江西省九校2021-2022学年高二上学期期中联考

数学学科试卷（理科）

第I卷（选择题）

一、单选题(本大题共12个小题，每题5分，共60分)

1．在空间直角坐标系中，点关于原点O的对称点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

2．某企业有职工150人，中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现抽取30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（    ）

A．5，10，15 B．5，9，16 C．3，10，17 D．3，9，18

3．在正方体中，下列直线与成60°角的是（    ）

A． B． C． D．

4．下列结论正确的是（    ）

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

5．如图，在正方体中，E是棱的中点，则过三点A、D1、E的截面过（    ）

A．AB中点 B．BC中点

C．CD中点 D．BB1中点

6．山竹，原产地在印度尼西亚东北部岛屿的一组群岛马鲁古，具有清热泻火､生津止渴的功效，被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱.现统计出某水果经销商近年的山竹销售情况，如下表所示.

根据表中的数据用最小二乘法求得关于的线性回归方程为，若年的年份代码为，则可以预测年该经销商的山竹销量大约为（    ）

A．万斤 B．万斤 C．万斤 D．万斤

7．已知空间向量，，则下列结论错误的是（    ）

A． B．    C．  D．与夹角的余弦值为

8．已知圆台的上下底面的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（    ）

A．50π B．100π C．150π D．200π

9．已知为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则         B．若且，则

C．，，则         D．若且，则

10．已知一个几何体的三视图如图所示，若正（主）视图（等腰三角形）与俯视图（半圆加等腰三角形）的面积分别为，，则该几何体的体积为（    ）

                         第10题                              第11题

A． B． C． D．

11．运行下图所示的算法框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是（    ）

A．k>1009 B．k>1010          C．k>1011     D．k>1012

12．已知球O的半径为2，三棱锥P－ABC四个顶点都在球O上，球心O在平面ABC内，△ABC是正三角形，则三棱锥P－ABC的最大体积为（     ）

A．3 B．2 C． D．3

第II卷（非选择题）

二、填空题(本大题4个小题，每题5分，共20分)

13．已知平均数为a，标准差是b，则的平均数是________，标准差是________．

14．已知平面的法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则________.

15．已知正三棱锥的底面是边长为的等边三角形，若一个半径为的球与此三棱锥所有面都相切，则该三棱锥的侧面积为___________.

16．在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是____.

①存在点，使得平面平面；

②存在点，使得平面；

③的面积不可能等于；

④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分)

17．(本题10分)如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且．求证：（1）、、、四点共面；

（2）与的交点在直线上．

18．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．求：

（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；

（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF．

19．(本题12分)抚州市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按80：1的比例随机抽取200人进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图如图所示，现一，二两组数据丢失，但知道第二组的频率是第一组的3倍．

（1）若次数在以上含次为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？

（2）求第一组、第二小组的频率是多少？并补齐频率分布直方图；

（3）估计该全市高一学生跳绳次数的中位数和平均数？

20．(本题12分)如图，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是菱形，平面平面.

（1）证明：；

（2）若，且平面平面BEDF，求平面ADE与平面CDF所成的二面角的正弦值.

21．(本题12分)某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下：

表1

由表1，得到下面的散点图：

根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型（b和a是待定参数）来拟合y和x的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令，得，由表1可得变换后的数据见表2.

表2

（1）根据表中数据，建立y关于t的回归方程（系数精确到个位数）；

（2）根据（1）中得到的回归方程估计2021年的营业收入，以及营业收入首次超过4000亿元的年份.

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

参考数据：.

22．(本题12分)如图，在三棱柱中，平面，，.

（1）求证：平面；

（2）点M在线段上，且，试问在线段上是否存在一点N，满足平面，若存在求的值，若不存在，请说明理由？

数学（理科）答案

1．B 2．D 3．B 4．D 5．B 6．A 7．B 8．B 9．D 10．A 11．B 12．B

13．

14．-1或-11

15．

16．①②④

①如图

当是中点时，可知也是中点且，，，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故正确；

②如图

取靠近的一个三等分点记为，记，，因为，所以，所以为靠近的一个三等分点，则为中点，又为中点，所以，且，，，所以平面平面，且平面，所以平面，故正确；

③如图

作，在中根据等面积得：，根据对称性可知：，又，所以是等腰三角形，则，故错误；

④如图

设，在平面内的正投影为，在平面内的正投影为，所以，，当时，解得：，故正确.

故填：①②④.

17．（1）证明见解析；（2）证明见解析．

证明（1）∵，∴．                   --------1分

∵，分别为，的中点，                             --------3分

∴，∴，∴，，，四点共面．           --------5分

（2）∵，不是，的中点，

∴，且，故为梯形．

∴与必相交，设交点为，                            -------6分

∴平面，平面，

∴平面，且平面，                          -------8分

∴，即与的交点在直线上．                   -------10分

18．(1)(2)见解析.

试题解析：

（1）在中，.

在中,                               ---------2分

                  --------4分

.

则.                                       ---------6分

（2），为的中点，.

平面.                                  ---------8分

平面.

为中点，为为中点，，则.       --------10分

平面.                                --------12分

考点：四棱锥的体积公式；直线与平面垂直的判定与证明.

19．（1）8640；（2）第一组频率为，第二组频率为．频率分布直方图见解析；（3）中位数为，均值为121.9

（1）由频率分布直方图，分数在120分以上的频率为，

因此优秀学生有（人）；                    -------4分

（2）设第一组频率为，则第二组频率为，

所以，，

第一组频率为，第二组频率为．                       -------6分

频率分布直方图如下：                                       -------8分

（3）前3组数据的频率和为，中位数在第四组，

设中位数为，则，．                     ------10分

均值为．------12分

20．（1）证明见解析；（2）.

（1）证明：如图，连接交于点，连接．

四边形为正方形，

，且为的中点．

又四边形为菱形，

．                                       -------2分

平面

平面                                  -------4分

又平面OAE

．                                       --------6分

（2）解：如图，建立空间直角坐标系，不妨设，

则，，

则．

由（1）得

又平面平面，平面平面，

平面ABCD，故，同理，

．               ------8分

设为平面的法向量，为平面的法向量，

则故可取，

同理故可取，                   -------10分

所以．

设平面与平面所成的二面角为，则，

所以平面与平面所成的二面角的正弦值为．             -------12分

21．（1）；（2）估计2021年的营业收入约为2518亿元，估计营业收入首次超过4000亿元的年份为2024年.

（1），                  --------3分

，                          --------5分

故回归方程为.                                   --------6分

（2）2021年对应的t的值为121，营业收入，

所以估计2021年的营业收入约为2518亿元.                      -------8分

依题意有，解得，故.

因为，                                        -------10分

所以估计营业收入首次超过4000亿元的年份序号为14，即2024年.--------12分

22．（1）证明见解析；（2）存在，的值为.

（1）在三棱柱中，平面ABC，，.

∴，，，

∵，                                        ------2分

∴平面，

∵平面，

∴，                                           -------4分

∵，

∴平面.                                      -------5分

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

，，，，

 所以，，                    --------7分

设平面的法向量，则，

取，得，                                 --------8分

点M在线段上，且，点N在线段上，设，，

设，则，，，

即，

解得，，

，                              -------10分

∵，

∴，解得.∴的值为.      --------12分