四川省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-05填空题（提升题）

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四川省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-05填空题（提升题）
一．非负数的性质：偶次方（共1小题）
1．（2022•泸州）若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则ab＝　 　．
二．算术平方根（共1小题）
2．（2022•南充）若为整数，x为正整数，则x的值是 　 　．
三．规律型：图形的变化类（共1小题）
3．（2022•德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：

其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，……
……
由此类推，图④中第五个正六边形数是 　 　．
四．二次根式的性质与化简（共1小题）
4．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝　 　．

五．解分式方程（共1小题）
5．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 　 　．
六．规律型：点的坐标（共1小题）
6．（2022•眉山）将一组数，2，，2，…，4，按下列方式进行排列：
，2，，2；
，2，，4；
…
若2的位置记为（1，2），的位置记为（2，3），则2的位置记为 　 　．
七．一次函数图象与系数的关系（共1小题）
7．（2022•德阳）如图，已知点A（﹣2，3），B（2，1），直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0）．试探究：直线与线段AB有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是 　 　．

八．反比例函数系数k的几何意义（共3小题）
8．（2022•宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为 　 　．

9．（2022•广元）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是 　 　．

10．（2022•凉山州）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝　 　．

九．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
11．（2022•内江）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点Q（m，n）．若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 　 　．

一十．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
12．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 　 　．

一十一．二次函数的应用（共3小题）
13．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 　 　米，水面宽8米．

14．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 　 　；当2≤t≤3时，w的取值范围是 　 　．

15．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 　 　m时，水柱落点距O点4m．

一十二．全等三角形的判定（共1小题）
16．（2022•南充）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为．其中正确的结论是 　 　．（填写序号）

一十三．等腰三角形的性质（共1小题）
17．（2022•广安）若（a﹣3）2+＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 　 　．
一十四．勾股定理的证明（共1小题）
18．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝　 　．

一十五．等腰直角三角形（共1小题）
19．（2022•绵阳）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝2，CD＝2，则△ABE的面积为 　 　．

一十六．三角形中位线定理（共1小题）
20．（2022•南充）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC，BC两边中点的距离DE为10m（如图），则A，B两点的距离是 　 　m．

一十七．多边形内角与外角（共1小题）
21．（2022•遂宁）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为 　 　．

一十八．正方形的性质（共1小题）
22．（2022•达州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的动点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持∠EBF＝45°，连接EF，PF，PD．下列结论：①PB＝PD；②∠EFD＝2∠FBC；③PQ＝PA+CQ；④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接DH，则DH的最小值为2﹣2，其中所有正确结论的序号是 　 　．

一十九．三角形的外接圆与外心（共1小题）
23．（2022•凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是 　 　．

二十．直线与圆的位置关系（共1小题）
24．（2022•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　 　．

二十一．三角形的内切圆与内心（共1小题）
25．（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 　 　．

二十二．扇形面积的计算（共1小题）
26．（2022•广元）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为 　 　．

二十三．轨迹（共1小题）
27．（2022•广元）如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm．当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为 　 　cm．

二十四．轴对称-最短路线问题（共3小题）
28．（2022•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 　 　．

29．（2022•自贡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为 　 　．

30．（2022•成都）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为 　 　．

二十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
31．（2022•德阳）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB＝1，那么CE＝　 　．

二十六．解直角三角形的应用（共1小题）
32．（2022•绵阳）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上．航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝　 　海里（计算结果不取近似值）．

二十七．用样本估计总体（共1小题）
33．（2022•自贡）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是 　 　鱼池．（填甲或乙）

四川省2022年各地区中考数学真题按题型分层分类汇编-05填空题（提升题）
参考答案与试题解析
一．非负数的性质：偶次方（共1小题）
1．（2022•泸州）若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则ab＝　﹣6　．
【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，b+3＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，
所以，ab＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
二．算术平方根（共1小题）
2．（2022•南充）若为整数，x为正整数，则x的值是 　4或7或8　．
【解答】解：∵8﹣x≥0，x为正整数，
∴1≤x≤8且x为正整数，
∵为整数，
∴＝0或1或2，
当＝0时，x＝8，
当＝1时，x＝7，
当＝2时，x＝4，
综上，x的值是4或7或8，
故答案为：4或7或8．
三．规律型：图形的变化类（共1小题）
3．（2022•德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：

