浙江省衢州市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题

这是一份浙江省衢州市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题，共43页。试卷主要包含了0﹣|﹣3|+2cs60°，0﹣+2sin30°，因式分解，先化简，再求值等内容，欢迎下载使用。

浙江省衢州市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题
一．实数的运算（共2小题）
1．（2021•衢州）计算：+（）0﹣|﹣3|+2cos60°．
2．（2020•衢州）计算：|﹣2|+（）0﹣+2sin30°．
二．分式的加减法（共1小题）
3．（2022•衢州）（1）因式分解：a2﹣1．
（2）化简：+．
三．分式的化简求值（共2小题）
4．（2021•衢州）先化简，再求值：+，其中x＝1．
5．（2020•衢州）先化简，再求值：÷，其中a＝3．
四．分式方程的应用（共1小题）
6．（2022•衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：a千米
每千米行驶费用：元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用：_____元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
五．一次函数的应用（共1小题）
7．（2020•衢州）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．
（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：
①货轮出发后几小时追上游轮？
②游轮与货轮何时相距12km？

六．二次函数的应用（共2小题）
8．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．

（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．
（2）当a＝时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：≈1.73，≈2.24）
9．（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．

七．二次函数综合题（共1小题）
10．（2020•衢州）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y＝﹣x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连接DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：
①线段EF长度是否有最小值．
②△BEF能否成为直角三角形．
小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．
（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．
（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．
（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．

八．全等三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2022•衢州）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．

九．四边形综合题（共3小题）
12．（2022•衢州）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD为对角线．点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
（1）求证：∠DBG＝90°．
（2）若BD＝6，DG＝2GE．
①求菱形ABCD的面积．
②求tan∠BDE的值．
（3）若BE＝AB，当∠DAB的大小发生变化时（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．


13．（2021•衢州）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：△BCE≌△CDG．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，CE＝9，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，H两点，若＝k，＝，求的值（用含k的代数式表示）．

14．（2020•衢州）【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求证：BF＝2OG．
【迁移应用】
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．
【拓展延伸】
（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．

一十．切线的判定与性质（共1小题）
15．（2021•衢州）如图，在△ABC中，CA＝CB，BC与⊙A相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交⊙A于点F，连结BF．
（1）求证：BF是⊙A的切线．
（2）若BE＝5，AC＝20，求EF的长．

一十一．扇形面积的计算（共1小题）
16．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．

一十二．圆的综合题（共1小题）
17．（2021•衢州）如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），AB＝6cm，过点C作CD⊥AB交半圆于点D，连结AD，过点C作CE∥AD交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记AC＝xcm，EC＝y1cm，EB＝y2cm．请你一起参与探究函数y1、y2随自变量x变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．
x
…
0.30
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
4.80
5.60
…
y1
…
2.01
2.98
3.46
3.33
2.83
2.11
1.27
0.38
…
y2
…
5.60
4.95
3.95
2.96
2.06
1.24
0.57
0.10
…
（1）当x＝3时，y1＝　 　．
（2）在图2中画出函数y2的图象，并结合图象判断函数值y1与y2的大小关系．
（3）由（2）知“AC取某值时，有EC＝EB”．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．

一十三．作图—应用与设计作图（共3小题）
18．（2022•衢州）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
（1）在图1中画一条线段垂直AB．
（2）在图2中画一条线段平分AB．


19．（2021•衢州）如图，在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出△ACD，使△ACD与△ACB全等，顶点D在格点上．
（2）在图2中过点B画出平分△ABC面积的直线l．

20．（2020•衢州）如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上．
（2）在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）．

一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
21．（2020•衢州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求OE的长．

一十五．扇形统计图（共1小题）
22．（2020•衢州）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表．
被抽样的学生视力情况频数表
组别
视力段
频数
A
5.1≤x≤5.3
25
B
4.8≤x≤5.0
115
C
4.4≤x≤4.7
m
D
4.0≤x≤4.3
52
（1）求组别C的频数m的值．
（2）求组别A的圆心角度数．
（3）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数．根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？

