初中数学苏科版九年级上册第1章 一元二次方程综合与测试一课一练

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》单元综合测试题（附答案）

一．选择题（共8小题，满分40分）

1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）

A． B．x2+y2＝4 

C． D．x（1﹣2x2）＝5x2

2．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（　　）

A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2

3．一元二次方程x（x+1）＝3（x+1）的解是（　　）

A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．无实数解

4．一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．只有一个实数根 

C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根

5．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+3a+2b的值为（　　）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

6．某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（　　）

A．19% B．20% C．21% D．22%

7．已知a，b是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是（　　）

A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．1

8．一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（　　）

A．2（7+x）（5+x）＝7×5 B．（7+x）（5+x）＝2×7×5 

C．2（7+2x）（5+2x）＝7×5 D．（7+2x）（5+2x）＝2×7×5

二．填空题（共8小题，满分40分）

9．关于x的一元二次方程的两个根为﹣1和2，请写出这个一元二次方程 　   　．

10．把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为 　   　．

11．若关于x的二次方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　   　．

12．某商品原价每件75元，两次降价后每件48元，则平均每次的降价百分率是 　   　．

13．已知y1＝﹣x2+5，y2＝2x﹣10．当x＝　   　时，y1与y2相等．

14．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为 　   　．

15．若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2022的值为 　   　．

16．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱，如果要使每天销售饮料获利1400元，设每箱应降价x元，则可列方程为 　   　．

三．解答题（共5小题，满分40分）

17．用合适的方法解下列方程

（1）x2﹣5x+1＝0；

（2）2（x﹣5）2+x（x﹣5）＝0．

18．阅读材料：

数学课上，老师在求代数式x2﹣4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，对式子作如下变形：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．

∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1．

当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1，

因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值为1．

通过阅读，解决下列问题：

（1）代数式x2+10x﹣6的最小值为 　   　；

（2）试比较代数式A＝3x2﹣2x与B＝2x2+4x﹣10的大小，并说明理由．

19．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．

（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；

（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．

20．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当Q到达点C时，点Q、P同时停止移动．

（1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2？

（2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm？

21．金都百货某小家电经销商销售一种每个成本为40元的台灯，当每个台灯的售价定为60元时，每周可卖出100个，经市场调查发现，该台灯的售价每降低2元．其每周的销量可增加20个．

（1）台灯单价每降低4元，平均每周的销售量为 　   　个．

（2）如果该经销商每周要获得利润2240元，那么这种台灯的售价应降价多少元？

（3）在（2）的条件下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

参考答案

一．选择题（共8小题，满分40分）

1．解：A、是一元二次方程，则此项符合题意；

B、含有两个未知数，不是一元二次方程，则此项不符题意；

C、不是整式，不是一元二次方程，则此项不符题意；

D、方程x（1﹣2x2）＝5x2整理为x﹣2x3＝5x2，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，则此项不符题意；

故选：A．

2．解：把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得：

k2﹣4＝0，

解得k1＝2，k2＝﹣2，

而k﹣2≠0，

所以k＝﹣2．

故选：A．

3．解：方程整理得：x（x+1）﹣3（x+1）＝0，

分解因式得：（x+1）（x﹣3）＝0，

可得x+1＝0或x﹣3＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝3．

故选：C．

4．解：x2﹣4x﹣3＝0，其中a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根，

故选：C．

5．解：∵a是方程x2+x﹣2022＝0的实数根，

∴a2+a﹣2022＝0，

∴a2+a＝2022，

∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，

∴a+b＝﹣1，

∴a2+3a+2b＝a2+a+2a+2b＝2022+2×（﹣1）＝2020．

故选：A．

6．解：设每年增长率为x，绿地面积为1，

依题意得第一年的绿地面积为：1+x，则第二年的绿地面积为：（1+x）（1+x），

则（1+x）（1+x）＝1+44%，

解得x＝20% （负值已舍），

故选：B．

7．解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，

∴a+b＝﹣（2m+3），ab＝m2，

∵，即＝＝﹣1，

解得：m1＝﹣1，m2＝3．

∵原方程有两个不相等的实数根，

∴Δ＝（2m+3）2﹣4m2＝12m+9＞0，

∴m＞﹣，

∴m＝3．

故选：C．

8．解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，根据题意得：（7+2x）（5+2x）＝2×7×5，

