*4.5相似三角形判定定理的证明

一、解答题

1．已知：如图，△ABC∽△ADE， ∠A=45°，∠C=40°．求：∠ADE的度数．

​

【答案】∠ADE=95°

【分析】

由△ABC∽△ADE，∠C=40°，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠AED的度数，又由三角形的内角和等于180°，即可求得∠ADE的度数．

【解析】

∵△ABC∽△ADE， ∠C=40°，

∴∠AED=∠C=40°．

在△ADE中，

∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∠A=45°

即40°+∠ADE+45°=180°，

∴∠ADE=95°．

【点睛】

此题考查了相似三角形的性质与三角形内角定理．题目比较简单，注意相似三角形的对应角相等．

2．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．

【答案】证明见解析．

【分析】

根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．

【解析】

∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC．

又∵CE⊥AB，

∴∠ADB=∠CEB=90°，

又∵∠B=∠B，

∴△ABD∽△CBE．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．

3．如图，在中，，，，．

（1）求证：∽；

（2）求的长度．

【答案】（1）见解析；（2）．

【分析】

（1）由平行线的性质得∠ADE＝∠B，，从而可得到∽；

（2）由∽，可得，又知，，，可求AB=7，从而可得到EC的长度．

【解析】

（1）∵，

∴，，

∴∽；

（2）∵∽，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理及性质定理.

4．如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且，求证：△ABC∽△DAC．

【答案】证明见解析

【分析】

根据，可以得到，再根据CA是∠BCD的角平分线，可以得到，即可得证.

【解析】

解：∵，

∴，

∵CA是∠BCD的角平分线，

∴，

∴.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件.

5．如图，在四边形中，，，．求证：∽．

【答案】见解析.

【分析】

由平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，结合∠A＝∠BDC＝90°，从而可得到△ABD∽△DCB．

【解析】

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴∽．

【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.

6．如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝78cm，BO＝42cm，CD＝159cm，求CO和DO．

【答案】

【解析】

试题分析：根据题意，易证，根据相似三角形的判定与性质，列出比例式即可解得和的长．

试题解析：设则

即

点睛：两组角对应相等，两三角形相似.

7．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．

【答案】证明见解析．

【分析】

由对应边成比例，及夹角可得△ACD∽△ABC即可．

【解析】

证明：∵AC2＝AD⋅AB，

∴AC：AB＝AD：AC．

又∵∠A＝∠A，

∴△ACD∽△ABC．

【点睛】

本题考查相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键．

8．如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，求证：△DEC∽△ADF．

【答案】见解析

【分析】

根据两角对应相等两三角形相似即可得出结论．

【解析】

证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠C＝90°，AD∥BC，

∴∠ADF＝∠DEC，

∵AF⊥DE，

∴∠AFD＝∠C＝90°，

∴△DEC∽△ADF．

【点睛】

本题考查矩形的性质、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．

9．在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证：

【答案】见解析

【分析】

过D作交于G，证明和相似，和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题．

【解析】

证明：过D作交于G，则和相似，

∴，

∵，

∴，

由可得和相似，

∴即，

∴

【点睛】

本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键．

10．已知，如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE=60°．

求证：△ABD∽△DCE．

【答案】见解析．

【分析】

两个三角形中如果两组角对应相等,那么这两个三角形互为相似三角形,从而可证明本题．

【解析】

证明:∵∠ABC=∠ACB=60°,

∴∠ABD=∠ECD=120°,

又∵∠ADB+∠DAB=∠ABC=60°,

∠ADB+∠EDC=60°

∴∠DAB=∠EDC

△ABD∽△DCE．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定定理，关键知道两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形互为相似三角形．

11．如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，

（1）求证：；

（2）若3AB=2AD，且DE=6，求BC的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）根据∠BAD=∠CAE，可证得∠DAE=∠BAC，然后用相似三角形判定方法直接判定即可；

（2）利用∆ABC∽∆ADE，得到对应边成比例，然后计算即可．

【解析】

（1）∵∠BAD=∠CAE，

 ∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，

 ∴∠DAE=∠BAC，

 ∵∠B=∠D，

∴在∆ABC和∆ADE中，∠DAE=∠BAC，∠B=∠D，∠E=∠C，

∴ ∆ABC∽∆ADE；

(2)由（1）知 ∆ABC∽∆ADE，且3AB=2AD，

∴==，

∵DE=6，

∴．

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定和性质，能够证明相似并用相似的性质计算边长是解题的关键．

