人教版七年级上册第三章 一元一次方程综合与测试精练

七年级数学上册单元测试

第三章 一元一次方程（能力卷）

时间：100分钟    总分：120分

一、    选择题（每题3分，共24分）

1．解方程，以下去括号正确的是                          （    ）

A． B． C． D．

【解析】

解：-3(2x+1)=x，

去括号得：-6x-3=x，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查解一元一次方程中的去括号，熟练掌握运算法则是解题关键．

2．已知某商店有两个商品都卖了80元，其中一个盈利60%，另一个亏损20%，在这次买卖中，这家商店                                                         （    ）

A．亏损10元 B．盈利10元 C．亏损20元 D．盈利20元

【解析】

解：设盈利60%的进价为x元，亏损20%的进价为y元，

由题意，得x（1+60%）=80，y（1-20%）=80，

解得：x=50，y=100，

∴成本为：50+100=150元．

∵售价为：80×2=160元，

利润为：160-150=10元．

故选：B．

【点睛】

本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程是关键．

3．若m与互为相反数，则m的值为                               （   ）

A． B． C． D．3

【解析】

解：∵m与互为相反数，

∴，

解得：．

故选B

【点睛】

此题主要考查了相反数以及解一元一次方程，正确把握相反数的定义是解题关键．

4．某寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排 4 人，将会空出 5 间宿舍；如果每间宿舍安排 3 人，就会有 100 人没床位．问该校有多少学生住宿？如果设该校有 x 人住宿，那么依题意可以列出的方程是                                           （     ）

A． B． C． D．

【解析】

解：设在学校住宿的学生有x人，

每间宿舍安排住4人，需要宿舍间，

每间宿舍安排住3人，100人没有床位，

则x-100人住上宿舍，宿舍房间为间，

即+5=，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是根据宿舍间数一定列方程，此题难度不大．

5．若不论k取什么实数，关于x的方程（m，n是常数）的解总是x＝1，则m+n的值为                                                            （　　）

A． B． C． D．﹣

【解析】

解：把x＝1代入方程 ＝2+，得：，

去分母，得：4k+2m＝12+1﹣nk，即（n+4）k+2m﹣13＝0，

∵无论k为何值时，方程＝2+的解总是x＝1，

∴n+4＝0，2m﹣13＝0，

解得，m＝，

∴m+n＝+（﹣4）＝．

故选A．

【点睛】

此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

6．小南在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（    ）

A． B． C． D．

【解析】

由题意可知：是方程的解，

∴，

∴．

∴原方程，

∴．

故选A．

【点睛】

本题考查一元一次方程，正确理解一元一次方程的解的定义和一元一次方程的解法是解本题的关键．

7．如图，宽为50 cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（　　）

A．400 cm2 B．500 cm2

C．600 cm2 D．4000 cm2

【解析】

解：设小长方形的长为a，宽为b，则面积，

由图可知：大长方形的长和宽分别是2a，50．

∴大长方形的面积，

∵，

∴，得到：，

又∵，

∴，

∴，

故选：A．

【点睛】

本题考查代数式，一元一次方程，会列代数式，会解方程．结合图形发现，，是解题的关键．

8．如图1为一张正面白色，反面灰色的长方形纸片，现沿虚线剪下分成甲、乙两张长方形纸片，并将甲纸片反面朝上粘贴在乙纸片上，形成一张白灰相间的长方形纸片如图2所示．若图1中纸片的面积为39，图2中白色和灰色区域的面积比为7∶3，则图1中甲纸片的面积是（     ）

