2022届江西省宜春中学八校高三下学期联考数学（理）试题含答案

  2022年江西省宜春市八校联合考试

高三理科数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 满分150分，考试时何120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本试卷主要命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则的非空真子集个数是（    ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义求出，最后求出其非空真子集个数；

【详解】解：由，即，解得，所以，

又，所以，

因中含有个元素，所以其非空真子集有个；

故选：B

2. 已知复数z满足，则（    ）

A.  B.  C. 10 D. 40

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的运算性质以及复数模的定义即可得到结果

【详解】(4+2i)(2+i)=6+8i，设z=a+bi，则+2abi

所以解的

所以

故选：A

3. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1423石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得268粒内夹谷32粒.则这批米内夹谷约为（    ）

A. 157石 B. 164石 C. 170石 D. 280石

【答案】C

【解析】

【分析】用样本中夹谷的比例乘以总体容量可得结果.

【详解】样本中夹谷比例为，用样本估计总体，可得这批谷内夹谷约为（石）.

故选：C.

4. 已知命题p：，，命题q：函数在R上单调递增，则下列命题中，是真命题的为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先判断命题、的真假，再根据复合命题的真假性规则判断即可；

【详解】解：对于命题，当时，故命题为假命题，所以为真命题；

对于，恒成立，

所以函数在R上单调递增，故命题为真命题，所以为假命题，

所以为假命题，为假命题，为真命题；

故选：D

5. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】根据三视图可知：该几何体是一个圆锥和正方体的组合体.

圆锥的体积为，正方体的体积为8，故几何体的体积为：

故选：A

6. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且，则直线AB的斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】当点在第一象限，通过抛物线定义及可知为中点，通过勾股定理可知，的关系，进而计算可得结论．

【详解】解：如图，当点在第一象限时．

过、分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为、，

过作的垂线，垂足为，则四边形为矩形．

由抛物线定义可知，，

又，

，，

在中，，

直线的斜率为；

当点在第一象限时，同理可知直线的斜率为．

故选：A ．

7. 《九章算术》有如下问题：“今有上禾三秉（古代容量单位），中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上､中､下禾一秉各几何？”依上文，设上､中､下禾一秉分别为斗，斗､斗，设计如图所示的程序框图，若输出的的值分别为，，，则判断框中可以填入的条件为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据程序框图的功能，一一循环，直至输出，，终止循环求解.

【详解】解：程序框图运行过程：，，，；

，，，；

，，，；

，跳出运行，输出.

故选；B

8. 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数在下列哪个区间内单调递减（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，求出函数，再求出其单调递减区间即可判断作答.

【详解】依题意，，于是有，其图象向左平移个单位得：

，

令，得函数的减区间，

当时，的一个减区间是，有，A满足，B，C，D不满足；

当时，的一个减区间是，B，C，D都不满足，显然k取任意整数，B，C，D都不满足，

所以函数在上单调递减.

故选：A

9. 若曲线在点（1，f（1））处的切线方程为，则a＝（    ）

A. 1 B.  C. 2 D. e

【答案】A

【解析】

【分析】利用导数的几何意义求解.

【详解】解：因为曲线，

所以，

又因为曲线在点（1，f（1））处的切线方程为，

所以，

故选：A

10. 已知在三棱锥中，平面平面，，，，，则三棱锥的体积的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由面面垂直的性质得到平面，利用余弦定理及基本不等式求出，从而求出的面积最大值，最后根据计算可得；

【详解】解：因为，即，又平面平面，

平面平面，平面，所以平面，

在中，，由余弦定理，

即，所以，所以，当且仅当时取等号；

所以，即的面积最大值为；

所以，即三棱锥的体积的最大值为；

故选：D

11. 已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】不妨令在双曲线右支，根据双曲线的定义及离心率得到，，再由余弦定理求出，从而求出，最后由面积公式计算可得；

【详解】解：不妨令在双曲线右支，

依题意可得，，，

解得，，又，

由余弦定理

即，解得，

所以，

所以的面积．

故选：C．

12. 在长方形中，，，点在边上运动，点在边上运动，且保持，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】建立坐标系，设，表示出各点的坐标，根据向量的模和三角函数的图象和性质即可求出．

【详解】解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，

，，

，

则，，，

设，则，

则，，

，，

，，

，

，其中，

，

当时，，当时，，

当时，取得最大值，最大值为．

故选：A．

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，第三象限角，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】由同角三角函数的基本关系求出、，再根据两角差的正弦公式计算可得；

【详解】解：因为是第三象限角，所以，又，

所以，解得（舍去）或，

所以；

故答案为：

14. 5名实习老师安排到4所学校实习，每所学校至少安排一人，则不同的安排方式共有______种．

【答案】

【解析】

【分析】首先从5个老师中选人作为一组，其余3人每人一组，再将四组安排到四所学校，按照分步乘法计数原理计算可得；

【详解】解：依题意首先从5个老师中选人作为一组，其余3人每人一组，

再将四组安排到四所学校，故一共有种安排方法；

故答案为：

15. 若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】分离参数，将恒成立问题转化为函数最值问题，根据单调性可得.

【详解】因为，不等式恒成立，

所以对恒成立.

记，，只需.

