2021-2022学年福建省福州市闽侯县八年级（下）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年福建省福州市闽侯县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列算式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列选项中，能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是(    )

A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 等腰梯形

7. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他把活动学具做成图所示的菱形，并测得，接着把活动学具做成图所示的正方形，并测得对角线，则图中对角线的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如果，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，点是的中点，且，若的面积为，则它的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在▱中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接，，交于点则下列结论：四边形是正方形；；；，正确的命题为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 要使二次根式有意义，则的取值范围是______．
12. 已知菱形的两条对角线长分别是和，则这个菱形的面积为______．
13. 自由落体的公式为为重力加速度，若物体的下落高度为，则下落时间是______精确到，
14. 如图，以的三边向外作正方形，依次得到的正方形的面积为，，，则这个三角形的面积是______．

15. 如图，将一根长为的吸管，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外面的长度是为，则的取值范围是______ ．

16. 如图，是边长为的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，午点，于点，则的值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算：
    计算：
     
18. 如图，在中，，若，，求及的长．

19. 定义一种新运算：对于任意实数，，都有，例如，求的值．
20. 已知，是的角平分线，交于点，交于点求证：四边形是菱形．

21. 如图，在矩形中，，，过对角线的中点的直线分别交、于点、，连接，．
    求证：四边形是平行四边形；
    当四边形是菱形时，求的长．

22. 如图，在矩形中，，
    在的延长线上求作点，使；尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
    在的条件下，若，求的度数．

23. 探究：如图所示，为线段上一动点，分别过点，点作，，分别连接，已知，，设．
    ______，______用含的代数式表示；
    探究点，，处于何种位置时，的值最小，并求出其最小值；
    根据中的探究结果，请构图并求出代数式的最小值．要求画出示意图

24. 如图，已知在▱中，对角线，相交于点．
    如图，是的中点，连接，若，，求的周长；用含，的式子表示
    如图，若，当时，求的长．

25. 如图，在正方形中，为对角线，延长至点，使得，连接．
    
    求证：四边形是平行四边形：
    如图，点在线段上，连接，，若：
    求的大小；
    求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是最简二次根式，符合题意；
B、不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可得．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，能构成直角三角形，故此选项不合题意．
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：能判定四边形是平行四边形的是，，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
故选：．
由平行四边形的判定定理进行判断，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
的整数部分为，小数部分为，
，
故选：．
根据的取值范围进行估计解答即可．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接、，
在中，
，
，
同理，，，
又在矩形中，，
，
四边形为菱形．
故选：．
因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：定义，四边相等，对角线互相垂直平分．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，中．

在图中，四边形是正方形，
，，
，
，
在图中，，，
是等边三角形，
，
故选：．
如图，中，连接在图中，理由勾股定理求出，在图中，只要证明是等边三角形即可解决问题．
本题考查菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据二次根式的性质得出，再求出不等式的解集即可．
本题考查了二次根式的性质与化简和解一元一次不等式，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，当时，．
 

9.【答案】 

【解析】解：，点是的中点，
，
，
的面积为，
，
，


，
或舍去，
的周长，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而利用勾股定理可得，然后根据的面积为，可得，最后再利用完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，
故正确；
，
，
，，
，
，
故错误；
，
是的中位线，
，
故正确；
四边形是平行四边形，
，
四边形是正方形，
，，
，
故正确；
正确的结论有．
故选：．
先证明≌，得，再得四边形为平行四边形，进而由，得四边形是正方形，便可判断正误；
根据，进行推理说明便可；
根据，得出是的中位线，然后利用等底等高的三角形面积相等即可解决问题；
根据平行四边形的性质得出，再根据正方形的性质得出，即可解决问题．
本题考查了定理与命题，平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，故，
则的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：菱形的两条对角线长分别是和，
这个菱形的面积为
故答案为
因为菱形的面积为两条对角线积的一半，所以这个菱形的面积为．
此题考查了菱形面积的求解方法：底乘以高，对角线积的一半．
 

13.【答案】 

【解析】解：把物体下落的高度为代入，
可得，
解得：，
因为下落的时间是正数，
所以下落的时间是．
故答案为：．
把物体下落的高度为代入公式计算即可．
此题考查算术平方根，关键是根据实际问题分析．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题可得，，
，
是直角三角形，且，
又，，
的面积．
故答案为：．
根据正方形面积为，，，可得这个三角形边长之间的关系，依据勾股定理的逆定理可得这个三角形形状，进而得出其面积．
本题主要考查了勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，当筷子、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，最短，
此时，故；
当筷子竖直插入水杯时，最大，此时．
故答案为：．
根据勾股定理求出的最短距离，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，连接，

四边形是正方形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作于，连接，先求出，由，可得，则的值可求．
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，运用面积法得出线段的和差关系是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；



． 

【解析】先进行化简，再算加减即可；
利用平方差公式进行运算较简便．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：在中，，，，
．
，
．
．
． 

【解析】根据勾股定理以及三角形的面积公式解决此题．
本题主要考查勾股定理、三角形面积，熟练掌握勾股定理以及三角形面积公式是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：



． 

【解析】直接利用已知运算公式将原式变形，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确运用运算公式将原式变形是解题关键．
 

20.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，，
是的角平分线，，
，
，
四边形为菱形． 

【解析】先根据题中已知条件判定四边形是平行四边形，然后再推出一组邻边相等．
本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．
 

21.【答案】证明：四边形是矩形，是的中点，
，，，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：当四边形是菱形时，，
设，则，．
在中，，
，
解得，
即． 

【解析】根据平行四边形的性质，判定≌，得出四边形的对角线互相平分，进而得出结论；
在中，由勾股定理得出方程，解方程求出．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，点即为所求．

四边形是矩形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
． 

【解析】连接交于点，过点作交的延长线于点，点即为所求；
证明是等边三角形，可得结论．
本题考查作图复杂作图，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】  

【解析】解：，；
故答案为：，；

当点、、三点在一条直线上时，的值最小，过点作交的延长线于点则四边形是矩形，

，，
，
，
的最小值为．

如图，令，，，设，则．

，
、、三点在一条直线上时，的值最小，
的长即为的最小值，
过点作的平行线交的延长线于点，
于，于，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，，，
，
的最小值为．
由两点之间线段最短可知：当点、、三点在一条直线上时，的值最小；
根据勾股定理计算即可；
如图，令，，，设，则过点作的平行线交的延长线于点，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可出代数式的最小值．
本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，利用两点之间线段最短是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：在▱中，，，
，，
，
，
是的中点，
，
的周长；
如图，过点作交于点，交于点，截取，
，

四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，

，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，进而可以解决问题；
过点作交于点，交于点，截取，可得，利用平行四边形的性质得到≌，可得，然后根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
四边形是平行四边形；
解：如图，过点作于，过点作于，取的中点，连接，

，，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，，，
，
，
，
，
点是的中点，，
，
，
是等边三角形，
，
；
如图，过点作于，

，，
，
设，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
． 

【解析】由正方形的性质可得，，由平行四边形的判定可得结论；
先证四边形是矩形，可得，通过证明是等边三角形，可得，即可求解；
设，由等腰直角三角形的性质分别求出，的长，即可求解．
本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．