其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，……
……
由此类推，图④中第五个正六边形数是 　45　．
【解答】解：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，……
图③的点数叫做五边形数，从上至下第一个五边形数是1，第二个五边形数是1+4＝5，第三个五边形数是1+4+7＝12，……
由此类推，图④中第五个正六边形数是1+5+9+13+17＝45．
故答案为：45．
四．二次根式的性质与化简（共1小题）
4．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝　2　．

【解答】解：由数轴可得，
﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴|a+1|﹣+
＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）
＝a+1﹣b+1+b﹣a
＝2，
故答案为：2．
五．解分式方程（共1小题）
5．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 　　．
【解答】解：由题意得：
＝1，
解得：x＝．
经检验，x＝是原方程的根，
∴x＝．
故答案为：．
六．规律型：点的坐标（共1小题）
6．（2022•眉山）将一组数，2，，2，…，4，按下列方式进行排列：
，2，，2；
，2，，4；
…
若2的位置记为（1，2），的位置记为（2，3），则2的位置记为 　（4，2）　．
【解答】解：题中数字可以化成：
，，，；
，，，；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵，28是第14个偶数，而14÷4＝3⋯2，
∴的位置记为（4，2），
故答案为：（4，2）．
七．一次函数图象与系数的关系（共1小题）
7．（2022•德阳）如图，已知点A（﹣2，3），B（2，1），直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0）．试探究：直线与线段AB有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是 　k≤﹣3或k≥　．

【解答】解：当k＜0时，
∵直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0），A（﹣2，3），
∴﹣2k+k＝3，
∴k＝﹣3；
∴k≤﹣3；
当k＞0时，
∵直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0），B（2，1），
∴2k+k＝1，
∴k＝．
∴k≥；
综上，直线与线段AB有交点时，猜想k的取值范围是：k≤﹣3或k≥．
故答案为：k≤﹣3或k≥．
八．反比例函数系数k的几何意义（共3小题）
8．（2022•宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为 　9　．

【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，
∵△OMN是边长为10的等边三角形，
∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°，

设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，
∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），
∵∠M＝60°，AB⊥OM，
∴AM＝2BM＝20﹣4b，
∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，
∵∠AND＝60°，
∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，
∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，
∴A（15﹣2b，2b﹣5），
∵A、B两点都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b•b，
解得b＝3或5，
当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，
∴b＝3，
∴k＝b•b＝9，
故答案为：9．
9．（2022•广元）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是 　﹣4　．

【解答】解：过B作BD⊥OA于D，

∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴设B（﹣m，n），点B在第二象限内，
∵△OAB的面积为6，
∴OA＝，
∴A（﹣，0），
∵点C是AB的中点，
∴C（﹣，），
∵点C在反比例函数y＝的图象上，
∴﹣•＝﹣mn，
∴﹣mn＝﹣4，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
10．（2022•凉山州）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝　6　．

【解答】解：由题知，△OAB的面积为3，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴OB•AB＝3，
即OB•AB＝6，
∴k＝6，
故答案为：6．
九．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
11．（2022•内江）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点Q（m，n）．若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 　＜m＜2　．

【解答】解：过点P作PA∥x轴，交双曲线与点A，过点P作PB∥y轴，交双曲线于点B，如图，

∵P（2，3），反比例函数y＝，
∴A（，3），B（2，1）．
∵一次函数y的值随x值的增大而增大，
∴点Q（m，n）在A，B之间，
∴＜m＜2．
故答案为：＜m＜2．
一十．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
12．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 　﹣4＜m＜0　．

【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+b＝2，b＝2﹣a，
∴m＝a﹣b+c＝a﹣（2﹣a）+（﹣2）＝2a﹣4，
∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，
当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，
∵b＝2﹣a＞0，
∴0＜a＜2，
∴﹣4＜2a﹣4＜0，
故答案为：﹣4＜m＜0．
一十一．二次函数的应用（共3小题）
13．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 　　米，水面宽8米．

【解答】解：以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，

由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，
把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，
9a+2＝0，
解得：a＝﹣，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，
当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，
∴水面下降米，
故答案为：．
14．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 　0≤w≤5　；当2≤t≤3时，w的取值范围是 　5≤w≤20　．

