人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式图文ppt课件

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第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式
第二章　§2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
学习目标
1.从函数观点看一元二次方程.了解函数的零点与方程根的关系.
2.从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
导语
同学们，我国历史上有很多杰出的数学家，比如祖冲之、秦九韶等，我们古代的数学重点在于“算”，可以说算学是异常的发达，经常令西方数学家瞠目结舌.既然要算，那么对于“二次方程”必然有所涉猎！比如我们所熟悉的《九章算术》，但是《九章算术》的一贯作风是给个问题，配个答案，剩下的自己去想，至于如何解方程，这就需要大家来解决了.实际上，对于求解一元二次方程方法有很多，比如我们所熟悉的求根公式、配方法，而比较好用的还是十字相乘法.
内容索引
一元二次不等式的定义及解法

一
问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？
提示　设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x)m.由题意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0知识梳理
未知数
2
　　分解下列因式：(1)x2＋4x＋3；
x2＋4x＋3＝(x＋1)(x＋3).
(2)5x2－6x＋1；
5x2－6x＋1＝(x－1)(5x－1).
(3)m2＋2mn－3n2；
m2＋2mn－3n2＝(m＋3n)(m－n).
(4)ax2＋(a－1)x－1(a≠0).
ax2＋(a－1)x－1＝(ax－1)(x＋1)(a≠0).
(1)判定能否使用十字相乘法分解因式时，使用Δ＝b2－4ac，当Δ为完全平方数时，可以在整数范围内对该多项式进行十字相乘.(2)有时需对二次项系数和常数项进行多次拆分，直到符合要求为止.
反思感悟
　　　 因式分解：x2＋3x－10＝____________.
x2＋3x－10＝(x＋5)(x－2).
(x＋5)(x－2)
一元二次不等式的解法

二
问题2　如课本51页图2.3－1，二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？
提示　函数图象与x轴交点的横坐标正好是方程的根.
知识梳理
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使 的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的 .
ax2＋bx＋c＝0
零点
零点不是点，只是函数的图象与x轴交点的横坐标.
注意点：
问题3　你能从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找到x2－12x＋20<0的解集吗？
提示　从图象上看，位于x轴上方的函数值大于零，位于x轴下方的函数值小于零，故x2－12x＋20<0的解集为{x|2知识梳理
{x|xx2}
{x|x1∅
R
∅
(1)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集.(2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集.
注意点：
(教材P52例1,2,3改编)解下列不等式：(1)－2x2＋x－6<0；
原不等式可化为2x2－x＋6>0.因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示).观察图象可得，原不等式的解集为R.
(2)－x2＋6x－9≥0；
原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示，根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}.
(3)x2－2x－3>0.
方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3.函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示.观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
反思感悟
　　　 解下列不等式：(1)x2－5x－6>0；
方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}.
(2)(2－x)(x＋3)<0.
原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}.
含参的一元二次不等式的解法

三
　　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R).
原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
在解含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从以下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1反思感悟
　　　 解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，讨论a＋1与2(a－1)的大小.当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)；当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4；当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或xa＋1或x<2(a－1)}；当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}；当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)或x课堂小结
1.知识清单： (1)一元二次不等式的概念及解法. (2)含参的一元二次不等式的解法.2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法.3.常见误区：解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准.
随堂演练

1.函数y＝x2－4x＋4的零点是A.(2,0) 　　 B.(0,4) 　　C.±2 　　 D.2
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2.不等式3x2－2x＋1>0的解集为A. B.C.∅ D.R
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因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.
3.不等式3＋5x－2x2≤0的解集为
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3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－ .
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课时对点练

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1.下列不等式①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中是一元二次不等式的有A.5个 　　 B.4个 　　 C.3个 　　 D.2个
√
根据一元二次不等式的定义，只有①②满足.
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2.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是
原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
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3.不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是
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方法一　取x＝1检验，满足，排除A；取x＝4检验，不满足，排除B，C.方法二　原不等式可化为2x2＋7x－9≤0，
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5.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B等于A.{1,2,3} B.{1,2}C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}
√
又x∈N*且x≤5，则x＝1,2.
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6.(多选)函数y＝x2－4x＋3的零点为A.(1,0) B.1C.(3,0) D.3
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7.不等式x2－4x＋4>0的解集是_________.
原不等式可化为(x－2)2>0，解得x≠2.
{x|x≠2}
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9.已知不等式x2＋x－6<0的解集为A，不等式x2－2x－3<0的解集为B，求A∩B.
由x2＋x－6<0得－31
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10.解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R).
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原不等式可化为(x－2a)(x＋a)<0.对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.①当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|－a0时，不等式的解集为{x|－a1
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11.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是A.{x|x<－n或x>m} B.{x|－nn} D.{x|－m√
方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n1
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12.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为A.{x|01} D.{x|－1√
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根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－21
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13.(多选)下列不等式的解集为R的有A.x2＋x＋1≥0C.x2＋6x＋10>0D.2x2－3x＋4<1
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A中Δ＝12－4×1<0，满足条件；C中Δ＝62－4×10<0，满足条件；D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能.
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14.关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为 ，则m的取值范围是_________.
{m|m<0}
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由题意知m<0，
∴m的取值范围是{m|m<0}.
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15.设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为__________.
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设y＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A⊆{x|1≤x≤3}，所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0，若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－11
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16.解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0.
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因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－ 1
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