2023届北京师范大学第二附属中学高三10月月考数学试题含解析

2023届北京师范大学第二附属中学高三10月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知可得出关于、的方程组，求出、的值，即可得出.

【详解】已知集合，，且，则，解得，

所以，，，因此，.

故选：B.

2．点从（1,0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用弧长公式出角的大小，然后利用三角函数的定义求出点的坐标.

【详解】点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，

，

，故选A.

【点睛】本题主要考查弧长公式的应用以及三角函数的定义，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.

3．如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，∴不等式的解集为，故选C．

【解析】1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．

4．已知，且，则

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【详解】试题分析：A：由，得，即，A不正确；

B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；

C：由，，得，故，C正确；

D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C.

【解析】函数性质

【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．

(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；

(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.

5．“”是“关于的方程无解”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.

【详解】由，则，可得，此时无解，充分性成立；

由方程无解，则或，故推不出，必要性不成立；

故选：A

6．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由指数幂运算和对数恒等式得，再结合和的单调性比较大小即可.

【详解】

由于函数在上单调递增，所以，

由于函数在上单调递减，所以，

所以.

故选：A.

【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.本题解题的关键在于利用对数恒等式和指数幂运算得，再借助函数和以及中间值比较大小.

7．某时钟的秒针端点到中心点的距离为5cm，秒针绕点匀速旋转，当时间：时，点与钟面上标12的点重合，当两点间的距离为（单位：cm），则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题知圆心角为，过O作AB的垂线，通过计算可得.

【详解】由题知，圆心角为，过O作AB的垂线，则．

故选：D

8．若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】因为有因式，所以需要对分，，和三种情况讨论，在每一种情况下求出对应的的范围，最后综合即可得到答案

【详解】由题意可知，

当时，

不等式转化为

对任意正整数恒成立

当时，

不等式转化为

对任意正整数恒成立

，

当时，，不等式不成立，舍去

综上所述，实数的取值范围是或

故选

【点睛】本题主要考查的是函数的恒成立问题以及分类讨论思想的应用，分类讨论的目的是分解问题难度，化整为零，各个击破．

9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f′(x)，若f′(x) < f (x)，且 f (x＋1)＝f (3－x)，f (2 015)＝2，则不等式f (x)<2ex-1的解集为( 　)

A．(1，＋∞) B．(e，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，)

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性和单调性推导函数的周期性，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．

【详解】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，

所以f (x＋1)＝f (3－x)=，

所以，即函数是周期为4的周期函数，

因为=

所以，

设，则其导函数=

所以是R上的减函数，

则不等式f (x)<2ex-1等价于

即，解得，即不等式的解集为，答案选A．

【点睛】本题主要考查了不等式的求解，根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期性，以及构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．

10．已知函数的定义域为R，且，则（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】A

【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．

【详解】[方法一]：赋值加性质

因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以

一个周期内的．由于22除以6余4，

所以．故选：A．

[方法二]：【最优解】构造特殊函数

由，联想到余弦函数和差化积公式

，可设，则由方法一中知，解得，取，

所以，则

，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，

由于22除以6余4，

所以．故选：A．

【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；

法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.

二、填空题

11．函数 的定义域为______________.

【答案】

【分析】解不等式组可得函数的定义域.

【详解】由题设有，故，

故函数的定义域为.

【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次根号（，为偶数）中，；

（3）零的零次方没有意义；

（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.

12．若与关于轴对称，写出一个符合题意的值______．

【答案】（答案不唯一）

【分析】先由关于轴对称得出关系式，再由诱导公式求解即可.

【详解】由题意得，，由诱导公式知，

显然满足题意，解得.

故答案为：（答案不唯一）.

13．设函数给出下列四个结论：①对，，使得无解；②对，，使得有两解；③当时，，使得有解；④当时，，使得有三解.其中，所有正确结论的序号是______.

【答案】③④

【分析】取，由一次函数的单调性和基本不等式，可得函数的值域，可判断①的正误；当时，可以否定②；考虑时，求得函数的值域，即可判断③；当时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及函数的图象，即可判断④.综合可得出结论.

【详解】对于①，可取，则，

当时，；

当时，，当且仅当时，取得等号，

故时，的值域为R，

∴，都有解，故①错误；

对于②，当时，由于对于任意,无解；

时，，对任意的,至多有一个实数根，故②错误；

对于③，当时，时，单调递减，可得；

又时，，即有.

可得，则的值域为，

∴，都有解，故③正确；

对于④，当时，时，递增，可得；

当时，，当且仅当时，取得等号，

由图象可得，当时，有三解，故④正确.

故答案为：③④.

【点睛】本题考查分段函数的应用，主要考查方程根的个数问题，注意运用反例法判断命题不正确，考查推理能力，属于中等题.

三、解答题

14．设，.若 ，求实数 的值.

【答案】或

【分析】先求出集合A，再根据 得到，分别讨论 与 即可求出结果.

