湘教版（2019）必修 第二册第6章 数学建模6.1 走进异彩纷呈的数学建模世界公开课教学设计

第一章《平面向量及其应用》章末综合检测及答案解析

总分：150分     时间：120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若＝(－1，2)，＝(1，－1)，则等于(　　)

A.(－2，3)   B.(0，1)

C.(－1，2)   D.(2，－3)

解析：选D.　＝(－1，2)，＝(1，－1)，

所以＝－＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3) ，故选D.

2．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝(　　)

A．1    B．

C．2    D．或2

解析：选C.|a－b|＝＝＝＝＝＝2.故选C.

3．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则a与b的夹角为(　　)

A．30°    B．45°

C．135°    D．150°

解析：选A.因为(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，所以a·b＝.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°.

4.向量a=(1,0),b=(2,1),c=(x,1),若3a-b与c共线,则x=(　　)

A.1 B.-3 C.-2 D.-1

解析：向量a=(1,0),b=(2,1),c=(x,1),则3a-b=(1,-1),又3a-b与c共线,则1×1-(-1)·x=0,解得x=-1.

5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,a=,则等于(　　)

(A)     (B)     (C)       (D)2

解析:由正弦定理得====2,

所以b=2sin B,c=2sin C,

则=2.故选D.

6．已知A(1，2)，B(3，4)，C(－2，2)，D(－3，5)，则向量在向量上的投影向量的坐标为(　　)

A．    B．

C．    D．

解析：选B.＝(2，2)，＝(－1，3)，||＝，·＝－2＋6＝4，则向量在向量上的投影向量为·＝，故选B.

7．已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为O.若||＝||，且2 ＋＋＝0，则·＝(　　)

A．    B．2

C．    D．3

解析：选D.因为2 ＋＋＝0，所以(＋)＋(＋)＝0，即＋＝0，所以O为边BC的中点，故△ABC为直角三角形，A为直角．又因为||＝||，所以△OAB为等边三角形，||＝1，||＝2，||＝，与的夹角为30°，则·＝×2×cos 30°＝3.故选D.

8．有一长为1 km的斜坡,它的倾斜角为20°,现高不变,将倾斜角改为10°,则斜坡长为(　　)

A.1 km          B.2sin 10° km       C.2cos 10° km    D.cos 20° km

解析:如图所示,∠ABC=20°,AB=1 km,∠ADC=10°,所以∠ABD=160°.在△ABD中,由正弦定理=,所以AD=AB·==

2cos 10°(km).故选C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．对于任意的平面向量a,b,c,下列说法正确的是 (　　)

A.若a∥b且b∥c,则a∥c

B.(a+b)·c=a·c+b·c

C.若a·b=a·c,且a≠0,则b=c

D.a+b+c=a+c+b

解析：选BD.a∥b且b∥c,当b为零向量时,则a与c不一定平行,即A错误;由向量乘法的分配律可得:(a+b)·c=a·c+b·c,即B正确;

因为a·b=a·c,则a·(b-c)=0,又a≠0,

则b=c或a⊥(b-c),即C错误;

向量加法满足交换律,即:a+b+c=a+c+b,即D正确.

10．下列说法中正确的有(　　)

A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C

B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b

C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B都成立

D．在△ABC中，＝

解析：选ACD.设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得＝＝＝2R.对于A选项，a∶b∶c＝2R sin A∶2R sin B∶2R sin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；对于D选项，由正弦定理得＝＝2R＝，故D正确；对于B选项，由二倍角公式得2sin A cos A＝2sin B cos B，则2a·＝2b·，即a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，整理得a4－b4－a2c2＋b2c2＝0，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，则a2－b2＝0或a2＋b2＝c2，所以a＝b或C＝，故B错误；对于C选项，在△ABC中，由正弦定理得sin A>sin B⇔a>b⇔A>B(大边对大角)，故C正确．故选ACD.

11．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝6，sin A＝2sin C，则以下四个结论正确的有(　　)

A．△ABC不可能是直角三角形

B．△ABC有可能是等边三角形

C．当A＝B时，△ABC的周长为15

D．当B＝时，△ABC的面积为6

解析：选CD.因为sin A＝2sin C，所以a＝2c，又b＝6，若A为直角，由36＋c2＝4c2，可得c＝2，满足条件的△ABC可能是直角三角形，故A错误；由于a＝2c，故△ABC不可能是等边三角形，故B错误；当A＝B时，a＝b＝2c＝6，可得c＝3，可得△ABC的周长为a＋b＋c＝6＋6＋3＝15，故C正确；当B＝时，b＝6，a＝2c，由余弦定理可得36＝a2＋c2－ac＝4c2＋c2－2c2，解得c＝2，a＝4，可得△ABC的面积为ac sin B＝×2×4×＝6，故D正确．故选CD.

12

．已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=6,4sin B=5sin C,以下四个说法中正确的有 (　　)

A.满足条件的△ABC不可能是直角三角形

B.当A=2C时,△ABC的周长为15

C.当A=2C时,若O为△ABC的内心,则△AOB的面积为

D.△ABC的面积的最大值为40

解析：选BCD.a=6,4sin B=5sin C即4b=5c,

设b=5t,c=4t(t>0),由36+16t2=25t2,可得t=2(负值舍去),

满足条件的△ABC可能是直角三角形,故A错误;

a=6,4sin B=5sin C,A=2C,可得:B=π-3C,

由正弦定理可得4b=5c,可得b=,

由=,sin C≠0,可得:4cos2C-1=,

解得:cos C=,

sin C=,可得sin A=2sin Ccos C=,

可得:c=4,b=5,则a+b+c=15,故B正确;

S△ABC=bcsin A=.

