2021-2022学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、南师附中、十七中四校高二上学期期末联考数学（文）试题含解析

2021-2022学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、南师附中、十七中四校高二上学期期末联考数学（文）试题

一、单选题

1．命题“，”的否定形式是（       ）

A．“，” B．“，”

C．“，” D．“，”

【答案】C

【分析】由全称命题的否定是特称命题即得.

【详解】“任意”改为“存在”，否定结论即可.

命题“，”的否定形式是“，”.

故选：C.

2．“”是“直线与互相垂直”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据两直线垂直的性质求出，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【详解】解：因为直线与互相垂直，

所以，解得或，

所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件.

故选：A.

3．若函数，当时，平均变化率为3，则等于（       ）

A． B．2 C．3 D．1

【答案】B

【分析】直接利用平均变化率的公式求解.

【详解】解：由题得.

故选：B

4．设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（       ）

A．的极值点一定是最值点

B．的最值点一定是极值点

C．在区间上可能没有极值点

D．在区间上可能没有最值点

【答案】C

【解析】根据连续函数的极值和最值的关系即可判断．

【详解】根据函数的极值与最值的概念知，的极值点不一定是最值点，的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数在区间上单调，则函数在区间上没有极值点，所以C正确．

故选：C.

【点睛】本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题．

5．设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（       ）

A．1 B．2 C．4 D．6

【答案】C

【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，写出切线方程，分别求得切线在两坐标轴上的坐标，再由三角形面积公式求解．

【详解】由，得，

，又切线过点，

曲线在点处的切线方程为，

取，得，取，得．

的面积等于．

故选：C．

6．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据原函数图象判断出函数的单调性，由此判断导函数的图象.

【详解】原函数在上从左向右有增、减、增，个单调区间；在上递减.

所以导函数在上从左向右应为：正、负、正；在上应为负.

所以A选项符合.

故选：A

7．直线（t为参数）被圆所截得的弦长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求得直线的普通方程以及圆的直角坐标方程，利用弦长公式即可求得结果.

【详解】因为直线的参数方程为：（t为参数），故其普通方程为，

又，根据，故可得，

其表示圆心为，半径的圆，

则圆心到直线的距离，

则该直线截圆所得弦长为.

故选：C.

8．已知函数（是的导函数），则（       ）

A．21 B．20 C．16 D．11

【答案】B

【分析】根据已知求出，即得解.

【详解】解：由题得，

所以.

故选：B

9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，过点作轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为点(如图所示)，若的面积为，则椭圆的方程为(       )

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得，令，可得，再由三角形的面积公式，解方程可得，，即可得到所求椭圆的方程．

【详解】由题意可得，即，

即有，

令，则，

可得，

则，即，

解得，，

∴椭圆的方程为．

故选：A．

10．若函数在上为单调增函数，则m的取值范围（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】用函数单调性确定参数，使用参数分离法即可.

【详解】，在上是增函数，

即恒成立，；

设，；

∴时，是增函数；

时，是减函数；

故时，，∴；

故选：B.

11．曲线上的点到直线的距离的最小值是（       ）

A．3 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】求出函数的导函数，设切点为，依题意即过切点的切线恰好与直线平行，此时切点到直线的距离最小，求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得；

【详解】解：因为，所以，设切点为，则，解得，所以切点为，点到直线的距离，所以曲线上的点到直线的距离的最小值是；

故选：D

12．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（       ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设双曲线的左焦点为，连接、，求得、，利用双曲线的定义可得出关于、的等式，即可求得双曲线的离心率.

【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，如下图所示：

由题意可知，点为的中点，也为的中点，且，

则四边形为矩形，故，由已知可知，

由直角三角形的性质可得，故为等边三角形，故，

所以，，

由双曲线的定义可得，所以，.

故选：A.

二、填空题

13．若满足约束条件 ，则的最小值为________.

【答案】5

【分析】作出可行域，作直线，平移该直线可得最优解．

【详解】作出可行域，如图内部（含边界），

作直线，直线中是直线的纵截距，

代入得，即．

平移直线，当直线过点时取得最小值5．

故答案为：5．

14．双曲线的左焦点到直线的距离为________.

【答案】

【分析】根据双曲线方程求得左焦点的坐标，利用点到直线的距离公式即可求得结果.