一十六．条形统计图（共1小题）
23．（2021•衢州）为进一步做好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师生满意度进行抽样调查．并将结果绘制成如下统计图（不完整）．

（1）求被调查的师生人数，并补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数．
（3）若该校共有师生1800名，根据抽样结果，试估计该校对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数．
一十七．算术平均数（共1小题）
24．（2022•衢州）【新知学习】在气象学上，“入夏”由两种平均气温与22℃比较来判断：
衢州市2021年5月5日～5月14日的两种平均气温统计表（单位：℃）
2021年5月
5日
6日
7日
8日
9日
10日
11日
12日
13日
14日
（日平均气温）
20
21
22
21
24
26
25
24
25
27
（五天滑动平均气温）
…
…
21.6
22.8
23.6
24
24.8
25.4
…
…
注：“五天滑动平均气温”指某一天及其前后各两天的日平均气温的平均数，如：5月8日＝（5月6日+5月7日+5月8日+5月9日+5月10日）＝（21+22+21+24+26）＝22.8（℃）．
已知2021年的从5月8日起首次连续五天大于或等于22℃，而5月8日对应着5月6日～5月10日，其中第一个大于或等于22℃的是5月7日，则5月7日即为我市2021年的“入夏日”．
【新知应用】已知我市2022年的“入夏日”为图中的某一天，请根据信息解决问题：

（1）求2022年的5月27日．
（2）写出从哪天开始，图中的连续五天都大于或等于22℃．并判断今年的“入夏日”．
（3）某媒体报道：“夏天姗姗来迟，衢州2022年的春天比去年长．”你认为这样的说法正确吗？为什么？（我市2021年和2022年的入春时间分别是2月1日和2月27日）

浙江省衢州市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2021•衢州）计算：+（）0﹣|﹣3|+2cos60°．
【解答】解：原式＝3+1﹣3+2×
＝2．
2．（2020•衢州）计算：|﹣2|+（）0﹣+2sin30°．
【解答】解：原式＝2+1﹣3+2×
＝2+1﹣3+1
＝1．
二．分式的加减法（共1小题）
3．（2022•衢州）（1）因式分解：a2﹣1．
（2）化简：+．
【解答】解 （1）a2﹣1＝（a﹣1）（a+1）；
（2）．
三．分式的化简求值（共2小题）
4．（2021•衢州）先化简，再求值：+，其中x＝1．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝x+3，
当x＝1时，原式＝1+3＝4．
5．（2020•衢州）先化简，再求值：÷，其中a＝3．
【解答】解：原式＝•（a﹣1）
＝，
当a＝3时，原式＝＝．
四．分式方程的应用（共1小题）
6．（2022•衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：a千米
每千米行驶费用：元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用：_____元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【解答】解：（1）由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：＝（元），
即新能源车的每千米行驶费用为元；
（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴﹣＝0.54，
解得a＝600，
经检验，a＝600是原分式方程的解，
∴＝0.6，＝0.06，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为xkm，
由题意得：0.6x+4800＞0.06x+7500，
解得x＞5000，
答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．
五．一次函数的应用（共1小题）
7．（2020•衢州）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．
（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：
①货轮出发后几小时追上游轮？
②游轮与货轮何时相距12km？

【解答】解：（1）C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h．
∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长＝23﹣（420÷20）＝23﹣21＝2（h）．

（2）①280÷20＝14h，
∴点A（14，280），点B（16，280），
∵36÷60＝0.6（h），23﹣0.6＝22.4，
∴点E（22.4，420），
设BC的解析式为s＝20t+b，把B（16，280）代入s＝20t+b，可得b＝﹣40，
∴s＝20t﹣40（16≤t≤23），
同理由D（14，0），E（22.4，420）可得DE的解析式为s＝50t﹣700（14≤t≤22.4），
由题意：20t﹣40＝50t﹣700，
解得t＝22，
∵22﹣14＝8（h），
∴货轮出发后8小时追上游轮．

