人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示达标测试

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示达标测试，共38页。
 6.3.5平面向量数量积的坐标表示
导学案
编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波
【学习目标】
1.会用坐标表示平面向量的数量积.
2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角.
3.能够利用坐标判断向量的垂直关系.
【自主学习】
知识点1 面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．
知识点2 平面向量长度(模)的坐标表示
(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
知识点3 两向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
知识点3 向量的夹角公式
设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝.

【合作探究】
探究一 平面向量数量积的坐标运算
【例1】已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
解　(1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．

归纳总结：进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.

【练习1】若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝____________；a·(b·c)＝____________.

答案　(－16，－8)　(－8，－12)
解析　∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，
∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．
∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，
∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)．


探究二 向量的模的问题
【例2】向量与向量a＝(－3,4)的夹角为π，||＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为(　　)
A．(－7,8)　　　 　 　 　B．(9，－4)
C．(－5,10) D．(7，－6)
[解析]　(1)∵向量与向量a＝(－3,4)的夹角为π，
∴设＝ka＝k(－3,4)＝(－3k,4k)(k0且cosθ≠1，即a·b>0且a与b方向不同，
即a·b＝1－2λ>0，且a≠mb(m>0)，
解得λ∈(－∞，－2)∪(－2，)．故选A.
【例3-2】已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
[答案]　7
[解析]　因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，
所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.
【例3-3】已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5.
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
又∵a，b的夹角范围为[0，π]．
∴a与b的夹角为.

归纳总结：根据向量的坐标表示求a与b的夹角时，需要先求出a·b及|a|，|b|，再求夹角的余弦值，从而确定θ.


【练习3-1】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．
解　设a与b的夹角为θ，
则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，
所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