2021-2022学年北京师范大学第二附属中学高二下学期6月月考数学试题含解析

2021-2022学年北京师范大学第二附属中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．数列，，， ，…的一个通项公式是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将分别代入四个选项检验，利用排除法即可得正确选项.

【详解】对于A：，，，不符合题意，故选项A不正确；

对于B：，不符合题意，故选项B不正确；

对于D：，不符合题意，故选项D不正确；

对于C：，，，, 符合题意，故选项C正确；

故选：C.

2．有3张奖券，其中2张可中奖，现3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据每人抽到中奖券的概率都相等，与抽签顺序无关，即可得到答案.

【详解】有3张奖券，其中2张可中奖，每人依次从中抽一张，每人抽到中奖券的概率都为，

故小明最后抽，则他抽到中奖券的概率也是.

故选：D

【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，注意每个人抽到中奖券的概率相等，与抽签先后顺序无关，属于简单题.

3．已知函数的定义域为(a，b)，导函数在(a，b)上的图象如图所示，则函数在(a，b)上的极大值点的个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据极大值点的定义结合导函数的图象分析判断即可

【详解】由函数极值的定义和导函数的图象可知，在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点．

其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，

故极大值点有2个．

故选：B

4．已知一直线运动的物体，当时间从变到时，物体的位移为，那么为

A．时间从变到时物体的速度

B．在时刻该物体的瞬时速度

C．当时间为时物体的速度

D．时间从变到时物体的平均速度

【答案】B

【分析】根据平均变化率、瞬时速度定义进行判断选择.

【详解】表示从时间t到时物体的平均速度，从而表示在t时刻该物体的瞬时速度．选B.

【点睛】本题考查平均变化率、瞬时速度定义,考查基本分析识别能力,属基础题.

5．已知函数，那么（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据导数的运算计算．

【详解】．

故选：C．

6．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（       ）

A．P(X＝2) B．P(X≤2)

C．P(X＝4) D．P(X≤4)

【答案】C

【解析】根据超几何分布列式求解即可．

【详解】X服从超几何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，

故选：C.

7．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（     ）

A．e2 B．2e2 C．e2 D．

【答案】D

【分析】求函数在时的导数，得到切线斜率，点斜式写出切线方程，求出切线坐标轴上的截距，即可求解.

【详解】因为y′＝ex，

所以切线的斜率k＝e2，

所以切线方程为y＝e2x－e2，它与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－e2)，(1，0)，

所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.

故选：D

8．递增的等比数列中，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由为递增的等比数列，可知，与联立求解，，确定公比，再根据，求解，即可.

【详解】为递增的等比数列

①，

又②

①②联立解得，，即

即

故选：D

【点睛】本题考查等比数列求通项公式，属于中档题.

9．已知袋子内有7个球，其中4个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据古典概型概率公式可分别求得“第一次抽到红球”和“第一次和第二次都抽到红球”的概率，利用条件概率公式求得结果.

【详解】记“第一次抽到红球”为事件；记“第二次抽到红球”为事件

，

本题正确选项：

【点睛】本题考查条件概率的求解问题，属于基础题.

10．已知函数的图象如图所示，则的关系是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据函数导数和极值之间的关系，求出对应，的关系，即可得到结论.

【详解】由函数图象知，为函数的极大值点，为函数的极小值点，

即，是的两个根，又，

所以.

故选：B.

【点睛】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．

11．公差不为零的等差数列的前n项和为是的等比中项，，则S10等于（ ）

A．18 B．24 C．60 D．90

【答案】C

【详解】依题意可得，，设等差数列的公差为，则．由，可得，解得

所以，故选C

12．已知数列满足，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题中的递推关系式及，依次取，，，可分别求出，，，的值，即可求得答案.

【详解】由题意得，又，所以，

易得，则，

同理，，，故

故选：B

13．某随机变量的取值为，，，若，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，，则由，，列出方程组，求出，．

【详解】解：设，，

①，

又，②

由①②得，，，

所以

故选：B.

14．在等差数列{an}中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为 (   )

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【详解】由题意可得S15   =15a8＞0，即a8＞0；

同理可得S16= =8（a8+a9）＜0，即a8+a9＜0，

综上可得a8＞0，a9＜0，故等差数列{an}为递减数列．

故数列的前8项为正数，从第9项开始为负值，

故使an＞0成立的n的最大值为8

故选C

点睛：由等差数列的性质和求和公式结合题意可得，得到a8＞0，a9＜0，进而可得数列的前8项为正数，从第9项开始为负值，故数列从第九项开始为负，前八项都为正.从而得到答案.

15．在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生次数的期望和方差分别为   

A．和 B．和 C．和 D．和

【答案】A

【分析】根据独立重复试验的概率计算公式，求得，再根据二项分布的期望与方差的公式，即可求解.

【详解】由题意，设事件在每次试验中发生的概率为，

因为事件至少发生一次的概率为，即，解得，

则事件发生的次数服从二项分布，

所以事件发生的次数的期望为，方差为，

故选A.

【点睛】本题主要考查了独立重复试验的概率的计算，以及二项分布的期望与方差的计算，其中解答中熟记独立重复试验的概率的计算公式，以及二项分布的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

16．若数列满足则“”是“为等比数列”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】,不妨设，则可证充分性；

为等比数列且时得不到，可知必要性不成立

【详解】不妨设，则

为等比数列；故充分性成立

反之若为等比数列，不妨设公比为，

，

当时，所以必要性不成立

故选：A．

【点睛】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．

(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．

17．数列的通项公式为，其前项和是，那么数列的前项和是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：，

.

.故C正确.

【解析】等差数列的前项和公式.