②相遇之前相距12km时，20t﹣40﹣（50t﹣700）＝12，解得t＝21.6．
相遇之后相距12km时，50t﹣700﹣（20t﹣40）＝12，解得t＝22.4，
当游轮在刚离开杭州12km时，此时根据图象可知货轮就在杭州，游轮距离杭州12km，所以此时两船应该也是相距12km，即在0.6h的时候，两船也相距12km
∴0.6h或21.6h或22.4h时游轮与货轮相距12km．
六．二次函数的应用（共2小题）
8．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．

（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．
（2）当a＝时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：≈1.73，≈2.24）
【解答】解：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），
设CE：y＝kx+b（k≠0），
将C（8，16），E（40，0）代入得：，解得，
∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）．
（2）当时，，
由题意得，
解得x1＝0（舍去），x2＝22.5．
∴P的横坐标为22.5．
∵22.5＜32，
∴成绩未达标．
（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．
∴设，
将（100，0.250）代入得，解得m＝25，
∴．
将（150，0.167）代入验证：，
∴能相当精确地反映a与v2的关系，即为所求的函数表达式．
②由K在线段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．
由得v2＝320，
又∵v＞0，
∴．
∴当v≈18m/s时，运动员的成绩恰能达标．
9．（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．

【解答】解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2．
将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，求得a1＝，
∴y1＝x2，
当x＝12时，y1＝×122＝﹣6，
∴桥拱顶部离水面高度为6m．
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x﹣6）2+1，
将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2＝，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2＝（x﹣6）2+1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3＝（x+6）2+1
②设彩带的长度为Lm，
则L＝y2﹣y1＝（x﹣6）2+1﹣（x2）＝＝，
∴当x＝4时，L最小值＝2，
答：彩带长度的最小值是2m．
七．二次函数综合题（共1小题）
10．（2020•衢州）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y＝﹣x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连接DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：
①线段EF长度是否有最小值．
②△BEF能否成为直角三角形．
小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．
（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．
（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．
（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．

【解答】解：（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．

（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，

则∠FGK＝∠DHK＝90°，
记FD交y轴于点K，
∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，
∴KF＝KD，
∵∠FKG＝∠DKH，
∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），
∴FG＝DH，
∵直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
∴x＝0时，y＝4，
∴A（0，4），
又∵B（﹣2，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4，
过点F作FR⊥x轴于点R，
∵D点的横坐标为m，
∴F（﹣m，﹣2m+4），
∴ER＝2m，FR＝﹣2m+4，
∵EF2＝FR2+ER2，
∴l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，
令﹣+4＝0，得x＝，
∴0≤m≤．
∴当m＝1时，l的最小值为8，
∴EF的最小值为2．
（3）①∠FBE为定角，不可能为直角．
②∠BEF＝90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m＝0．
③如图3，∠BFE＝90°时，有BF2+EF2＝BE2．

由（2）得EF2＝8m2﹣16m+16，
又∵BR＝﹣m+2，FR＝﹣2m+4，
∴BF2＝BR2+FR2＝（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2＝5m2﹣20m+20，
又∵BE2＝（m+2）2，
∴（5m2﹣20m+20）+（8m2﹣16m+16）＝（m+2）2，
化简得，3m2﹣10m+8＝0，
解得m1＝，m2＝2（不合题意，舍去），
∴m＝．
综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m＝0或m＝．
八．全等三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2022•衢州）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．

【解答】证明：∵∠3＝∠4，
∴∠ACB＝∠ACD，
在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（ASA），
∴AB＝AD．
九．四边形综合题（共3小题）
12．（2022•衢州）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD为对角线．点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
（1）求证：∠DBG＝90°．
（2）若BD＝6，DG＝2GE．
①求菱形ABCD的面积．
②求tan∠BDE的值．
（3）若BE＝AB，当∠DAB的大小发生变化时（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．


