学习时长在内的人数为，设选取的人数为．学习时长在内的人数为，
设选取的人数为．则，解得，，
所以应从学习时长在和内的人中分别选取30人和20人．
若再从这50人中选取5人，则从学习时长在内的人中选取3人，标记为，，，从学习时长在内的人中选取2人，标记为，．
现从这5人中随机选取2人，则样本空间，共包含10个样本点，
其中事件“从学习时长在内的人中至少选取1人”包含7个样本点．
故学习时长在内的人中至少有1人发言的概率为．
21．某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额 （万元）的数据如下：   
加盟店个数（个）
1
2
3
4
5
单店日平均营业额（万元）
10.9
10.2
9
7.8
7.1
（参考数据及公式：，，线性回归方程 ，其中，.）
（1）求单店日平均营业额（万元）与所在地区加盟店个数（个）的线性回归方程；       
（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他5个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35万元，求一个地区开设加盟店个数 的所有可能取值；       
（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于2个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率.
【答案】（1）；（2）5，6，7；（3）.
【分析】（1）先求得 ， ，进而得到b，a求解；
（2）根据题意，由求解；
（3）利用古典概型的概率求解.
【详解】（1）由题可得， ， ，
设所求线性回归方程为 ，则 ，
将 ， 代入，得 ，
故所求线性回归方程为 .
（2）根据题意， ，解得： ，
又 ，所以 的所有可能取值为5，6，7.
（3）设其他5个地区分别为 ，他们选择结果共有25种，具体如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
其中他们在同一个地区的有5种，
所以他们选取的地区相同的概率 .
22．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为 ，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.

（Ⅰ）求甲获得冠军的概率；
（Ⅱ）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）甲获得冠军，有三种途径，第一种连胜三场，第二种先胜一场，然后输一场胜两场，第三种先输一场，再连赢三场，求三种情况的概率之和即可.
（Ⅱ）如果甲进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇，有三种可能，甲乙、乙丙、乙丁，求三种情况的概率之和即可.
【详解】（Ⅰ）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜.
所以甲获得冠军的概率为.
（Ⅱ）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：
甲：1胜3胜，乙：1负4胜5胜；
甲：1负4胜5胜，乙：1胜3胜.
所以甲与乙在决赛相遇的概率为.
若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况：
乙：1胜3胜，丙：2胜3负5胜；
乙：1胜3负5胜，丙：2胜3胜.
同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为
.
丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为
.
【点睛】本题考查概率的概念、事件的关系以及概率的运算性质，属于难题.