数学必修 第二册6.5 数学建模案例(三):人数估计精品教学设计

         湘教版必修第二册《6.5数学建模案例（三）:人数估计》教学设计

一、课程标准

让学生理解利用“人数估计”数学建模案例，形成研究报告，展示研究成果，提升学生数学建模的核心素养.

二、教学目标：

1. 了解人数估计的方法，能够选择恰当的统计模型解决实际问题；

2. 通过建立和求解统计模型，培养学生的数学建模、数据分析及数学运算素养；

3. 学生在模型求解及推广的过程中，感受不同假设条件下选取模型结果的差异性；同时感受数学在实际生活中的应用价值。

三、教学重点：能够理解数学建模的意义与作用；能够运用数学语言，清晰、准确表达数学建模的过程与结果.

四、教学难点：应用数学语言，表达数学建模过程中的问题以及解决问题的过程与结果，形成研究报告，展示研究成果.

五、教学过程

（一）创设情境，引入新课

   在日常生活或科学研究中，经常碰到只知道部分信息，却需要从已知的部公息出发去估计出全部信息的问题。例如，医疗科研机构调查某慢性病的患者人数，其地旅游局统计当年到该地旅游的总人数，等等。这时统计模型与方法就成为解决这类问题的重要工具。下面我们讨论一个较简单的实际问题，体会统计模型的思有与方法。

设计意图：实际情景引入，激发学习兴趣.

（二）自主学习，熟悉概念

1.要求：学生阅读P258-260

2.思考：

（1）数学建模的流程有哪些？

（2）问题背景下，为了使估计值尽量接近真值，建立了几种模型解决这个问题?

（3）什么是MSE？

（三）   检验自学，强化概念

1.问题背景

问题：某大学美术系平面设计专业的报考人数连创新高，今年报名刚结束，某考生想知道报考人数。考生的考号是按0001,0002，…的顺序从小到大依次排列,该考生随机了解了50个考生的考号,具体如下：

请你给出一种方法，根据这50个随机抽取的考号，估计考生总数。

2. 问题解析

（1）模型建立与求解

模型一：用样本最大值估计总体的最大值

用给出数据的最大值(例如，986)来估计考生总数，由于≤N恒成立。

因此，该方法在实际应用中很可能出现低估N的情况。

模型二：用样本中位数估计总体中位数

当n为奇数时，样本的中位数为，而总体的中位数取，由于样本中位数可以近似看成总体中位数，因而有 ≈，故可取

=2-1作为N的估计值；

n为偶数时，样本的中位数为，从而有≈，取=-1作为N的估计值。

为了避免这种方法得到的估计值偏小的问题，可以考虑用下面的方法对考生总数N进行调整：

在本问题中， =50且>+-1，因此可用986来估计考生总数。

一般情况下， 样本点越多，估计值会越合理。而上述方法的求解过程并没有利获得的全部样本信息，因此我们需要建立更为合理的数学模型。

模型三：用样本的平均值估计总数的平均值

假设随机抽取的50个数的平均值近似等于所有考号的平均值，以此来估计考生总数N。由于这50个数的算术平均值为24572÷50=491.44，它应该与接近。因此取=491.44×2≈983作为N的估计值。由于983小于样本的最大值986，因此可用986来估计考生总数。

模型四：用分区间方法求解

把这50个样本从小到大排列，利用它将N个数据分段，选取不同端点，则得到不同的估计值。

分区间的一种方法是：利用50 个样本数据，将区间[1,N]分成51个小区间[1,),[, ), …,[,N]。这51个小区间长度均值为，而前50个区间的平均长度为，由于样本是随机抽取的，可以认为，所以N的估计值可取为=1006,

上述分区间的方法忽略了可能取到N的情况，因此，我们也可以将区间[1,N]改为[1, N+1]，即把[1,N+1]分成51个小区间[1,),[, ), …,[,N+1]，取，所以N的估计值可取为=1005.

设计意图：引导 学生进行数学建模将实际问题转化为数学问题. 帮助学生找到更合理的数学模型问题，探讨两种分区的原因，进一步理解数学建模的多样性。

（2）模型的进一步讨论

前面我们采用不同的方法对考生总数进行了估计，发现估计方法不同得到的考生总数也不同，存在一定的差异。而分区间方法由于划分小区间所采用的分段方式不同，也有可能得到不同的估计值。但这些结果都是在某种合理的假设前提下得到的，不能说哪种方法得到的估计值一定是错的。这也体现了统计方法的特点。

按照不同的估计方法往往会得到不同的估计值，那么有没有评价估计方法优劣的标准呢?

我们可以利用计算机模拟各种估计方法，然后通过计算估计值与真值之间的偏离程度来评价估计方法的优劣。具体实施步骤如下：

步骤(1)设定N以及试验次数k的值；

步骤(2)在1， 2，.. N这N个自然数中不放回地随机抽取50个数据，组成一个样本；

步骤(3)将样本中的 50个数据按从小到大排列，即<<…<；

步骤(4)按照不同的估计方法分别得到不同的估计值；

步骤(5)重复上述步骤(1)~(4)k次。

模拟完后，对估计值偏离真值N的程度进行计算：

设第m(1≤m≤k)次试验得到的估计值为，k次模拟得到的估计值与真直N之间的近似程度用估计值与真值差的平方的平均值来衡量，即计算

将其值记为MSE。

结论：当试验次数k足够大时，MSE的大小反映了采用不同估计方法得到的估计值偏离真值N的程度。具有较小MSE值的估计方法更为合理。

设计意图：让学生发现估计方法不同，得到的考生总数也不同。存在一定的差异。那么，有没有评价估计方法优劣的标准呢？当试验次数k足够大时，具有较小MSE值的估计方法更合理。

(四)课堂练习及检测

P261   问题研究

(五)归纳小结

1.问题解析；

2.模型建立与求解；

3.模型的进一步推广。

（六）作业

P261   问题研究

六、教学反思（酌情写一些）

七、板书设计