【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝AB，CD＝AD，
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，
∵∠CBG＝∠EBG＝∠EBC，
∴∠DBG＝∠CBD+∠CBG＝（∠ABC+∠EBC）＝×180°＝90°．
（2）解：①如图2，连结AC交BD于点K，交DE于点L，
∵AC⊥BD，
∴∠AKB＝90°，
∵AB＝5，BD＝6，
∴BK＝DK＝BD＝3，
∴AK＝＝＝4，
∴CK＝AK＝4，
∴AC＝8，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×8×6＝24.
②∵∠DKL＝∠DBG＝90°，
∴AC∥BG，
∴＝＝1，
∴DL＝GL＝DG，
∵DG＝2GE，
∴GE＝DG，
∴DL＝GL＝GE，
∵CD∥AB，
∴＝＝，
∴CL＝AC＝×8＝，
∴KL＝4﹣＝，
∴tan∠BDE＝＝＝．
（3）解：如图3，过点G作GT∥BC，交AE于点T，则GT为定值，
理由：连结AC交BD于点K，交DE于点L，
∵∠DKL＝∠DBG＝90°，
∴当∠DAB的大小发生变化时，始终都有BG∥AC，
∴△BGE∽△ALE，
∵BE＝AB，
∴＝＝1，
∴EG＝LG，
∵KL∥BG，
∴＝＝1，
∴DL＝LG＝EG＝ED，
∵AD∥BC，
∴GT∥AD，
∴△ETG∽△EAD，
∴＝＝＝，
∵BE＝AB＝DA＝5，
∴GT＝DA＝×5＝，
∴GT为定值；
∵EA＝BE+AB＝10，
∴ET＝EA＝×10＝．



13．（2021•衢州）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：△BCE≌△CDG．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，CE＝9，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，H两点，若＝k，＝，求的值（用含k的代数式表示）．

【解答】（1）证明：如图1中，

∵△BFE是由△BCE折叠得到，
∴BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCE＝90°，
∴∠ECF+∠CGD＝90°，
∴∠BEC＝∠CGD，
∵BC＝CD，
∴△BCE≌△CDG（AAS）．

（2）如图2中，连接EH．

∵△BCE≌△CDG，
∴CE＝DG＝9，
由折叠可知BC＝BF，CE＝FE＝9，
∴∠BCF＝∠BFC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠BCG＝∠HGF，
∵∠BFC＝∠HFG，
∴∠HFG＝∠HGF，
∴HF＝HG，
∵＝，DG＝9，
∴HD＝4，HF＝HG＝5，
∵∠D＝∠HFE＝90°，
∴HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴52+92＝42+DE2，
∴DE＝3或﹣3（舍弃），
∴DE＝3．

（3）如图3中，连接HE．

由题意＝，可以假设DH＝4m，HG＝5m，设＝x．
①当点H在点D的左侧时，
∵HF＝HG，
∴DG＝9m，
由折叠可知BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠ECF+∠CGD＝90°，
∴∠BEC＝∠CGD，
∵∠BCE＝∠D＝90°，
∴△CDG∽△BCE，
∴＝，
∵＝＝k，
∴＝，
∴CE＝＝FE，
∴DE＝，
∵∠D＝∠HFE＝90°
∴HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴（5m）2+（）2＝（4m）2+（）2，
∴x＝或﹣（舍弃），
∴＝．
②当点H在点D的右侧时，如图4中，

同理HG＝HF，△BCE∽△CDG，
∴DG＝m，CE＝＝FE，
∴DE＝，
∵HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴（5m）2+（）2＝（4m）2+（）2，
∴x＝或﹣（舍弃），
∴＝．
综上所述，＝或．
14．（2020•衢州）【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求证：BF＝2OG．
【迁移应用】
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．
【拓展延伸】
（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．

【解答】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．

理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF＝∠AHG＝90°，
∵AH＝AH，
∴△AHF≌△AHG（ASA），
∴AF＝AG，
∴△AFG是等腰三角形．

（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．

∵AF＝AG，
∴∠AFG＝∠AGF，
∵∠AGF＝∠OGL，
∴∠OGL＝∠OLG，
∴OG＝OL，
∵OL∥AB，
∴△DLO∽△DFB，
∴＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2OD，
∴BF＝2OL，
∴BF＝2OG．

