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辽宁省2022年中考数学卷真题分题型分层汇编-09解答题（基础题）
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这是一份辽宁省2022年中考数学卷真题分题型分层汇编-09解答题（基础题），共28页。
辽宁省2022年中考数学卷真题分题型分层汇编-09解答题（基础题）
一．二次函数的应用（共7小题）
1． （2022•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
2． （2022•鞍山）某超市购进一批水果，成本为8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式m＝x+18（1≤x≤10，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（kg）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
时间第x天
…
2
5
9
…
销售量y/kg
…
33
30
26
…
（1）求y与x的函数解析式；
（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
3． （2022•丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
4． （2022•沈阳）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 平方厘米．
5． （2022•辽宁）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价x（元）
……
20
22
24
……
日销售量y（千克）
……
66
60
54
……
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
6． （2022•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
7． （2022•盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
二．勾股定理（共1小题）
8． （2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．
（1）求AC的长；
（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
三．平行四边形的判定（共1小题）
9． （2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
四．菱形的性质（共1小题）
10． （2022•大连）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF．求证：CE＝CF．
五．切线的判定与性质（共4小题）
11． （2022•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE＝∠ABC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，sin∠BEC＝，求⊙O的半径．
12． （2022•沈阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DCE＝90°．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接AC，sin∠BAC＝，BC＝2，AD的长为 ．
13． （2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠FAB．
（1）求证：BG与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．
14． （2022•辽宁）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．
（1）求证：BF与⊙O相切；
（2）若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的长．
六．几何变换综合题（共1小题）
15． （2022•辽宁）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．
（1）如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是 ；
（2）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD+2CE＝AE；
（3）当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出的值．
七．相似三角形的判定与性质（共3小题）
16． （2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 ．
17． （2022•朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
18． （2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D和点E．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若sin∠BAC＝，CE＝6，求OF的长．
八．解直角三角形（共2小题）
19． （2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．
20． （2022•大连）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
（1）如图1，求证∠B＝∠E；
（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．
参考答案与试题解析
一．二次函数的应用（共7小题）
1． （2022•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，
解得：x1＝13，x2＝25（舍去），
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）w＝y（x﹣8），
＝（﹣5x+150）（x﹣8），
＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+2130，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为2050．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是2050元．
2． （2022•鞍山）某超市购进一批水果，成本为8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式m＝x+18（1≤x≤10，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（kg）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
时间第x天
…
2
5
9
…
销售量y/kg
…
33
30
26
…
（1）求y与x的函数解析式；
（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
【解答】解：（1）设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数关系式为y＝kx+b，
根据题意，得：，
解得，
∴y＝﹣x+35（1≤x≤10，x为整数）；
（2）设销售这种水果的日利润为w元，