故选：D．

二．填空题（共8小题，满分40分）

9．解：根据题意得：

（x+1）（x﹣2）＝0．

故答案为：（x+1）（x﹣2）＝0（答案不唯一）．

10．解：x2﹣4x﹣8＝0，

移项，得x2﹣4x＝8，

配方，得x2﹣4x+4＝8+4，

∴（x﹣2）2＝12，

∴m＝2，n＝12，

∴m+n＝2+12＝14，

故答案为：14．

11．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根，

∴，

解得m＞且m≠1．

故答案为：m＞且m≠1．

12．解：设平均每次的降价百分率是x，

依题意得：75（1﹣x）2＝48，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去），

∴平均每次的降价百分率为20%．

故答案为：20%．

13．解：根据题意得﹣x2+5＝2x﹣10，

整理得x2+2x﹣15＝0，

（x+5）（x﹣3）＝0，

x+5＝0或x﹣3＝0，

所以x1＝﹣5，x2＝3，

所以当x＝﹣5或3时，y1与y2相等．

故答案为：﹣5或3．

14．解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，

（m﹣3）x2+m2x﹣9x﹣5＝0，

（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，

∵一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，

∴m﹣3≠0且m2﹣9＝0，

解得：m＝﹣3，

故答案为：﹣3．

15．解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，

∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，m+n＝2，

∴m2＝2m+1，n2＝2n+1，

∴2m2+4n2﹣4n+2022

＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+2022

＝4m+2+8n+4﹣4n+2022

＝4（m+n）+2028

＝4×2+2028

＝2036，

故答案为：2036．

16．解：设每箱应降价x元，商场日销售量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12﹣x）元；

依据题意列方程得，

（12﹣x）（100+20x）＝1400，

故答案为：（12﹣x）（100+20x）＝1400．

三．解答题（共5小题，满分40分）

17．解：（1）这里a＝1，b＝﹣5，c＝1，

∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×1＝25﹣4＝21＞0，

∴x＝，

解得：x1＝，x2＝；

（2）分解因式得：（x﹣5）[2（x﹣5）+x]＝0，

所以x﹣5＝0或3x﹣10＝0，

解得：x1＝5，x2＝．

18．解：（1）x2+10x﹣6

＝（x2+10x+25）﹣31

＝（x+5）2﹣31，

∵（x+5）2≥0，

∴当x+5＝0，即x＝﹣5时，代数式x2+10x﹣6的最小值为﹣31．

故答案为：﹣31；

（2）A＞B．理由如下：

∵（3x2﹣2x）﹣（2x2+4x﹣10）

＝3x2﹣2x﹣2x2﹣4x+10

＝x2﹣6x+10

＝（x2﹣6x+9）+1

＝（x﹣3）2+1≥1＞0，

∴A＞B．

19．（1）证明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，

∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，

∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；

（2）解：∵等腰三角形一腰长为5，

∴另外一边长度为5，

∴方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一个根为5，

∴25﹣5（k+2）+2k＝0，

解得k＝5，

∴方程为x2﹣（5+2）x+2×5＝0，

∴（x﹣5）（x﹣2）＝0，

解得x1＝5，x2＝2，

故△ABC的周长＝5+5+2＝12．

20．解：当运动时间为ts时，AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．

（1）依题意得：（5﹣t）×2t＝4，

整理得：t2﹣5t+4＝0，

解得：t1＝1，t2＝4，

当t＝1时，2t＝2×1＝2＜7，符合题意；

当t＝4时，2t＝2×4＝8＞7，不符合题意，舍去．

答：1s后，△PBQ的面积为4cm2．

（2）依题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝25，

整理得：t2﹣2t＝0，

解得：t1＝0（不符合题意，舍去），t2＝2．

答：2s后，PQ的长度为5cm．

21．解：（1）100+×20

＝100+40

＝140（个），

∴台灯单价每降低4元，平均每周的销售量为140个．

故答案为：140．

（2）设这种台灯的售价应降价x元，则每个的销售利润为（60﹣x﹣40）元，平均每周的销售量为（100+×20）个，

依题意得：（60﹣x﹣40）（100+×20）＝2240，

整理得：x2﹣10x+24＝0，

解得：x1＝4，x2＝6，

答：这种台灯的售价应降价4元或6元．

（3）∵尽可能让利于顾客，赢得市场，

∴x＝4舍去，

∴每个台灯应降价6元，售价为60﹣6＝54（元），折扣率为×100%＝90%．

答：该店应按原售价的九折出售．