海南省北京师范大学万宁附属中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题 Word版含答案

北师大万宁附中2021-2022学年上学期第一次月考(高二)

数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知点，，则以线段为直径的圆的方程为　　

A． B． 

C． D．

2.如图中的直线、、的斜率分别为、、，则　　

A．                     B． 

C．                     D．

3.已知直线与过点，的直线垂直，则直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

4.方程表示圆，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5.若直线m的方向向量为a，平面α的法向量为μ，则能使m∥α的是(　　)

A.a＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0)    B.a＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1)

C.a＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1)    D.a＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1)

6.已知a=(2,0,1),b=(3,2, －5),则向量b在向量a上的投影向量是 (　　)

A.  (3,2, －5)  B. (3,2, －5)       C.  (2,0,1) D.  (2,0,1)

7.向量a=(2,1,x),b=(2,y,－1),若|a|=,且a⊥b,则x+y的值为(　　)

A. －1             B.1               C. －4            D.4

8.已知向量a=(2,-1,3)，b=(-1,4,-2)，，若a，b，c共面，则实数（   ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线与直线垂直，则实数的值是（   ）

A．              B．              C．             D．

10.如果，，那么直线经过（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

11.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,下列结论正确的有(　　)

A.AD与BC所成的角为30°           B.AC与BD所成的角为90°

C.BC与面ACD所成角的正弦值为  D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是

12.等腰直角三角形的直角顶点为，若点A的坐标为，则点B的坐标可能是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.

13.若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(3,4,2)，则a·(b＋c)＝_______.

14.两平行直线与间的距离为3，则______.

15. 在四棱柱中，，则　  　．

16．如图，二面角为，，，过，分别作的垂线，垂足分别为，，若，，，则的长度为　  　．

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题满分10分)求经过直线∶ 与直线∶ 的交点，且满足下列条件的直线方程.

（1）与直线平行；

（2）与直线垂直.

18.(本题满分12分) 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°.

(1)设＝a，＝b，＝c，用向量a，b，c表示，并求出BC1的长度；

(2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．

19.(本题满分12分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．

(1)求证：BM∥平面ADEF；(2)求证：BC⊥平面BDE.

20.(本题满分12分)已知直线：.

（1）求证：不论为何值，直线总经过第一象限；

（2）为使直线不经过第二象限，求的取值范围.

21. (本题满分12分)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.

(1)求BF的长;           (2)求点C到平面AEC1F的距离.

22．(本题满分12分)如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，为的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的大小；

（3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长.

数学答案

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1-5BDCBB     6-8CCD

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.AB     10.ACD      11.BD      12.AC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.

13.____3__        14.或48_______.

16. 　-3　．       16．3　．

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题满分10分)求经过直线∶ 与直线∶ 的交点，且满足下列条件的直线方程.

（1）与直线平行；

（2）与直线垂直.

17.【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）设所求直线为，

故，

因为此直线与直线，故，故，

故所求直线为.

（2）设所求直线为，

故，

因为此直线与直线，故，故，

故所求直线为.

18.(本题满分12分) 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°.

(1)设＝a，＝b，＝c，用向量a，b，c表示，并求出BC1的长度；

(2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．

18．解析　(1)＝＋＝＋－＝＋－＝a＋c－b.

a·b＝|a|·|b|cos∠BAA1＝1×1×cos 60°＝，同理可得a·c＝b·c＝，

所以||＝＝＝＝.

即BC1的长度为.(6分)

(2)因为＝a＋b，所以||＝＝＝＝，

因为·＝(a＋b)·(a＋c－b)＝a2＋a·c－a·b＋b·a＋c·b－b2＝1＋－＋＋－1＝1，

所以cos〈，〉＝＝＝.(11分)

所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.(12分)

19.(本题满分12分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．

(1)求证：BM∥平面ADEF；

(2)求证：BC⊥平面BDE.

19.证明　∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED⊂平面ADEF，

∴ED⊥平面ABCD.

以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系．

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)．(2分)

(1)∵M为EC的中点，∴M(0,2,1)，

则＝(－2,0,1)，＝(－2,0,0)，＝(0,0,2)，

∴＝＋，故，，共面．

又BM⊄平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.(7分)

(2)＝(－2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(0,0,2)，

∵·＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB.

又·＝0，∴BC⊥DE.

又DE∩DB＝D，∴BC⊥平面BDE.(12分)

20.(本题满分12分)已知直线：.

（1）求证：不论为何值，直线总经过第一象限；

（2）为使直线不经过第二象限，求的取值范围.

20.【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】

（1）直线l为，

即，

，解得，

不论a为何值，直线l总过第一象限的点，

即直线l过第一象限；

（2）因为直线的斜率显然存在，

又直线l不经过第二象限，直线l过第一象限，

所以斜率只能为正，且直线与轴不能交于正半轴；

因此；解得，

21. (本题满分12分)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.

(1)求BF的长;

(2)求点C到平面AEC1F的距离.

21.解析　(1)建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),B(2,4,0),(2分)

设F(0,0,z),∵四边形AEC1F为平行四边形,

∴=,即(-2,0,z)=(-2,0,2),∴z=2,∴F(0,0,2),

∴=(-2,-4,2).(4分)

于是||=2,即BF的长为2.(6分)

(2)设n=(x,y,z)为平面AEC1F的法向量,(7分)

则即

令y=-,得x=1,z=1,则n=1,-,1.(10分)

由(1)知=(0,0,3),

∴点C到平面AEC1F的距离d===.(12分)

22．(本题满分12分)如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，为的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的大小；

（3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长.

22.【解析】：依题意得，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，

则，，

所以面，

又，可以建立以为原点，

分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），

可得，，，，，，，

（1）证明：由题意，，，

因为，所以.

（2）解：，，

设为平面的法向量，则

，即，

不妨令，可得，

平面的一个法向量，

因此有，

由图可得二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为.

（3）解：（方法一）设，，

所以，因此，

令，即，

解得，即为的中点，

因为平面，平面，，

所以当为的中点时，平面平面，

此时即，

，

所以线段的长为.

（方法二）设，，

所以，因此，

设为平面的法向量，

则，即，

不妨令，可得，

因为平面平面，所以，

解得：，此时即，，所以线段的长为