则w＝（﹣x+35）（x+18﹣8）
＝﹣x2+x+350
＝﹣（x﹣）2+，
∵1≤x≤10，x为整数，
∴当x＝7或x＝8时，w取得最大值，最大值为378，
答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元．
3． （2022•丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
4． （2022•沈阳）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 150 平方厘米．
【解答】解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，
∴x•＝144，
解得x＝12或x＝18，
∴AB＝12cm或AB＝8cm，
∴AB的长为12厘米或8厘米；
（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，
∴S＝x•，即S＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣15）2+150，
∵﹣＜0，
∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．
故答案为：150．
5． （2022•辽宁）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价x（元）
……
20
22
24
……
日销售量y（千克）
……
66
60
54
……
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由表中数据得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，
∴18≤x≤28，
∵﹣3＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大，最大值为420，
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
6． （2022•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得：，
故y与x的函数关系式为y＝﹣20x+500；
（2）设每天销售这种商品所获的利润为w，
∵y＝﹣20x+500，
∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）
＝﹣20x2+760x﹣6500
＝﹣20（x﹣19）2+720，
∵﹣20＜0，
∴当x＜19时，w随x的增大而增大，
∵13≤x≤18，
∴当x＝18时，w有最大值，最大值为700，
∴售价定为18元/件时，每天最大利润为700元．
7． （2022•盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，
由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30）．
把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，
由题意得，
（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，
解得：x1＝40，x2＝20，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）根据题意，则w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），
整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
二．勾股定理（共1小题）
8． （2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．
（1）求AC的长；
（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝3，
∴BD＝＝5，
又∵AD＝BD，
∴AC＝AD+CD＝5+3＝8；
（2）当点P在点D的左侧时，即0＜x＜5，如图1，此时重叠部分的面积就是△PQD的面积，
∵PQ⊥AC，BC⊥AC，
∴PQ∥BC，
∴△ABC∽△AQP，
∴＝＝＝2，
设AP＝x，则PQ＝x，PD＝AD﹣AP＝5﹣x，
∴S重叠部分＝S△PQD＝（5﹣x）×x
＝﹣x2+x；
当点P在点D的右侧时，即5＜x＜8，如图2，
由（1）得，AP＝x，PQ＝x，则PD＝x﹣5，
∵PQ∥BC，
∴△DPE∽△DCB，
∴＝＝，
∴PE＝（x﹣5），
∴QE＝PQ﹣PE＝x﹣（x﹣5）＝﹣x+，
∴S重叠部分＝S△DEQ
＝（x﹣5）×（﹣x+）
＝﹣x2+x﹣；
答：S关于x的函数解析式为：当0＜x＜5时，S＝﹣x2+x；当5＜x＜8时，S＝﹣x2+x﹣．
三．平行四边形的判定（共1小题）
9． （2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE与△CDF中，
．
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB＝CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
四．菱形的性质（共1小题）
10． （2022•大连）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF．求证：CE＝CF．
【解答】证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EAC＝∠FAC，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SAS）
∴CE＝CF．
五．切线的判定与性质（共4小题）
11． （2022•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE＝∠ABC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，sin∠BEC＝，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵∠BCE＝∠ABC，∠BCE＝∠BOE，
∴∠ABC＝∠BOE，
∴OE∥BC，
∴∠OED＝∠BCD，
∵EF∥AC，
∴∠FEC＝∠ACE，
∴∠OED+∠FEC＝∠BCD+∠ACE，
即∠FEO＝∠ACB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠FEO＝90°，
∴FE⊥EO，
∵EO是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵EF∥AC，
∴△FEO∽△ACB，
∴，
∵BF＝2，sin∠BEC＝，
设⊙O的半径为r，
∴FO＝2+r，AB＝2r，BC＝r，
∴，
解得：r＝3，
检验得：r＝3是原分式方程的解，
∴⊙O的半径为3．
12． （2022•沈阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DCE＝90°．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接AC，sin∠BAC＝，BC＝2，AD的长为 6 ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠BAD＝∠DCE，
∵∠BAP+∠DCE＝90°，
∴∠BAP+∠BAD＝90°，
∴∠OAP＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是圆O的切线；