【解答】解：∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，
∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15，
∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，
∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）．
∵20﹣15＝5，
∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5；
当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，
∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，
∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20．
故答案为：0≤w≤5；5≤w≤20．
15．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 　8　m时，水柱落点距O点4m．

【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，
整理得2.5a+b+1＝0①；
喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，
联立可求出a＝﹣，b＝，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，
将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，
解得h＝8．
故答案为：8．
一十二．全等三角形的判定（共1小题）
16．（2022•南充）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为．其中正确的结论是 　①②③　．（填写序号）

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠A1BA2＝∠ABC＝90°，
∴∠ABA1＝∠CBA2，
∵BA1＝BA2，
∴△ABA1≌△CBA2（SAS），故①正确，
过点D作DT⊥CA1于点T，
∵CD＝DA1，
∴∠CDT＝∠A1DT，
∵∠ADE＝∠A1DE，∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠CDT＝45°，
∵∠CDT+∠DCT＝90°，∠DCT+∠BCA1＝90°，
∴∠CDT＝∠BCA1，
∴∠ADE+∠BCA1＝45°，故②正确．
连接PA，AC．
∵A，A1关于DE对称，
∴PA＝PA1，
∴PA1+PC＝PA+PC≥AC＝，
∴PA1+PC的最小值为，故③正确，
过点A1作A1H⊥AB于点H，
∵∠ADE＝30°，
∴AE＝A1E＝AD•tan30°＝，
∴EB＝AB﹣AE＝1﹣，
∵∠A1EB＝60°，
∴A1H＝A1E•sin60°＝×＝，
∴＝×（1﹣）×＝，故④错误．
故答案为：①②③．

一十三．等腰三角形的性质（共1小题）
17．（2022•广安）若（a﹣3）2+＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 　11或13　．
【解答】解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，
∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，
∴a＝3，b＝5，
设三角形的第三边为c，
当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，
当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，
故答案为：11或13．
一十四．勾股定理的证明（共1小题）
18．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝　48　．

【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：
S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，
且：a2+b2＝EF2＝16，
∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16
＝2×16+16
＝48．
故答案为：48．
一十五．等腰直角三角形（共1小题）
19．（2022•绵阳）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝2，CD＝2，则△ABE的面积为 　　．

【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，

∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝AB＝2，
∵∠ADC＝90°，CD＝2，
∴AD＝，
∵，
∴DF＝，
∴AF＝，
∴CF＝，
∵DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴，即，
∴EF＝，
∴AE＝，
∴．
故答案为：．
一十六．三角形中位线定理（共1小题）
20．（2022•南充）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC，BC两边中点的距离DE为10m（如图），则A，B两点的距离是 　20　m．

【解答】解：∵CD＝AD，CE＝EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE，
∵DE＝10m，
∴AB＝20m，
故答案为：20．
一十七．多边形内角与外角（共1小题）
21．（2022•遂宁）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为 　4　．

【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝120°，
∴∠HAF＝60°，
∵∠AHF＝90°，
∴∠AFH＝30°，
∴AF＝2AH，
∴x＝2（6﹣x），
解得x＝4，
∴AB＝4，
即正六边形ABCDEF的边长为4，
故答案为：4．
一十八．正方形的性质（共1小题）
22．（2022•达州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的动点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持∠EBF＝45°，连接EF，PF，PD．下列结论：①PB＝PD；②∠EFD＝2∠FBC；③PQ＝PA+CQ；④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接DH，则DH的最小值为2﹣2，其中所有正确结论的序号是 　①②④⑤　．