（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，

∵∠DAK＝∠CAD，
∴△ADK∽△ACD，
∴＝，
∵S1＝•OG•DK，S2＝•BF•AD，
又∵BF＝2OG，＝，
∴＝＝，设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，
∴＝＝．

（4）解：设OG＝a，AG＝k．
①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．

∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a），
∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴＝，即＝，
∴＝，
∴BE＝，
由题意：10××2a×＝AD•（k+2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2+4ka，
∴k＝2a，
∴AD＝2a，
∴BE＝＝a，AB＝4a，
∴tan∠BAE＝＝．
②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．

∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），
∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴＝，即＝，
∴＝，
∴BE＝，
由题意：10××2a×＝AD•（k﹣2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2﹣4ka，
∴k＝a，
∴AD＝a，
∴BE＝＝a，AB＝a，
∴tan∠BAE＝＝，
综上所述，tan∠BAE的值为或．
一十．切线的判定与性质（共1小题）
15．（2021•衢州）如图，在△ABC中，CA＝CB，BC与⊙A相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交⊙A于点F，连结BF．
（1）求证：BF是⊙A的切线．
（2）若BE＝5，AC＝20，求EF的长．

【解答】解：（1）证明：连接AD，如图，

∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC．
∵AE⊥AC，
∴∠CAB+∠EAB＝90°．
∵BC与⊙A相切于点D，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ABD+∠BAD＝90°．
∴∠BAE＝∠BAD．
在△ABF和△ABD中，
，
∴△ABF≌△ABD（SAS）．
∴∠AFB＝∠ADB＝90°．
∴BF是⊙A的切线．
（2）由（1）得：BF⊥AE，
∵AC⊥AE，
∴BF∥AC．
∴△EFB∽△EAC．
∴，
∵BE＝5，CB＝AC＝20，
∴CE＝EB+CB＝20+5＝25，
∴．
∴BF＝4．
在Rt△BEF中，
EF＝．
一十一．扇形面积的计算（共1小题）
16．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB．
（2）如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴S扇形BOD＝．
在Rt△ODE中，
∵DE＝cos30°OD＝＝，
∴S△BOD＝＝＝，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD，＝．
∴S阴影＝．

一十二．圆的综合题（共1小题）
17．（2021•衢州）如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），AB＝6cm，过点C作CD⊥AB交半圆于点D，连结AD，过点C作CE∥AD交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记AC＝xcm，EC＝y1cm，EB＝y2cm．请你一起参与探究函数y1、y2随自变量x变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．
x
…
0.30
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
4.80
5.60
…
y1
…
2.01
2.98
3.46
3.33
2.83
2.11
1.27
0.38
…
y2
…
5.60
4.95
3.95
2.96
2.06
1.24
0.57
0.10
…
（1）当x＝3时，y1＝　3　．
（2）在图2中画出函数y2的图象，并结合图象判断函数值y1与y2的大小关系．
（3）由（2）知“AC取某值时，有EC＝EB”．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．

【解答】解：（1）当x＝3时，点C和圆心O重合，此时CE为半圆O的半径，

∵AB＝6cm，
∴EC＝y1cm＝3cm，
∴y1＝3，
故答案为：3；
（2）函数y2的图象如图：

由图象得：
当0＜x＜2时，y1＜y2，
当x＝2时，y1＝y2，
当2＜x＜6时，y1＞y2；
（3）连接OD，作EH⊥AB于H，

由（2）知AC＝2时，有EC＝EB，
∵AC＝2cm，AB＝6cm，
∴OA＝OD＝OE＝OB＝3cm，OC＝1cm，
∵CD⊥AB，
∴CD＝＝2cm，
设OH＝mcm，则CH＝（1+m）cm，
∵EH⊥AB，
∴EH＝＝，
∵CE∥AD，
∴∠DAC＝∠ECH，
∵∠DCA＝∠EHC＝90°，
∴△DAC∽△ECH，
∴，即，
∴m1＝1，m2＝﹣（不合题意，舍去），
∴HB＝3﹣1＝2cm，EH＝＝2cm，
∴EC＝＝2cm，EB＝＝2cm，
∴EC＝EB．
一十三．作图—应用与设计作图（共3小题）
18．（2022•衢州）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
（1）在图1中画一条线段垂直AB．
（2）在图2中画一条线段平分AB．