（2）连接BO并延长交⊙O于点F，连接CF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BCF＝90°，
∵∠BAC＝∠F，
∴sin∠BAC＝sinF＝，
在Rt△BCF中，BC＝2，
∴BF＝＝＝6，
∴AD＝BF＝6，
故答案为：6．
13． （2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠FAB．
（1）求证：BG与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．
【解答】解：（1）连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝90°，
∴BE是圆O的直径，
∵∠BAF+∠EAF＝90°，∠EAF＝∠EBF，∠FBG＝∠FAB，
∴∠FBG+∠EBF＝90°，
∴∠OBG＝90°，
故BG是圆O的切线；
（2）如图，连接OA，OF，
∵四边形ABCD是正方形，BE是圆的直径，
∴∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，
∴∠FED＝45°，
∴∠AOF＝90°，
∵OA＝OF＝1，
∴AF2＝AO2+FO2＝1+1＝2，
∴AF＝，AF＝﹣（舍去）．
14． （2022•辽宁）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．
（1）求证：BF与⊙O相切；
（2）若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的长．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵点F为DE的中点，
∴BF＝EF＝AD，
∴∠FEB＝∠FBE，
∵∠AEP＝∠FEB，
∴∠FBE＝∠AEP，
∵PD⊥AC，
∴∠EPA＝90°，
∴∠A+∠AEP＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠OBA+∠FBE＝90°，
∴∠OBF＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF与⊙O相切；
（2）解：在Rt△AEP中，cosA＝，AP＝4，
∴AE＝＝＝5，
∴PE＝＝＝3，
∵AP＝OP＝4，
∴OA＝OC＝2AP＝8，
∴PC＝OP+OC＝12，
∵∠A+∠AEP＝90°，∠A+∠C＝90°，
∴∠AEP＝∠C，
∵∠APE＝∠DPC＝90°，
∴△APE∽△DPC，
∴＝，
∴＝，
∴DP＝16，
∴DE＝DP﹣PE＝16﹣3＝13，
∴BF＝DE＝，
∴BF的长为．
六．几何变换综合题（共1小题）
15． （2022•辽宁）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．
（1）如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是 45° ；
（2）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD+2CE＝AE；
（3）当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出的值．
【解答】（1）解：∵线段AB绕点A逆时针旋转α至AD，α＝20°，
∴∠BAD＝20°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝×（180°﹣20°）＝80°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝70°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝35°，
∴∠AEB＝∠ADB﹣∠DAE＝80°﹣35°＝45°，
故答案为：45°；
（2）证明：延长DB到F，使BF＝CE，连接AF，
∵AB＝AC，AD＝AB，
∴AD＝AC，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE，
又∵AE＝AE，
∴△ADE≌△ACE（SAS），
∴∠DEA＝∠CEA，∠ADE＝∠ACE，DE＝CE，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ADE+∠ADB＝180°，
∴∠ACE+∠ABD＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BEC＝360°﹣（∠ACE+∠ABD）﹣∠BAC＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
∵∠DEA＝∠CEA，
∴∠DEA＝∠CEA＝90°＝45°，
∵∠ABF+∠ABD＝180°，∠ACE+∠ABD＝180°，
∴∠ABF＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，∠AFB＝∠AEC＝45°，
∴∠FAE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△AFE中，∠FAE＝90°，
∵cos∠AEF＝，
∴EF＝，
∵EF＝BF+BD+DE＝CE+BD+CE＝BD+2CE，
∴BD+2CE＝AE；
（3）解：如图3，当0°＜α＜90°时，
由（2）可知BD+2CE＝AE，CE＝DE，
∵AE＝2CE，
∴BD+2DE＝2DE，
∴＝2；
如图4，当90°＜α＜180°时，
在BD上截取BF＝DE，连接AF，方法同（2）可证△ADE≌△ACE（SAS），
∴DE＝CE，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠ABF＝∠ADE，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，
又∵∠DAE＝∠CAE，
∴∠BAF＝∠CAE，
∴∠EAF＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AE，
∴BD＝BF+DE+EF＝2DE+AE，
∵AE＝2CE＝2DE，
∴BD＝2DE+2DE，
∴+2．
综上所述，的值为2+2或2﹣2．
七．相似三角形的判定与性质（共3小题）
16． （2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 3或2 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝＝＝2，
当∠APQ＝90°时，如图1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，
∴△CAP∽△BAC，
∴，即，
∴AP＝3，
当∠AQP＝90°时，如图2，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DPEC是矩形，
∴CQ＝QP，
∵∠AQP＝90°，
∴AQ垂直平分CP，
∴AP＝AC＝2，
综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2，
故答案为：3或2．
17． （2022•朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACD＝∠B，∠B＝∠DAF，
∴∠DAF+∠DAC＝90°，
∴OA⊥AF，
∵OA是半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：作DH⊥AC于点H，
∵⊙O的半径为5，
∴AC＝10，
∵∠AHD＝∠ADC，∠DAH＝∠CAD，
∴△ADH∽△ACD，
∴，
∴AD2＝AH•AC，
∴AH＝，
∵AD是△AEF的中线，∠EAF＝90°，
∴AD＝ED，
∴AE＝2AH＝．