【详解】因为双曲线的方程为，设其左焦点的坐标为，

故可得，解得，故左焦点的坐标为，

则其到直线的距离.

故答案为：.

15．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为________.

【答案】

【分析】由题可得有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需和有两个交点，利用导数研究的单调性与极值，数形结合即得.

【详解】∵的定义域为，，

要使函数有两个极值点，

只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反，

由得，，

令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点，

∵，令得：0<x<1；令得：x>1；

所以在上单调递增，在上单调递减，

当时，；当时，；

作出和的图像如图，

所以，即，

即实数a的取值范围为.

故答案为：

16．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”.若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________.

【答案】

【分析】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.

【详解】令得，设函数，

则直线与函数在区间上的图象有两个交点，

，令，可得，列表如下：

，，如图所示：

由图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

三、解答题

17．已知命题； 命题.

(1)若p是q的充分条件，求m的取值范围；

(2)当时，已知是假命题，是真命题，求x的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）解不等式组即得解；

（2）由题得p、q一真一假，分两种情况讨论得解.

【详解】(1)解：由题意知p是q的充分条件，即p集合包含于q集合，

有；

(2)解：当时，有，

由题意知，p、q一真一假，

当p真q假时，，

当p假q真时，，

综上，x的取值范围为

18．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2)已知，曲线与曲线相交于A，B两点，求.

【答案】(1)，

(2)2

【分析】（1）消参数即可得曲线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转化关系式，从而曲线的直角坐标方程；（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，得关于的一元二次方程，由韦达定理得，即可得的值.

【详解】(1)由，消去参数，得，即，

所以曲线的普通方程为.

由，得，即，

所以曲线的直角坐标方程为

(2)将代入，整理得，

则，令方程的两个根为

由韦达定理得，所以.

19．已知.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在处取得极值，求在上的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式方程即可求出切线方程；

(2）根据极值点求出的值，根据导数值的正负判断函数的单调性，即可求出最小值.

【详解】(1)∵，，

∴

∴

∴在处的切线为，即；

(2)∵，

由题可知，

∴，

∴单调递增，单调递减，

∵，，

∴.

20．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是8万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加0.5万元.种植万千克莲藕的销售额(单位：万元)是(是常数)，若种植2万千克莲藕，利润是1.5万元，求：

(1)种植万千克莲藕的利润(单位：万元)为的解析式；

(2)要使利润最大，每年需种植多少万千克莲藕，并求出利润的最大值.

【答案】(1)，；

(2)6万千克，万元.

【分析】(1)根据题意找等量关系即可求g(x)解析式，根据函数值可求a；

(2)根据g(x)导数研究其单调性并求其最大值即可.

【详解】(1)种植万千克莲藕的利润(单位：万元)为：

，，

即，，

当时，，解得，

故，；

(2)，

当时，，当时，，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

∴时，利润最大为万元.

21．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且在第一象限，的面积为 (O为坐标原点).

(1)求抛物线的标准方程；

(2)经过点的直线与交于，两点，且，异于点，若直线与的斜率存在且不为零，证明：直线与的斜率之积为定值.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题可得，然后结合面积公式可得，即求；

（2）通过分类讨论，利用韦达定理法结合斜率公式计算即得.

【详解】(1)因为点抛物线上，

所以，，

，因为，

故解得，

抛物线方程为；

(2)当直线的斜率不存在时，直线为，得，.

，，

则.

当直线的斜率存在时，设直线为，设，，

联立得：

因为，

所以，.

所以

，

所以直线与的斜率之积为定值.

22．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)当a=1时，对于任意的，，都有恒成立，则m的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）由题可得，利用导数与单调性的关系分类讨论即得；

（2）由题可得，利用函数的单调性及极值求函数最值即得.

【详解】(1)由题可得的定义域为，

若，恒有，当时，，当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

若，令，得，

若，恒有在上单调递增，

若，当时，；当时，，

故在和上单调递增，在上单调递减，

若，当时，；当时，，

故在和上单调递增，在上单调递减；

综上所述，当，在上单调递增，在上单调递减，

当，在和上单调递增，在上单调递减，

当，在上单调递增，

当，在和上单调递增，在上单调递减；

(2)由（1）知，时，在和上单调递增，在上单调递减；

当a=1时，，

，，

∴.

又，，

∴.

由题意得，，

∴.