设△ABC的内切圆半径为R,

则R==,

S△ABO=cR=,故C正确.

以BC的中点为坐标原点,BC所在直线为x轴,

可得B(-3,0),C(3,0),4sin B=5sin C,可得4b=5c,设A(m,n)(n≠0),

可得4=5,

平方可得16(m2+n2-6m+9)

=25(m2+n2+6m+9),

即有m2+n2+m+9=0,

化为+n2=(n≠0),

则A的轨迹为以为圆心,为半径的除去x轴上两点的圆,可得△ABC的面积的最大值为×6×=40,故D正确.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，且(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为________．

解析：由题意得，(3a＋5b)·(ma－b)＝3ma2＋

(5m－3)a·b－5b2＝0，3m＋(5m－3)×1×2×cos 60°－5×4＝0，即8m＝23，

解得m＝.

答案：

14．在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a=　　　　. 

解析：因为2asin B=b,

所以2sin Asin B=sin B.所以sin A=,

因为△ABC为锐角三角形,所以cos A=,

因为bc=6,b+c=5,

所以b=2,c=3或b=3,c=2.

所以a2=b2+c2-2bccos A=22+32-2×6×=7,所以a=(负值舍).

答案:

15．已知＝(－1，1)，＝(0，－1)，＝(1，m)，若A，B，C三点共线，则实数m的值为________，·的值为________．

解析：因为＝(－1，1)，＝(0，－1)，＝(1，m)，

所以＝－＝(1，－2)，

＝－＝(1，m＋1).

因为A，B，C三点共线，

所以∥，

所以1×(m＋1)＝(－2)×1，

所以m＝－3，所以＝(1，－3).

所以＝－＝(－2，4)，

＝－＝(－1，2).

所以·＝(－2)×(－1)＋4×2＝10.

答案：－3　10

16．已知a、b满足:|a|=3,|b|=2,|a+b|=4,则|a-b|=　  　　. 

解析:因为|a+b|=4,所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=16.

因为|a|=3,|b|=2,

所以a·b=,

所以|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b

=9+4-2×=10,

可得|a-b|=.

答案:

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分) 如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,若=a,=b,试用a,b表示,,.

解析：如图所示,连接CN,则四边形ANCD是平行四边形.

则===a,

=-=-=b-a,

=-=--

=--=a-b.

18．(本小题满分12分)如图，已知向量a与b，其中|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°.

(1)求a·b；

(2)求向量b在a方向上的投影向量，并画图解释．

解析：(1)a·b＝|a||b|cos θ＝3×4×cos 150°＝12×＝－6.

(2)如图，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为B1，则OB1＝|b|cos (π－θ)＝4×＝2，

向量b的单位向量为＝，所以向量b在a方向上的投影向量是－2×＝－.

19．(本小题满分12分) 已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若B=,且(a-b+

c)(a+b-c)=bc.

(1)求cos C的值;

(2)若a=5,求△ABC的面积.

解析:(1)由(a-b+c)(a+b-c)=bc,

得a2-(b-c)2=bc,

即a2=b2+c2-bc,

由余弦定理,得cos A==,

所以sin A=.又因为B=,

所以cos C=-cos (A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=.

(2)由(1)得sin C=.

在△ABC中,由正弦定理,得c==8,

所以S=acsin B=×5×8×sin =10.

20．(本小题满分12分) 如图,A,B 两个小岛相距21海里,B 岛在 A 岛的正南方,现甲船从 A 岛出发,以9海里/时的速度向 B 岛行驶,而乙船同时以6海里/时的速度离开 B 岛向南偏东60°方向行驶,行驶多少时间后,两船相距最近?求出两船的最近距离.

解析：设行驶th后,甲船行驶了9t海里到达C处,乙船行驶了6t海里到达D处.

①当9t<21,即t<时,C在线段AB上,

此时BC=21-9t.

BD=6t,∠CBD=180°-60°=120°,

由余弦定理知CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos 120°=(21-9t)2+(6t)2-2×(21-9t)·6t·=63t2-252t+441=63(t-2)2+189.

所以当t=2时,CD取得最小值3.

②当t=时,C与B重合,

则CD=6×=14>3.

③当t>时,BC=9t-21,

则CD2=(9t-21)2+(6t)2-2·(9t-21)·6t·cos 60°=63t 2-252t+441=63(t-2)2+189>189.

综上可知,当t=2时,CD取最小值3.

答:行驶2 h后,甲、乙两船相距最近为3海里.

21．(本小题满分12分)平面内有向量＝(1，7)，＝(5，1)，＝(2，1)，点Q为直线OP上的一个动点．

(1)当·取最小值时，求的坐标；

(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB的值．

解析：(1)设＝(x，y).因为点Q在直线OP上，所以向量与共线．又＝(2，1)，所以x＝2y，所以＝(2y，y).又＝－＝(1－2y，7－y)，＝－＝(5－2y，1－y)，所以·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8.故当y＝2时，·有最小值－8，此时＝(4，2).

(2)由(1)知＝(－3，5)，＝(1，－1)，·＝－8，||＝，||＝，所以cos ∠AQB＝＝－.

22．(本小题满分12分) 已知△ABC中三个内角A,B,C所对的边为a,b,c,且B=,b=2.

(1)若c=,求sin A的值;

(2)当·取得最大值时,求A的值.

解析:(1)在△ABC中,由正弦定理得=,

则sin C==,

因为b>c,所以C=,

则sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)

=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=.

(2)·=bacos C=2acos C

=2×cos C

=sin Acos(π-A)

=sin A(-cos A+sin A)

=2-sin (2A+),

当且仅当2A+=,即A=时·取到最大值.