18． （2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D和点E．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若sin∠BAC＝，CE＝6，求OF的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴EF∥OD，EF＝OD，
∵OA＝OD，
∴EF∥OA，EF＝OA，
∴四边形AOEF是平行四边形，
∴OE∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∴OE⊥BC，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
（2）解：过点F作FH⊥OA于点H，
∵四边形AOEF是平行四边形，
∴EF∥OA，
∴∠CFE＝∠CAB，
∴sin∠CFE＝sin∠CAB＝，
在Rt△CEF中，∠ACB＝90°，
∵CE＝6，sin∠CFE＝，
∴EF＝，
∵四边形AOEF是平行四边形，且OA＝OE，
∴▱AOEF是菱形，
∴AF＝AO＝EF＝10，
在Rt△AFH中，∠AHF＝90°，
∵AF＝10，sin∠CAB＝，
∴FH＝AF，
∵AH2＝AF2﹣FH2，
∴AH＝，
∴OH＝AO﹣AH＝10﹣8＝2，
在Rt△OFH中，∠FHO＝90°，
∵OF2＝OH2+FH2，
∴OF＝，
∴OF＝2．
八．解直角三角形（共2小题）
19． （2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．
理由：连接OC．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠CBE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BD，
∵CD⊥BD，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵OC⊥DC，CD⊥DB，
∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，
∴四边形CDEJ是矩形，
∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，
∴OC⊥AE，
∴AJ＝EJ，
∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，
∴DE＝3，CD＝3，
∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，
在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，
∴r＝，
∴⊙O的半径为．
20． （2022•大连）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
（1）如图1，求证∠B＝∠E；
（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．
【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A
∴AB⊥AE，
∴∠A＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠BDO＝∠A＝90°，
∵∠BOD＝∠AOE，
∴∠B＝∠E．
（2）如图2，连接AC，
∵OA＝2，OE＝3，
∴根据勾股定理得AE＝，
∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠EOA，
∴△BOD∽△EOA，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝，
∴CD＝BD＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC＝，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得AD＝
＝
＝．
辽宁省2022年中考数学卷真题分题型分层汇编-09解答题（基础题）
一．二次函数的应用（共7小题）
1． （2022•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
2． （2022•鞍山）某超市购进一批水果，成本为8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式m＝x+18（1≤x≤10，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（kg）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
时间第x天
…
2
5
9
…
销售量y/kg
…
33
30
26
…
（1）求y与x的函数解析式；
（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
3． （2022•丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
4． （2022•沈阳）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 平方厘米．
5． （2022•辽宁）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价x（元）
……
20
22
24
……
日销售量y（千克）
……
66
60
54
……
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
6． （2022•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
7． （2022•盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
二．勾股定理（共1小题）
8． （2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．
（1）求AC的长；
（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
三．平行四边形的判定（共1小题）
9． （2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
四．菱形的性质（共1小题）
10． （2022•大连）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF．求证：CE＝CF．
五．切线的判定与性质（共4小题）
11． （2022•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE＝∠ABC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，sin∠BEC＝，求⊙O的半径．
12． （2022•沈阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DCE＝90°．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接AC，sin∠BAC＝，BC＝2，AD的长为 ．
13． （2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠FAB．
（1）求证：BG与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．
14． （2022•辽宁）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．
（1）求证：BF与⊙O相切；