18．已知函数，且，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算出，利用并项求和法可求得结果.

【详解】对任意的，，

因此，.

故选：C.

19．已知函数，若且满足，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由函数的性质确定参数间的关系及范围，然后把目标式转化为一元函数，再引入函数，由导数确定其取值范围．

【详解】由题意时，是减函数，且，

时，是减函数，且，

由且得，，，，

，所以，

，

设，，

时，，是增函数，所以，即，

所以．

故选：C．

20．已知函数的定义域为，部分对应值如下表：

的导函数的图象如图所示，

则下列关于函数的命题：

① 函数是周期函数；

② 函数在是减函数；

③ 如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；

④ 当时，函数有4个零点．

其中真命题的个数是

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】D

【详解】①显然错误；③容易造成错觉，tmax＝5；④错误，f(2)的不确定影响了正确性；②正确，可由f′(x)<0得到．

二、填空题

21．若点在曲线上，且，则曲线在点处的切线方程是________．

【答案】

【解析】利用点斜式可得出所求切线的方程.

【详解】由题意知，切线的斜率．

所以，曲线在点处的切线方程为，即．

故答案为：．

22．已知数列的前项和，则________.

【答案】

【分析】先利用公式求出数列的通项公式，再利用通项公式求出的值.

【详解】当时，；

当时，.

不适合上式，.

因此，，故答案为.

【点睛】本题考查利用前项和求通项，一般利用公式，但需要验证是否满足，考查计算能力，属于中等题.

23．已知在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【分析】由题意知对于恒成立，分离参数转化为最值问题即可求解.

【详解】由题意知对于恒成立，

可得对于恒成立，

令，只需要即可，

因为当时，最小为，

所以，

所以实数a的取值范围是，

故答案为：.

24．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是去年200例类似项目开发的实施结果.

则该公司一年后估计可获收益的平均数是________元.

【答案】4760

【分析】设可获收益为x万元，先求出投资成功与失败的概率和收益，再计算收益的平均数，即得解.

【详解】设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为－5×50%，

一年后公司成功的概率估计为＝，失败的概率估计为＝，

所以一年后公司收益的平均数＝（元）.

故答案为：4760

25．若数列满足，且，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】根据题意，结合递推关系式与归纳推理，分别求出数列前20项，即可求解.

【详解】根据题意，易知，或，或，、或，

、或，、、或，以此类推，

、、、、、、、… ，

、、、、、、、… .

故，，，

以此类推，得.

故答案为：.

【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．

26．已知在数列中，，，其前n项和为．给出下列四个结论：

①时，；

②；

③当时，数列是递增数列；

④对任意，存在，使得数列成等比数列．

其中所有正确结论的序号是___________．

【答案】①②④

【分析】①依题意可得，即可求出，②表示出，根据二次函数的性质即可判断；利用特殊值判断③，④利用构造法构造数列成等比数列，即可得到结论；

【详解】解：①当时，，则，

即，则，

则，，

则；故①正确．

②因为，，所以，，

即，故②正确；

③当时，不妨设，

则由，，

得，

则，

则，故数列是递增数列错误；故③错误．

④设，

则，

，

，即

存在，数列成等比数列，此时公比；故④正确；

故答案为：①②④

三、解答题

27．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）最大值； 最小值1．

【分析】（1）利用导数求函数的单调区间得解；

（2）比较端点函数值和极值的大小即得解.

【详解】解：（1）函数的定义域为．   

．   

令，解得．

，的变化情况如下表所示．

所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增．

（2）由（1）可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．

因为 ， ，

，          

所以，时，有最大值；时，有最小值1．

28．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图1）．其中四边形为矩形，，和是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形，点F在平面和上射影分别为H，M，已知米，米，梯形的面积是面积的倍．设．

（1）求屋顶面积关于的函数关系式；

（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为元/米．现欲造一栋上、下总高度为米的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由题意知，在中，，得的面积为，从而得屋顶面积为；

（2）别墅总造价为，令，求导求最值即可求解.

【详解】

（1）由题意知平面，，

又因为平面，所以，

在中，，，所以，

因此的面积为，

从而得屋顶面积为，

所以屋顶面积关于的函数关系式，；

（2）在中，，所以主体的高度为，

所以

，

令，，则，

令解得，令解得，

所以在单调递减，在单调递增，

所以当时，取得最小值，

即当时，总造价最低.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是找出的边角关系，表示出的面积，第二问的关键点是求出下部主体的高度即可表示出别墅总造价，利用导数求最值即可.

29．设函数，其中是自然对数的底数.

(1)当时，求函数的极值.

(2)若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围.

(3)设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)函数的极大值为，极小值为；

(2)或；

(3).

【分析】（1）利用导数来判断函数的单调区间，即可求函数的极值；

（2）求导得，令，等价于在内满足或恒成立，因为，所以当且仅当时，，时，,进而得的取值范围．

（3）先假设存在，因为，若在，上存在实数，使得，在区间，上分别求出和的最大值和最小值，然后讨论求解．

（1）解：由已知，得，时，．令，可得或，函数在，，上为单调增函数，在，上为单调减函数，所以函数的极大值为，极小值为.函数的极大值为，极小值为.

（2）解：，令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内，满足或恒成立，当且仅当时，，时，，因为，所以当且仅当时，，时，，因为在内有，当且仅当即时取等号，所以当时，，，此时在单调递增，当时，，，此时在单调递减，综上，的取值范围为或．

（3）解：，在，上是减函数，时，；时，，即，.①时，由（2）知在，递减（1），不合题意.②时，由，，不合题意③时，由（1）知在，上是增函数，故只需，，，而（e），，，解得．故的取值范围为，．