【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCP＝∠DCP＝45°，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴PB＝PD，故①正确，
∵∠PBQ＝∠QCF＝45°，∠PQB＝∠FQC，
∴△PQB∽△FQC，
∴＝，∠BPQ＝∠CFQ，
∴＝，
∵∠PQF＝∠BQC，
∴△PQF∽△BQC，
∴∠QPF＝∠QBC，
∵∠QBC+∠CFQ＝90°，
∴∠BPF＝∠BPQ+∠QPF＝90°，
∴∠PBF＝∠PFB＝45°，
∴PB＝PF，
∴△BPF是等腰直角三角形，故④正确，
∵∠EPF＝∠EDF＝90°，
∴E，D，F，P四点共圆，
∴∠PEF＝∠PDF，
∵PB＝PD＝PF，
∴∠PDF＝∠PFD，
∵∠AEB+∠DEP＝180°，∠DEP+∠DFP＝180°，
∴∠AEB＝∠DFP，
∴∠AEB＝∠BEH，
∵BH⊥EF，
∴∠BAE＝∠BHE＝90°，
∵BE＝BE，
∴△BEA≌△BEH（AAS），
∴AB＝BH＝BC，
∵∠BHF＝∠BCF＝90°，BF＝BF，
∴Rt△BFH≌Rt△BFC（HL），
∴∠BFC＝∠BFH，
∵∠CBF+∠BFC＝90°，
∴2∠CBF+2∠CFB＝180°，
∵∠EFD+∠CFH＝∠EFD+2∠CFB＝180°，
∴∠EFD＝2∠CBFM故②正确，
将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCT，连接QT，
∴∠ABP＝∠CBT，
∴∠PBT＝∠ABC＝90°，
∴∠PBQ＝∠TBQ＝45°，
∵BQ＝BQ，BP＝BT，
∴△BQP≌△BQT（SAS），
∴PQ＝QT，
∵QT＜CQ+CT＝CQ+AP，
∴PQ＜AP+CQ，故③错误，
连接BD，DH，
∵BD＝2，BH＝AB＝2，
∴DH≥BD﹣BH＝2﹣2，
∴DH的最小值为2﹣2，故⑤正确，
故答案为：①②④⑤．

一十九．三角形的外接圆与外心（共1小题）
23．（2022•凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是 　　．

【解答】解：连接AD，BD，AD和BD相交于点D，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AB＝6，BD＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴cos∠ADB＝＝＝，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴cos∠ACB的值是，
故答案为：．

二十．直线与圆的位置关系（共1小题）
24．（2022•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　2+1　．

【解答】解：当⊙O与BC、BA都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D，则AD为点A到⊙O上的点的距离的最大值，
设⊙O与BC、BA的切点分别为E、F，连接OE、OF，
则OE⊥BC，OF⊥AB，
∵AC＝6，BC＝2，
∴tan∠ABC＝＝，AB＝＝4，
∴∠ABC＝60°，
∴∠OBF＝30°，
∴BF＝＝，
∴AF＝AB﹣BF＝3，
∴OA＝＝2，
∴AD＝2+1，
故答案为：2+1．

二十一．三角形的内切圆与内心（共1小题）
25．（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 　289　．

【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，
则四边形EODC为正方形，
∴OE＝OD＝3＝，
∴AC+BC﹣AB＝6，
∴AC+BC＝AB+6，
∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，
∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，
而BC2+AC2＝AB2，
∴2BC×AC＝12AB+36①，
∵小正方形的面积为49，
∴（BC﹣AC）2＝49，
∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，
把①代入②中得
AB2﹣12AB﹣85＝0，
∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，
∴AB＝17（负值舍去），
∴大正方形的面积为 289．
故答案为：289．

二十二．扇形面积的计算（共1小题）
26．（2022•广元）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为 　　．

【解答】解：如图，过点O作AB的垂线并延长，垂足为C，交⊙O于点D，连结AO，AD，
根据垂径定理得：AC＝BC＝AB＝，
∵将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，
∴OC＝CD＝r，
∴OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠D＝60°，
在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2，
∴（）2+（r）2＝r2，
解得：r＝2，
∵AC＝BC，∠OCB＝∠ACD＝90°，OC＝CD，
∴△ACD≌△BCO（SAS），
∴阴影部分的面积＝S扇形ADO＝×π×22＝．
故答案为：．

二十三．轨迹（共1小题）
27．（2022•广元）如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm．当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为 　（24﹣12）　cm．