（2）若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的长．
六．几何变换综合题（共1小题）
15． （2022•辽宁）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．
（1）如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是 ；
（2）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD+2CE＝AE；
（3）当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出的值．
七．相似三角形的判定与性质（共3小题）
16． （2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 ．
17． （2022•朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
18． （2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D和点E．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若sin∠BAC＝，CE＝6，求OF的长．
八．解直角三角形（共2小题）
19． （2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．
20． （2022•大连）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
（1）如图1，求证∠B＝∠E；
（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．
参考答案与试题解析
一．二次函数的应用（共7小题）
1． （2022•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，
解得：x1＝13，x2＝25（舍去），
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）w＝y（x﹣8），
＝（﹣5x+150）（x﹣8），
＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+2130，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为2050．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是2050元．
2． （2022•鞍山）某超市购进一批水果，成本为8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式m＝x+18（1≤x≤10，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（kg）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
时间第x天
…
2
5
9
…
销售量y/kg
…
33
30
26
…
（1）求y与x的函数解析式；
（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
【解答】解：（1）设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数关系式为y＝kx+b，
根据题意，得：，
解得，
∴y＝﹣x+35（1≤x≤10，x为整数）；
（2）设销售这种水果的日利润为w元，
则w＝（﹣x+35）（x+18﹣8）
＝﹣x2+x+350
＝﹣（x﹣）2+，
∵1≤x≤10，x为整数，
∴当x＝7或x＝8时，w取得最大值，最大值为378，
答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元．
3． （2022•丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
4． （2022•沈阳）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 150 平方厘米．
【解答】解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，
∴x•＝144，
解得x＝12或x＝18，
∴AB＝12cm或AB＝8cm，
∴AB的长为12厘米或8厘米；
（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，
∴S＝x•，即S＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣15）2+150，
∵﹣＜0，
∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．
故答案为：150．
5． （2022•辽宁）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价x（元）
……
20
22
24
……
日销售量y（千克）
……
66
60
54
……
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由表中数据得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，
∴18≤x≤28，
∵﹣3＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大，最大值为420，
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
6． （2022•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得：，
故y与x的函数关系式为y＝﹣20x+500；
（2）设每天销售这种商品所获的利润为w，
∵y＝﹣20x+500，
∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）
＝﹣20x2+760x﹣6500
＝﹣20（x﹣19）2+720，
∵﹣20＜0，
∴当x＜19时，w随x的增大而增大，
∵13≤x≤18，
∴当x＝18时，w有最大值，最大值为700，
∴售价定为18元/件时，每天最大利润为700元．
7． （2022•盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，
由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30）．
把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，
由题意得，
（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，
解得：x1＝40，x2＝20，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）根据题意，则w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），
整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
二．勾股定理（共1小题）
8． （2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．
（1）求AC的长；
（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝3，
∴BD＝＝5，
又∵AD＝BD，
∴AC＝AD+CD＝5+3＝8；