12．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．求证：△CDE∽△CBF；

【答案】见解析

【分析】

根据矩形的性质可得∠D＝∠CBF＝∠BCD＝90°，由CF⊥CE可证∠BCF＝∠DCE，则可证△CDE∽△CBF．

【解析】

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠CBF＝∠BCD＝90°．

∵CF⊥CE

∴∠ECF＝90°．

∴∠BCD－∠ECB＝∠ECF－∠ECB．

即∠BCF＝∠DCE．

∴△CDE∽△CBF．

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定方法是解题的关键．

13．如图，在中，点在边上，，求证：．

【答案】见解析

【分析】

根据相似三角形的判定方法直接证明即可．

【解析】

证明：在与中，

∵，，

∴

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，题目比较基础，找到两组对应相等的角是解题的关键．

14．如图，是的角平分线，延长至点使得．求证：．

【答案】证明见解析．

【分析】

先根据角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证．

【解析】

是的角平分线

又

．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．

15．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△BPD．

【答案】见解析

【分析】

根据PC＝PD＝CD，可得出为等边三角形，即可得出,进而得出,再根据相似三角形的判定推出即可．

【解析】

证明：∵PC＝PD＝CD，

∴为等边三角形，

∴∠PCD＝∠PDC，

∴,

∵∠A＝∠BPD，

∴△APC∽△PBD．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似．

16．如图，已知．求证：．

【答案】

【分析】

利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得到；

【解析】

证明：，

在中，

，

,

在中，

在△ABC和△DEF中，三边对应成比例,

．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质：三边对应成比例的两个三角形相似，熟悉运用相似三角形的判定与性质即可进行证明．

17．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE＝60°，求证：BD•CD＝AC•CE．

【答案】见解析

【分析】

先证明再证明再利用相似三角形与等边三角形的性质可得结论.

【解析】

证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，

∵∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，

∴∠BAD＝∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，

∴，

∴BD•CD＝AB•CE，

即BD•CD＝AC•CE；

【点睛】

本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握两个角分别对应相等的两个三角形相似是解题的关键.

18．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．

（1）求证：△AED∽△ABC；

（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）先证△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求证；（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，先证△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再证EF=EC即可.

解：（1）∵∠ABE =∠ACD，且∠A是公共角，

 ∴△ABE∽△ACD．

∴，即，

又∵∠A是公共角，

 ∴△AED∽△ABC．

（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，

在△BDE与△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，

∴△BDE≌△BFE，

∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，

∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，

∴∠EFC=∠ACB，

∴EF=EC，

∴DE=CE．

19．如图，已知，在平行四边形ABCD中，E为射线CB上一点，联结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝∠BAC．

（1）求证：CF•CA＝CB•CE；

（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）利用平行四边形性质，得到∠ADE＝∠E．结合已知找到∠BAC＝∠E．即可证明△ACB∽△ECF．从而得到结论．

（2）先证明△ADF∽△CEF．利用对应边成比例，结合已知AC＝DE和（1）的结论，即可证明AB＝BC，从而得到结论．

【解析】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．

∴AD∥BC．

∴∠ADE＝∠E．

∵∠ADE＝∠BAC．

∴∠BAC＝∠E．

∵∠ACB＝∠ECF．

∴△ACB∽△ECF．

∴．

∴CF•CA＝CB•CE

（2）由（1）知∠ADE＝∠E．

∵∠ADF＝∠CFE．

∴△ADF∽△CEF．

∴．

∴．

∵AC＝DE．

∴EF＝CF．

∵△ACB∽△ECF．

∴AB＝BC

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质和菱形的判定等知识，关键在于熟悉各个知识点在本题中运用．

20．如图，在中，的平分线交边于点，交的延长线于点，点在上，联结

（1）求证：；

（2）连结，如果，且，求的长．

【答案】（1）见详解；（2）

【分析】

（1）根据四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，证明△GDF∽△DAF，对应边成比例即可得结论；

（2）根据已知条件可得BA＝BE＝6，EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，得AG＝GE＝EF，结合，即可求出AF的长．

【解析】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DF，AD∥BC，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAF＝∠DAF＝∠F，

∴AD＝DF，

∵∠GDF＝∠F，

∴△GDF∽△DAF，

∴，

∴；

（2）解：∵AF平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAF，

∵AD∥BC，

∴∠BEA＝∠DAF，

∴∠BEA＝∠BAE，

∴是等腰三角形，

∴BA＝BE＝6，

∵BG⊥AE，

∴AG=EG，

∵∠BEA＝∠CEF，

∴∠CEF＝∠F，

∴EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，

∴，

即AG＝GE＝EF，

∵△GDF∽△DAF，AD=FD，

∴DG=FG，

∴DG=，

∵，

∴AF2＝81，

∴AF＝．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，涉及的知识较多，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．