A．21 B．9 C． D．

【解析】

解：设图2中白色区域的面积为7x，则灰色区域的面积为3x．

由题意得，

解得：

∴灰色区域的面积为

∴图1中甲纸片的面积是9．

故选B．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．

二、填空题

9．若是关于x的一元一次方程，则m =___．

【解析】

解：∵是关于x的一元一次方程，

∴且，

解得：．

故答案为：-2

【点睛】

本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是一元一次方程是解题的关键．

10．已知与互为相反数，则___________．

【解析】

解：∵4（x-1）与-2（x-4）互为相反数，

∴4（x-1）+[-2（x-4）]=0．

∴4x-4-2x+8=0．

解得：x=－2．

故答案为：－2．

【点睛】

本题考查了相反数，一元一次方程的应用．解题关键是根据已知条件列出方程，通过解方程求解．

11．六年级（1）班学生去野外郊游，无意中发现了一口枯井，外号“神童”的小明想了个办法测出井深，他的方法是：用绳子测量井深，将一根绳子先折成三折来量，量出井外，还余1米，将一根绳子先折成四折来量，量出井外还余米，请你算算看，这口枯井深为________米．

【解析】

解：设这口枯井深为x米，

由题意得：3（x+）＝4（x+），

解得：x＝，即这口枯井深为米．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，找出等量关系列方程．

12．如图，在编写数学谜题时，“口”内要求填写同一个数字，若设“口”内的数字为，则可列出方程___________．

【解析】

解：由题意得：，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了列一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．

13．2022年，兄妹两人的年龄分别是16岁和10岁，那么当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，应是_____年．

【解析】

解：设x年后，哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，

，

，

∴应是2018年，

故答案为：2018．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是理解题意，正确列出方程．

14．已知：A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且．若点C点在数轴上且满足，则C点对应的数为________．

【解析】

解：∵

∴a＋4＝0，b−12＝0

解得：a＝−4，b＝12

∴A表示的数是−4，B表示的数是12

设数轴上点C表示的数为c

∵AC＝3BC

∴|c＋4|＝3|c−12|

当点C在线段AB上时

则c＋4＝3（12−c）

解得：c＝8

当点C在AB的延长线上时

则c＋4＝3（c−12）

解得：c＝20

综上可知：C对应的数为8或20．

【点睛】

本题考查了非负数的性质，方程的解法，数轴两点之间的距离，运用分类讨论思想方程思想和数形结合思想是解本题的关键．

15．当a=_____时，2(2a3)的值比3(a1)的值大1．

【解析】

解：由题意可得：，

去括号得：，

移项合并得：．

故答案为：10．

【点睛】

本题考查了根据题意列方程、解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键．

16．对于两个互不相等的有理数a，b我们规定符号表示a，b两个数中最大的数，例如．按照这个规定则方程的解为______．

【解析】

解：当0>−x，即x>0时，方程变形得：0=3x+4，

解得：，不符合题意；

当0<−x，即x<0时，方程变形得：−x=3x+4，

解得：x=−1，

综上，方程的解为x=−1，

故答案为：x=−1．

【点睛】

此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

三、解答题

17．解方程：

（1）3x﹣7＝x．

（2）5x﹣4＝2（2x﹣3）．

【解析】

（1）移项得：3x﹣x＝7，

合并同类项得：2x＝7，

解得：x＝3.5；

（2）去括号得：5x﹣4＝4x﹣6，

移项得：5x﹣4x＝﹣6+4，

合并得：x＝﹣2．

【点睛】

本题考查一元一次方程的解法，掌握移项、去括号是本题解题关键．

18．解方程：

【解析】

解：，

方程两边同乘以10去分母，得，

去括号，得，

移项，得，

合并同类项，得，

系数化为1，得．

【点睛】

本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题关键．

19．当m为何值时，关于x的方程的解是方程的解的2倍？

【解析】

由，得x=3，

∴方程的解为，

∴2（6+m)=18-1，

∴m=．

【点睛】

本题主要考查了一元一次方程的求解，准确计算是解题的关键．

20．若“☆”表示一种新的运算符号，且有如下运算规律．已知2☆3＝2+3+4，7☆2＝7+8，3☆5＝3+4+5+6+7，9☆4＝9+10+11+12…按此规律，如果n☆3＝33，求n的值．