【解答】解：当点D沿DA方向下滑时，得△E'C'D'，过点C'作C'N⊥AD于点N，作C'M⊥AF于点M．

∵DE＝12cm，CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴CD＝CE＝6cm，
∵∠MAN＝∠C′NA＝∠C′MA＝90°，
∴四边形AMC′N是矩形，
∴∠MC′N＝∠D′C′E′＝90°，
∴∠D′C′N＝∠E′C′M，
∵C′D′＝C′E′，∠C′ND′＝∠C′ME′＝90°，
∴△C′ND′≌△C′ME′（AAS），
∴C′N＝C′M，
∵C′N⊥DA，C′M⊥AF，
∴AC′平分∠BAF，
∴点C在射线AC′上运动，
当C′D′⊥AD时，AC′的值最大，最大值为12cm，
当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为2CC′＝2（12﹣6）＝（24﹣12）cm．
故答案为：（24﹣12）．
二十四．轴对称-最短路线问题（共3小题）
28．（2022•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 　10　．

【解答】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，

∵EF∥CG，EF＝CG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝＝＝10，
∴AF+CE的最小值为10，
故答案为：10．
29．（2022•自贡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为 　3　．

【解答】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小，

∵CH＝EF＝1，CH∥EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH＝CF，
∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF，
∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为边AD的中点，
∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：HG'＝＝3，
即GE+CF的最小值为3．
故答案为：3．
30．（2022•成都）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为 　　．

【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点R，连接EP′并延长，延长线交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ′，则点P′的对应点P″在线段EJ′上．

当点P是定点时，DQ﹣QP′＝DQ﹣QP″，
当D，P″，Q共线时，QD﹣QP′的值最大，最大值是线段DP″的长，
当点P与B重合时，点P″与J′重合，此时DQ﹣QP′的值最大，最大值是线段DJ′的长，也就是线段BJ的长．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，
∵AE＝14．EC＝18，
∴AC＝32，AO＝OC＝16，
∴OE＝AO﹣AE＝16﹣14＝2，
∵DE⊥CD，
∴∠DOE＝∠EDC＝90°，
∵∠DEO＝∠DEC，
∴△EDO∽△ECD，
∴DE2＝EO•EC＝36，
∴DE＝EB＝EJ＝6，
∴CD＝＝＝12，
∴OD＝＝＝4，
∴BD＝8，
∵S△DCB＝×OC×BD＝BC•DK，
∴DK＝＝，
∵∠BER＝∠DCK，
∴sin∠BER＝sin∠DCK＝＝＝，
∴RB＝BE×＝，
∵EJ＝EB，ER⊥BJ，
∴JR＝BR＝，
∴JB＝DJ′＝，
∴DQ﹣P'Q的最大值为．
解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，显然P'的轨迹EJ，故最大值为BJ．勾股得CD，OD．△BDJ∽△BAD，BD2＝BJ*BA，可得BJ＝．
故答案为：．
二十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
31．（2022•德阳）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB＝1，那么CE＝　　．

【解答】解：如图，设CE交AB于点O．

∵∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠ACD，
由翻折的性质可知∠ACD＝∠DCE，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE+∠B＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠BCE＝∠A，
∴∠BCE＝∠ACD＝∠DCE＝30°，
∴CO＝CB•cos30°＝，
∵DA＝DE，DA＝DC，
∴DC＝DE，
∵DO⊥CE，
∴CO＝OE＝，
∴CE＝．
故答案为：．
二十六．解直角三角形的应用（共1小题）
32．（2022•绵阳）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上．航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝　（5﹣5）　海里（计算结果不取近似值）．

【解答】解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，

由题意得：
AB＝20×＝10（海里），∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠CBA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DAC＝∠FAC﹣∠FAD＝30°，
∠CAB＝∠FAB﹣∠FAC＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝90°，
在Rt△ACB中，AC＝AB•sin45°＝10×＝5（海里），
设DE＝x海里，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝x（海里），
∵DC∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝45°，
在Rt△DEC中，CE＝＝x（海里），
DC＝＝＝x（海里），
∵AE+EC＝AC，
∴x+x＝5，
∴x＝，
∴DC＝x＝（5﹣5）海里，
故答案为：（5﹣5）．

二十七．用样本估计总体（共1小题）
33．（2022•自贡）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是 　甲　鱼池．（填甲或乙）
【解答】解：由题意可得，
甲鱼池中的鱼苗数量约为：100÷＝2000（条），
乙鱼池中的鱼苗数量约为：100÷＝1000（条），
∵2000＞1000，
∴初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，
故答案为：甲．