2022-2023学年北师大版（2019）必修一1.3 不等式 同步课时训练(word版含答案)

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1.3  不等式  同步课时训练学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共40分)1、(4分)不等式对任意a，恒成立，则实数x的取值范围是(   )A. B. C. D.2、(4分)若正数a，b满足，则的最小值为(   )A. B. C. D.3、(4分)若，则当取得最大值时，x的值为(   )A. B. C. D.4、(4分)若，且，则下列四个数中最大的是(   )A. B.b C.ab D.5、(4分)某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂的成本分为以下三个部分:①生产1单位试剂需要原料费50元;②支付所有职工的工资总额由7 500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成:③后续保养的费用是每单位元(试剂的总产量为x单位,).则要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为(   )A.60单位 B.70单位 C.80单位 D.90单位6、(4分)若某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运(   )年时,其营运的年平均利润最大.A.3 B.4 C.5 D.67、(4分)某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为(   )A.200吨 B.300吨 C.400吨 D.600吨8、(4分)已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是(   )A. B. C. D.9、(4分)已知，且，则mn有(   )A.最大值1 B.最大值2 C.最小值1 D.最小值210、(4分)已知，若函数对任意满足，则不等式的解集是(   )A. B. C. D.二、填空题(共25分)11、(5分)已知a，b均为正数，且，则ab的最大值为________，的最小值为__________.12、(5分)已知实数满足且,则的最小值为________.13、(5分)若某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为,则当每台机器运转_________年时,年平均利润最大.14、(5分)已知, 则 的最小值是___________.15、(5分)若，且，则的最大值是_______.三、解答题(共35分)16、(8分)已知，满足.（1）求证：；（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数p，使对任意恒成立，试写出一个p，并证明之.17、(9分)已知，，，求证：（1）；（2）.18、(9分)已知正数满足.（1）证明：；（2）若，求的最大值.19、(9分)某厂家拟在2021年举办某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入是8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算），（1）将该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
参考答案1、答案：C解析：，当且仅当，即时取等号，不等式对任意a，恒成立，，，实数x的取值范围是.故选：C.2、答案：D解析：本题考查基本不等式.因为，，且，所以，，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为.3、答案：D解析：本题考查基本不等式的应用.，，当且仅当，即时，取得“=”.4、答案：D解析：本题考查基本不等式.因为，，所以，可得，（当且仅当时取等号）；因为，所以等号不成立，则，可得，（当且仅当时取等号）；因为，所以等号不成立，则，而，所以.综上可得，四个数中最大的是.5、答案：D解析：设每生产1单位试剂的成本为y,因为试剂总产量为x单位,则由题意可知,原料总费用为元,职工的工资总额为元,后续保养总费用为元,则，当且仅当,即时取等号,满足,所以要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为90单位.故选D.6、答案：C解析：根据题意得到,抛物线的顶点为(6,11),过点(4,7),图象开口向下,设二次函数的解析式为,所以,解得,即,因为,所以,当且仅当,即时取等号.故选C.7、答案：C解析：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每吨的平均处理成本最低.8、答案：D解析：由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；中当且仅当时取等号，如，即可取等号，D中不等式不恒成立.9、答案：A解析：，且，，当且仅当时取等号，有最大值1.故选A.10、答案：C解析：解：，
，
，
，，
，
，
，即，
，解得或，
原不等式的解集是：.
故选：C.
根据可得出，然后即可求出，然后由原不等式可得出，进而得出，然后解出x的范围即可.
本题考查了偶函数的定义，对数的运算性质，指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题.11、答案：2，解析：由题意，得，当且仅当，即，时等号成立，所以，所以ab的最大值为2，，当，时取等号.12、答案：解析：因为，所以,故,因为,所以,由基本不等式得,当且仅当即时等号成立,故的最小值.13、答案：5解析：每台机器运转x年的年平均利润为,且,由基本不等式得,当且仅当,即时等号成立,故,当且仅当时等号成立,此时年平均利润最大.14、答案：5解析：由题意可得, , 当且仅当, 即 时, 等号成立.15、答案：解析：，，，，即（当且仅当，即，时取等号），，即的最大值为.16、答案： (1)见解析(2) 见解析解析：(1) 证明 : 由 ，得 ，,
要证 ，
只要证 ，
左边 当且仅当 ，即 时等号成立；(2)要使,
只至至,左边 则 ， 可取 或 3
取 ，问题转化为.
证明如下 : 要证 ，
只需证明 ，
左边 当且仅当 ，即 时等号成立.17、答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1），，，
，
，
（当且仅当时等号成立）.（2），，，
，
同理：，
.
（当且仅当时等号成立）.18、答案：(1)见解析(2)解析：(1)(当且仅当时取等号)(2)，即(当且仅当时取等号)，即此时当时，取得最大值19、答案：（1）（）（2）3解析：（1）如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是2万件，即当时，，将其代入中，求得：即，所以（）（2）由（1）得：（）即当且仅当，即时，等号成立，故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大