（2）当点P在点D的左侧时，即0＜x＜5，如图1，此时重叠部分的面积就是△PQD的面积，
∵PQ⊥AC，BC⊥AC，
∴PQ∥BC，
∴△ABC∽△AQP，
∴＝＝＝2，
设AP＝x，则PQ＝x，PD＝AD﹣AP＝5﹣x，
∴S重叠部分＝S△PQD＝（5﹣x）×x
＝﹣x2+x；
当点P在点D的右侧时，即5＜x＜8，如图2，
由（1）得，AP＝x，PQ＝x，则PD＝x﹣5，
∵PQ∥BC，
∴△DPE∽△DCB，
∴＝＝，
∴PE＝（x﹣5），
∴QE＝PQ﹣PE＝x﹣（x﹣5）＝﹣x+，
∴S重叠部分＝S△DEQ
＝（x﹣5）×（﹣x+）
＝﹣x2+x﹣；
答：S关于x的函数解析式为：当0＜x＜5时，S＝﹣x2+x；当5＜x＜8时，S＝﹣x2+x﹣．
三．平行四边形的判定（共1小题）
9． （2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE与△CDF中，
．
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB＝CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
四．菱形的性质（共1小题）
10． （2022•大连）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF．求证：CE＝CF．
【解答】证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EAC＝∠FAC，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SAS）
∴CE＝CF．
五．切线的判定与性质（共4小题）
11． （2022•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE＝∠ABC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，sin∠BEC＝，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵∠BCE＝∠ABC，∠BCE＝∠BOE，
∴∠ABC＝∠BOE，
∴OE∥BC，
∴∠OED＝∠BCD，
∵EF∥AC，
∴∠FEC＝∠ACE，
∴∠OED+∠FEC＝∠BCD+∠ACE，
即∠FEO＝∠ACB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠FEO＝90°，
∴FE⊥EO，
∵EO是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵EF∥AC，
∴△FEO∽△ACB，
∴，
∵BF＝2，sin∠BEC＝，
设⊙O的半径为r，
∴FO＝2+r，AB＝2r，BC＝r，
∴，
解得：r＝3，
检验得：r＝3是原分式方程的解，
∴⊙O的半径为3．
12． （2022•沈阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DCE＝90°．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接AC，sin∠BAC＝，BC＝2，AD的长为 6 ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠BAD＝∠DCE，
∵∠BAP+∠DCE＝90°，
∴∠BAP+∠BAD＝90°，
∴∠OAP＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是圆O的切线；
（2）连接BO并延长交⊙O于点F，连接CF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BCF＝90°，
∵∠BAC＝∠F，
∴sin∠BAC＝sinF＝，
在Rt△BCF中，BC＝2，
∴BF＝＝＝6，
∴AD＝BF＝6，
故答案为：6．
13． （2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠FAB．
（1）求证：BG与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．
【解答】解：（1）连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝90°，
∴BE是圆O的直径，
∵∠BAF+∠EAF＝90°，∠EAF＝∠EBF，∠FBG＝∠FAB，
∴∠FBG+∠EBF＝90°，
∴∠OBG＝90°，
故BG是圆O的切线；
（2）如图，连接OA，OF，
∵四边形ABCD是正方形，BE是圆的直径，
∴∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，
∴∠FED＝45°，
∴∠AOF＝90°，
∵OA＝OF＝1，
∴AF2＝AO2+FO2＝1+1＝2，
∴AF＝，AF＝﹣（舍去）．
14． （2022•辽宁）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．
（1）求证：BF与⊙O相切；
（2）若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的长．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵点F为DE的中点，
∴BF＝EF＝AD，
∴∠FEB＝∠FBE，
∵∠AEP＝∠FEB，
∴∠FBE＝∠AEP，
∵PD⊥AC，
∴∠EPA＝90°，
∴∠A+∠AEP＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠OBA+∠FBE＝90°，
∴∠OBF＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF与⊙O相切；
（2）解：在Rt△AEP中，cosA＝，AP＝4，
∴AE＝＝＝5，
∴PE＝＝＝3，
∵AP＝OP＝4，
∴OA＝OC＝2AP＝8，
∴PC＝OP+OC＝12，
∵∠A+∠AEP＝90°，∠A+∠C＝90°，
∴∠AEP＝∠C，
∵∠APE＝∠DPC＝90°，
∴△APE∽△DPC，
∴＝，
∴＝，
∴DP＝16，
∴DE＝DP﹣PE＝16﹣3＝13，
∴BF＝DE＝，
∴BF的长为．
六．几何变换综合题（共1小题）
15． （2022•辽宁）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．
（1）如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是 45° ；
（2）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD+2CE＝AE；
（3）当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出的值．
【解答】（1）解：∵线段AB绕点A逆时针旋转α至AD，α＝20°，
∴∠BAD＝20°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝×（180°﹣20°）＝80°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝70°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝35°，
∴∠AEB＝∠ADB﹣∠DAE＝80°﹣35°＝45°，
故答案为：45°；
（2）证明：延长DB到F，使BF＝CE，连接AF，
∵AB＝AC，AD＝AB，
∴AD＝AC，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE，
又∵AE＝AE，
∴△ADE≌△ACE（SAS），