【解析】

解：由题意得：n☆3，

解得：．

【点睛】

题目主要考查列代数式及解方程，根据题中规律，列出方程是解题关键．

21．根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5

解：方程|2x+4|＝5可化为：

2x+4＝5或2x+4＝﹣5

当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所从x=0.5

当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x=-4.5

故，方程|2x+4|＝5的解为x=0.5或x=-4.5

(1)解方程：|3x﹣2|＝4；

(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；

【解析】

 (1)|3x−2|＝4

解：方程可化为：或，

当时，则有，所以，

当时，则有，所以，

故方程|3x−2|＝4的解为：或．

(2)|a＋b＋4|＝16，

方程可变为：a＋b＋4＝16或a＋b＋4＝−16，

解得a＋b＝12或a＋b＝−20，

所以|a＋b|＝12或20，

答：|a＋b|的值为12或20．

【点睛】

本题考查了含绝对值符号的一元一次方程、等式的性质，解决本题的关键是理解绝对值的含义．

22．臭豆腐是长沙的特色名小吃．某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工100个汤料包或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？

【解析】

解：设安排x人加工汤料包，则安排（60-x）人加工配料包，

根据题意得：4×100x=200（60-x），

解得x=20，

答：安排20人加工汤料包．

【点睛】

本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．

23．某校为了增强学生的环保意识，准备印制一批宣传册．该宣传册每本有10张彩页，由A、B两种彩页构成，已知A种彩页印刷费3元/张，B种彩页印刷费2元/张，一本宣传册印刷费共计24元．

(1)每本宣传册A、B两种彩页各有多少张？

(2)据了解，印刷的数量超过500本时，每本宣传册的印刷费用全部打八折．若该校印刷这种宣传册共花费了15360元，求该校一共印刷了多少本这种宣传册？

【解析】

 (1)设每本宣传册有A种彩页x张，则有B种彩页（10-x）张，

依题意得：3x+2（10-x）=24,

解得：x=4，

所以10-x=10-4=6（张）

答：每本宣传册有A种彩页4张，有B种彩页6张

(2)24×500=12000（元），12000<15360，

所以该校印刷这种宣传册超过500本，

设该校一共印刷了a本这种宣传册，

依题意得：0.8×24a=15360，

解得：a=800．

答：该校一共印刷了800本这种宣传册

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．

24．A、B两地间的距离为330千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米。一列快车从B地出发，每小时行驶90千米。问：

(1)若慢车从A地开出30分钟后，快车从B地出发与慢车相向而行，慢车出发后多少小时两车相遇？

(2)若两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？

【解析】

(1)解：设慢车出发x小时后两车相遇，根据题意可得：

解得：

答：慢车出发小时后两车相遇．

(2)解：设出发后x小时快车追上慢车，根据题意可得：

解得：

答：出发后11小时快车追上慢车．

【点睛】

本题考查了一元一次方程解决问题，解题的关键是读懂题意，设出未知量列出方程.

25．已知A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是的优点．

例如：如图1，A，B为数轴上两点，点A表示的数为－1，点B表示的数为2，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的优点；表示数0的点D到点C的距离是1，到点B的距离是2，那么点D是的优点．

(1)在图1中，点C是的优点，也是（A，_____________）的优点；点D是的优点，也是（B，_____________）的优点；

(2)如图2，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为－2，点B所表示的数为4．设数所表示的点是的优点，求的值；

(3)如图3，A，B为数轴两点，点A所表的数为－20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁Р从点B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，设点Р的运动时间为t秒，在点Р运动过程中，是否存在P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点﹖如果存在请求出t的值；如果不存在，说明理由．

【解析】

 (1)解：A，B为数轴上两点，点A表示的数为－1，点D表示的数为0，表示数1的点C到点A的距离是2，到点D的距离是1，那么点C是的优点；表示数0的点D到点B的距离是2，到点A的距离是1，那么点D是A的优点，

故答案为：D；A；

(2)解：由题意得，

∴或，

解得或；

(3)解：由题意得运动t秒时点P表示的数为，

∴，，，

当A是（B，P）的优点时，

∴，

解得；

当B为（A，P）的优点时，

解得；

当P为（A、B）的优点时，

解得；

当P为（B，A）的优点时，

解得；

综上所述，当或或时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点

【点睛】

本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点的距离，绝对值方程，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．