因为在上单调递减，在上单调递减，

所以在上单调递减，

所以，所以.

故答案为：

16. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D是BC的中点，若，则的最大值为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用正弦定理将边化角，即可得到，再结合得到，最后借助基本不等式即可求解．

【详解】解：因为，由正弦定理可得

所以，

化简得，

即，因为，所以

所以，

又，，

由余弦定理知，

即，

又，化简得，

，

又，当且仅当时取等号，

故，即．

故答案为：．

三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17-21题为必考题，毎个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. 已知公差不为0的等差数列中，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和为.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项可求出结果；

（2）根据错位相减法可求出结果.

【小问1详解】

设等差数列的公差为，由题意可知.

即，又，得，

因为，所以，.

故通项公式.

【小问2详解】

，

，

，

，

所以.

18. 如图所示的五面体中，平面平面，四边形为正方形，，，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由余弦定理求出，即可得到，从而得证；

（2）过点作交于点，即可得到平面，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；

【小问1详解】

证明：因为四边形为正方形，所以，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

因为平面，所以.

在中，因为，故，不妨设，

所以由余弦定理，得，则，

所以，所以，

又，平面，所以平面.

【小问2详解】

解：过点作交于点，则，

平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

如图建立空间直角坐标系，则，，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，

则，令，则，，所以，

设直线与平面所成角为，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为；

19. 在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的100名学生的数学考试成绩，并将其统计如下表所示．

（1）已知本次质检中的数学测试成绩，其中μ近似为样本的平均数，近似为样本方差，若该市有5万考生，试估计数学成绩介于90~120分的人数；（以各组的区间的中点值代表该组的取值）

（2）现按分层抽样的方法从成绩在[75，85）以及[115，125]之间的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行试卷分析，记被抽取的3人中成绩在[75，85）之间的人数为X，求X的分布列以及期望E（X）．

参考数据：若，则，，．

【答案】（1）   

（2）X的分布列见解析；

【解析】

【分析】（1）先求出样本数的平均数和方差，再结合正态分布求出数学成绩介于90~120分的人数；

（2）求出X的所有可能取值，分别求得概率，列出分布列求出期望.

【小问1详解】

根据统计图表中的数据，结合平均数的计算方法，可得本次质检中数学测试成绩样本的平均数为.

，

则，

所以，

故所求人数为．

【小问2详解】

依题意成绩在之间的抽取3人，成绩在之间的抽取4人，故X的可能取值为0，1，2，3．

故，，

，．

故X的分布列为

故E．

20. 已知椭圆：，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点，，.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的右顶点，直线是与椭圆交于两点的任意一条直线，若，证明直线过定点.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的定义，由得到a，再由，得到c求解；

（2）当直线不垂直于轴，设该直线方程为，与椭圆方程联立， 根据，由结合韦达定理求解；当直线垂直于轴时，根据椭圆的对称性，由为等腰直角三角形求解.

【小问1详解】

解：因为椭圆方程，为椭圆上一点，

由椭圆的定义知，所以，

又，所以，，

所以，

所以椭圆方程为.

【小问2详解】

证明：①若直线不垂直于轴，设该直线方程为，，，

由得，

化简得，，

所以，，

，，

因为，

所以，

所以，

所以，

去分母得，即.

，所以或，

当时，：过定点，显然不满足题意；

当时，：过定点.

②若直线垂直于轴，设与轴交于点，由椭圆的对称性可知为等腰直角三角形，

所以，化简得，

解得或2（舍去），即此时直线也过定点.

综上直线过定点.

21. 已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若方程的根为、，且，求证：．

【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间；   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求出的解析，从而求出导函数，即可得到函数的单调区间；

（2）求导分析的单调性，，推出，设直线与的交点的横坐标为，则，证明当时，，即可得证．

【小问1详解】

解：因为，，

所以定义域为，

，

所以在上单调递减，即的单调递减区间为，无单调递增区间；

【小问2详解】

证明：，，

当时，当时

所以在上是单调递减，在上单调递增，则，

当时，，所以，且，

当时，，所以，即，

设直线与的交点的横坐标为，则，

下面证明当时，，

设，

，

则，

当时，，当时，，

所以在上是减函数，在上增函数，

又因为，，

所以当时，，，

故当时，，

设直线与的交点的横坐标为，则，

所以，得证．

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.

（1）写出普通方程和曲线的参数方程；

（2）点在圆上，当点到直线的距离最大时，求点的直角坐标.

【答案】（1），（为参数）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由条件所给方程转换即可；

（2）设点，则点到的距离，然后利用三角函数的知识求解即可.

【小问1详解】

由可得

所以的普通方程为，

由可得，

所以曲线的直角坐标方程为，参数方程为（为参数）.

【小问2详解】

设点，则点到的距离，

所以时，最大，

此时，，，

所以.

[选修4-5：不等式选讲]

23. 已知函数的值域为.

（1）求；

（2）证明：当时，.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由绝对值不等式的性质即可求解.

（2）利用平方后作差,转化成的形式,然后根据第一问的范围即可证明差与0的关系,即可求解.

【小问1详解】

因为，

所以值域为，即.

【小问2详解】

证明：由

，

由有，，可得，，

故，可得.