∴∠DEA＝∠CEA，∠ADE＝∠ACE，DE＝CE，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ADE+∠ADB＝180°，
∴∠ACE+∠ABD＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BEC＝360°﹣（∠ACE+∠ABD）﹣∠BAC＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
∵∠DEA＝∠CEA，
∴∠DEA＝∠CEA＝90°＝45°，
∵∠ABF+∠ABD＝180°，∠ACE+∠ABD＝180°，
∴∠ABF＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，∠AFB＝∠AEC＝45°，
∴∠FAE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△AFE中，∠FAE＝90°，
∵cos∠AEF＝，
∴EF＝，
∵EF＝BF+BD+DE＝CE+BD+CE＝BD+2CE，
∴BD+2CE＝AE；
（3）解：如图3，当0°＜α＜90°时，
由（2）可知BD+2CE＝AE，CE＝DE，
∵AE＝2CE，
∴BD+2DE＝2DE，
∴＝2；
如图4，当90°＜α＜180°时，
在BD上截取BF＝DE，连接AF，方法同（2）可证△ADE≌△ACE（SAS），
∴DE＝CE，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠ABF＝∠ADE，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，
又∵∠DAE＝∠CAE，
∴∠BAF＝∠CAE，
∴∠EAF＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AE，
∴BD＝BF+DE+EF＝2DE+AE，
∵AE＝2CE＝2DE，
∴BD＝2DE+2DE，
∴+2．
综上所述，的值为2+2或2﹣2．
七．相似三角形的判定与性质（共3小题）
16． （2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 3或2 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝＝＝2，
当∠APQ＝90°时，如图1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，
∴△CAP∽△BAC，
∴，即，
∴AP＝3，
当∠AQP＝90°时，如图2，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DPEC是矩形，
∴CQ＝QP，
∵∠AQP＝90°，
∴AQ垂直平分CP，
∴AP＝AC＝2，
综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2，
故答案为：3或2．
17． （2022•朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACD＝∠B，∠B＝∠DAF，
∴∠DAF+∠DAC＝90°，
∴OA⊥AF，
∵OA是半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：作DH⊥AC于点H，
∵⊙O的半径为5，
∴AC＝10，
∵∠AHD＝∠ADC，∠DAH＝∠CAD，
∴△ADH∽△ACD，
∴，
∴AD2＝AH•AC，
∴AH＝，
∵AD是△AEF的中线，∠EAF＝90°，
∴AD＝ED，
∴AE＝2AH＝．
18． （2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D和点E．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若sin∠BAC＝，CE＝6，求OF的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴EF∥OD，EF＝OD，
∵OA＝OD，
∴EF∥OA，EF＝OA，
∴四边形AOEF是平行四边形，
∴OE∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∴OE⊥BC，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
（2）解：过点F作FH⊥OA于点H，
∵四边形AOEF是平行四边形，
∴EF∥OA，
∴∠CFE＝∠CAB，
∴sin∠CFE＝sin∠CAB＝，
在Rt△CEF中，∠ACB＝90°，
∵CE＝6，sin∠CFE＝，
∴EF＝，
∵四边形AOEF是平行四边形，且OA＝OE，
∴▱AOEF是菱形，
∴AF＝AO＝EF＝10，
在Rt△AFH中，∠AHF＝90°，
∵AF＝10，sin∠CAB＝，
∴FH＝AF，
∵AH2＝AF2﹣FH2，
∴AH＝，
∴OH＝AO﹣AH＝10﹣8＝2，
在Rt△OFH中，∠FHO＝90°，
∵OF2＝OH2+FH2，
∴OF＝，
∴OF＝2．
八．解直角三角形（共2小题）
19． （2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．
理由：连接OC．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠CBE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BD，
∵CD⊥BD，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵OC⊥DC，CD⊥DB，
∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，
∴四边形CDEJ是矩形，
∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，
∴OC⊥AE，
∴AJ＝EJ，
∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，
∴DE＝3，CD＝3，
∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，
在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，
∴r＝，
∴⊙O的半径为．
20． （2022•大连）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
（1）如图1，求证∠B＝∠E；
（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．
【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A
∴AB⊥AE，
∴∠A＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠BDO＝∠A＝90°，
∵∠BOD＝∠AOE，
∴∠B＝∠E．
（2）如图2，连接AC，
∵OA＝2，OE＝3，
∴根据勾股定理得AE＝，
∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠EOA，
∴△BOD∽△EOA，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝，
∴CD＝BD＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC＝，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得AD＝
＝
＝．
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