【详解】因为，

由可得，因为，

（1）若，则，解得；

（2）若，则或，

当时，，即，解得或；

若，则方程可化为，解得或，

即满足，故符合题意；

若，则方程可化为，解得或，不合题意，故舍去；

当时，，解得，已验证满足题意；

若，则方程可化为，解得，即，满足，故满足题意；

综上所述：实数 的取值范围是或.

15．（1）化简，并求.

（2）若，求的值.

（3）已知，求的值

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】（1）根据诱导公式化简，然后代入求值即可；

（2）先将原式化为分式形式，然后化为齐次式，带值计算即可；

（3）根据同角平方关系分别算出，，

再根据，展开即可得到结果.

【详解】（1）因为，

则；

（2）因为

；

（3）由，得，故，

由，得，故，

所以

.

16．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x千台空调，需另投入资金R万元，且经测算，当生产10千台空调需另投入的资金R＝4000万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．

(1)求2022年企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；

(2)2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？

（注：利润＝销售额－成本）

【答案】(1)

(2)当2022年产量为100千台时，企业的利润最大，最大利润为8990万元

【分析】（1）分段讨论即可；（2）分段求最值，再比较即可

【详解】(1)由题意知，当x＝10时，所以a＝300

当时，

当时，

所以

(2)当0＜x＜40时，，

所以，当x＝30时，W有最大值，最大值为8740

当时，．

当且仅当即x＝100时，W有最大值，最大值为8990

因为8740＜8990，所以当2022年产量为100千台时，企业的利润最大，最大利润为8990万元.

17．设函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若，证明：．

【答案】（Ⅰ）在上单调递增；在上单调递减；（Ⅱ）证明见解析.

【分析】（Ⅰ）首先求出函数的定义域，再求出导函数，讨论或，根据导数与函数单调性之间的关系即可求解.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得在处取得最大值，从而可得，进而可得，构造函数，利用导数判断出函数的单调性，由单调性得出，即证.

【详解】（Ⅰ）的定义域为，

，

当时，，所以在上单调递增；

当时，令得，令得，

所以在上单调递增；在上单调递减．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时在处取得最大值，

最大值为．

所以等价于，

即．

设，则．

当时，；当时，．

所以在上单调递增，在上单调递减，故，

从而当时，，即．

18．已知函数，.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求在区间上的最大值和最小值；

（3）当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为；（3）

【详解】试题分析：（1）由可得切线斜率，再由点斜式可得切线方程；

（2）由，可得，所以在区间上单调递增，从而可得最值；

（3）当时，.设，，分析可知在区间上单调递减，且，，所以存在唯一的，使，即，结合函数单调性可得解.

试题解析：

（1）当时，，

所以，.

又因为，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）当时，，

所以．

当时，，，

所以.

所以在区间上单调递增．

因此在区间上的最大值为，最小值为.

（3）当时，.

设，，

因为，,所以.

所以在区间上单调递减．

因为，，

所以存在唯一的，使，即.

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．

因为，，又因为方程在区间上有唯一解，

所以.

点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.

19．定义数列：对实数p，满足：①，；②；③，．

（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是数列吗？说明理由；

（2）若是数列，求的值；

（3）是否存在p，使得存在数列，对？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．

【答案】（1）不可以是数列；理由见解析；（2）；（3）存在；．

【分析】(1)由题意考查的值即可说明数列不是数列；

(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定的值；

(3)构造数列，易知数列是的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值.

【详解】(1)由性质③结合题意可知，

矛盾，

故前4项的数列，不可能是数列.

(2)性质①，

由性质③，因此或，或，

若，由性质②可知，即或，矛盾；

若，由有，矛盾.

因此只能是.

又因为或，

所以或.

若，则，

不满足，舍去.

当，则前四项为:0，0，0，1，

下面用归纳法证明：

当时，经验证命题成立，假设当时命题成立，

当时：

若，则，利用性质③：

，此时可得：；

否则，若，取可得：，

而由性质②可得：，与矛盾.

同理可得：

，有；

，有；

，又因为，有

即当时命题成立，证毕.

综上可得：，.

(3)令，由性质③可知：

，

由于，

因此数列为数列.

由（2）可知:

若；

，，

因此，此时，，满足题意.

四、双空题

20．设函数（为常数）

（1）若为奇函数，则___________.

（2）若是R上的增函数，则的取值范围是___________.

【答案】     -1；     .

【分析】（1）利用奇函数的定义即可求得；（2）求出导函数，转化为在R上恒成立，即可求出的取值范围.

【详解】的定义域为R.

因为为奇函数，所以.令得：.

所以，解得：.

的导函数为.

要使是R上的增函数，只需在R上恒成立.

即恒成立.

由指数函数的性质可知，所以.

即的取值范围是.

故答案为：-1；.

21．设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．

【答案】     0（答案不唯一）     1

【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，  解得 .

【详解】解：若时，，∴；

若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；

若时，

当时，单调递减，，

当时，

∴或，

解得，

综上可得；

故答案为：0（答案不唯一），1