【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；
（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）．

19．（2021•衢州）如图，在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出△ACD，使△ACD与△ACB全等，顶点D在格点上．
（2）在图2中过点B画出平分△ABC面积的直线l．

【解答】解：（1）如图1中，△ADC即为所求．
（2）如图2中，直线BT即为所求．

20．（2020•衢州）如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上．
（2）在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）．

【解答】解：（1）如图平行四边形ABDE即为所求（点D的位置还有6种情形可取）．
（2）如图，直线l即为所求．

一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
21．（2020•衢州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求OE的长．

【解答】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，
∴＝，
∴∠CAD＝∠CBA．

（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AE＝DE，
∴OC⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△AEC∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝3.6，
∵OC＝AB＝5，
∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．

一十五．扇形统计图（共1小题）
22．（2020•衢州）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表．
被抽样的学生视力情况频数表
组别
视力段
频数
A
5.1≤x≤5.3
25
B
4.8≤x≤5.0
115
C
4.4≤x≤4.7
m
D
4.0≤x≤4.3
52
（1）求组别C的频数m的值．
（2）求组别A的圆心角度数．
（3）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数．根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？

【解答】解：（1）本次抽查的人数为：115÷23%＝500，
m＝500×61.6%＝308，
即m的值是308；
（2）组别A的圆心角度数是：360°×＝18°，
即组别A的圆心角度数是18°；
（3）25000×＝7000（人），
答：该市25000名九年级学生达到“视力良好”的有7000人，
建议是：同学们应少玩电子产品，注意用眼保护．
一十六．条形统计图（共1小题）
23．（2021•衢州）为进一步做好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师生满意度进行抽样调查．并将结果绘制成如下统计图（不完整）．

（1）求被调查的师生人数，并补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数．
（3）若该校共有师生1800名，根据抽样结果，试估计该校对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数．
【解答】解：（1）被调查的师生人数是：120÷60%＝200（人），
“不满意”的人数有：200﹣120﹣70＝10（人），
补充条形统计图如图：

（2）扇扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数为×360°＝126°；
（3）1800×＝1710（人）．
答：估计该校对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数为1710人．
一十七．算术平均数（共1小题）
24．（2022•衢州）【新知学习】在气象学上，“入夏”由两种平均气温与22℃比较来判断：
衢州市2021年5月5日～5月14日的两种平均气温统计表（单位：℃）
2021年5月
5日
6日
7日
8日
9日
10日
11日
12日
13日
14日
（日平均气温）
20
21
22
21
24
26
25
24
25
27
（五天滑动平均气温）
…
…
21.6
22.8
23.6
24
24.8
25.4
…
…
注：“五天滑动平均气温”指某一天及其前后各两天的日平均气温的平均数，如：5月8日＝（5月6日+5月7日+5月8日+5月9日+5月10日）＝（21+22+21+24+26）＝22.8（℃）．
已知2021年的从5月8日起首次连续五天大于或等于22℃，而5月8日对应着5月6日～5月10日，其中第一个大于或等于22℃的是5月7日，则5月7日即为我市2021年的“入夏日”．
【新知应用】已知我市2022年的“入夏日”为图中的某一天，请根据信息解决问题：

（1）求2022年的5月27日．
（2）写出从哪天开始，图中的连续五天都大于或等于22℃．并判断今年的“入夏日”．
（3）某媒体报道：“夏天姗姗来迟，衢州2022年的春天比去年长．”你认为这样的说法正确吗？为什么？（我市2021年和2022年的入春时间分别是2月1日和2月27日）
【解答】解（1）（℃）；
（2）从5月27日开始，连续五天都大于或等于22℃，我市2022年的“入夏日”为5月25日；
（3）不正确．因为今年的入夏时间虽然比去年迟了18天，但是今年的入春时间比去年迟了26天，所以今年的春天应该比去年还短．