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2023届高考物理一轮复习 第15讲 曲线运动运动的合成与分解 讲义（考点+经典例题）
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这是一份2023届高考物理一轮复习 第15讲 曲线运动运动的合成与分解 讲义（考点+经典例题），共7页。试卷主要包含了曲线运动，运动的合成与分解等内容，欢迎下载使用。
一、曲线运动
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2.运动的性质：由于曲线运动中的速度的方向是变化的，所以曲线运动是变速运动。
3.运动的条件：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上。
4.合力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向轨迹的“凹”侧。
二、运动的合成与分解
1.遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵从矢量运算法则——平行四边形定则。
2.合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。
3.运动性质的判断
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(加速度（或合力）\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(变化：非匀变速运动,不变：匀变速运动)),加速度（或合力）方向与速度方向\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))))
4.两个直线运动的合运动性质的判断
依据：看合初速度方向与合加速度方向是否共线。
考点一 曲线运动的条件和特征
1.条件
物体受到的合力方向与速度方向始终不共线。
2.特征
(1)运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动。
(2)动力学特征：做曲线运动的物体所受合力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上(做曲线运动的条件)。合力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小。
(3)轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合力的方向与速度的方向之间，而且向合力的一侧弯曲。
(4)能量特征：如果物体所受的合力始终和物体的速度垂直，则合力对物体不做功，物体的动能不变；若合力不与物体的速度方向垂直，则合力对物体做功，物体的动能发生变化。
3.特点：
(1)物体做曲线运动时，速度沿轨迹的切线方向，合力指向轨迹凹侧，可以速记为“无力不弯，力速两边”。
(2)因为速度不能发生突变，所以曲线运动的轨迹也不能突变，除非速度和加速度同时减小为零并立刻开始沿其他方向加速运动。
【典例1】(多选)(2020·黄冈质检)初速度不为零的小球只受到一个大小不变的力的作用，下列说法正确的是( )
A．小球可能做曲线运动
B．小球的位置可能保持不变
C．小球的速度大小可能保持不变
D．小球的加速度一定保持不变
解析：选AC 当小球的速度方向与力F不共线时，小球做曲线运动，选项A正确；小球所受合外力不为零，一定会运动，所以小球的位置不可能保持不变，选项B错误；若力F与速度垂直，力F的大小不变，方向不断变化，则小球能做匀速圆周运动，速度的大小保持不变，选项C正确；小球所受的合外力大小不变，方向不确定，所以加速度不一定保持不变，选项D错误。
【典例2】如图，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度沿直线运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法中正确的是( )
A.乒乓球将保持原有的速度继续前进
B.乒乓球将偏离原有的运动路径，但不进入纸筒
C.乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒
D.只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
答案 B解析 当乒乓球经过筒口时，对着球横向吹气，乒乓球沿着原方向做匀速直线运动的同时也会沿着吹气方向做加速运动，实际运动是两个运动的合运动，故一定不会进入纸筒，故A、C、D错误，B正确。
考点二 运动的合成与分解
1．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解。由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。
2．合运动的性质和轨迹的判断
(1)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。
(2)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。
3.解题关键
两个方向上的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。
4.注意问题
要注意分析物体在两个方向上的受力及运动情况，分别在这两个方向上列式求解。
【典例3】.(多选)(2020·广东韶关市质检)在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速前进，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示。关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是( )
A.相对地面的运动轨迹为直线
B.相对地面做匀加速曲线运动
C.t时刻猴子相对地面速度的大小为 v0＋at
D.t时间内猴子相对地面的位移大小为eq \r(x2＋h2)
答案 BD解析 猴子在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，合速度与合加速度不在同一条直线上，所以猴子运动的轨迹为曲线，故A错误；猴子在水平方向上的加速度为零，在竖直方向上有恒定的加速度，根据运动的合成，知猴子做曲线运动的加速度不变，做匀加速曲线运动，故B正确；t时刻猴子在水平方向上的分速度为v0，在竖直方向上的分速度为at，所以合速度v＝eq \r(veq \\al(2,0)＋（at）2)，故C错误；在t时间内猴子在水平方向和竖直方向上的分位移分别为x和h，根据运动的合成，知合位移大小为eq \r(x2＋h2)，故D正确。
【典例3】如图所示，从上海飞往北京的波音737客机在上午10点10分到达首都国际机场。若飞机在水平分速度为60 m/s，竖直分速度为6 m/s时开始降落，降落过程中飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前( )
A．飞机的运动轨迹为曲线
B．经20 s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C．在第20 s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D．飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s
[解析] 由于初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20 s末的水平分速度为20 m/s，竖直方向的分速度为2 m/s，B错误；飞机在第20 s内，水平位移x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(v0xt20＋\f(1,2)axt202))－v0xt19－eq \f(1,2)axt192＝21 m，竖直位移y＝v0yt20＋eq \f(1,2)ayt202－v0yt19－eq \f(1,2)ayt192＝2.1 m，C错误；飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s，D正确。
[答案] D
考点三 小船渡河模型
1.船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。
3.两类问题、三种情景
4.分析思路
合运动：小船的实际运动eq \a\vs4\al(\(――→,\s\up12(运动的),\s\d4(分解 )))分运动一：船相对于静水的划行运动船在静水中的划行速度v船分运动二：船随水漂流的运动水流的速度v水eq \a\vs4\al(\(――→,\s\up12(运动的),\s\d4(合成 )))合速度：船相对于岸的实际速度v合
【典例5】.(多选)一只小船渡过两岸平行的河流，河中水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸。小船的初速度均相同，且船头方向始终垂直于河岸，小船相对于静水分别做匀加速、匀减速和匀速直线运动，其运动轨迹如图所示。下列说法正确的是( )
A.沿AC和AD轨迹小船都是做匀变速运动
B.AD是匀减速运动的轨迹
C.沿AC轨迹渡河所用时间最短
D.小船沿AD轨迹渡河，船靠岸时速度最大
答案 ABC解析：船沿着船头指向方向做匀加速直线运动的同时还要随着水流一起匀速运动，曲线运动的加速度方向指向轨迹的内侧，故AC轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀加速运动，同理可知，AB轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀速运动，AD轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀减速运动，沿AD轨迹，船是匀减速运动，则船到达对岸的速度最小，故A、B正确，D错误；船相对于水的初速度大小均相同，方向垂直于岸边，由于AC轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀加速运动，所以沿AC轨迹渡河所用的时间最短，故C正确。
【典例6】.有一条两岸平直、河水均匀流动，流速恒为v的大河。一条小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为eq \f(2v,\r(3))。回程与去程所用时间之比为( )
A．3∶2 B．2∶1
C．3∶1D．2eq \r(3)∶1
解析：选B 设河宽为d，则去程所用的时间t1＝eq \f(d,\f(2v,\r(3)))＝eq \f(\r(3)d,2v)；返程时的合速度：v′＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2v,\r(3))))2－v2)＝eq \f(v,\r(3))，回程的时间为：t2＝eq \f(d,\f(v,\r(3)))＝eq \f(\r(3)d,v)；故回程与去程所用时间之比为t2∶t1＝2∶1，选项B正确。
考点四 绳(杆)端速度分解模型
1.模型特点
沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2.绳(杆)端速度的分解思路
3．四种常见的速度分解模型
【典例7】如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过一根不可伸长的细绳带动小车沿水平面向右运动。若当滑轮右侧的绳与竖直方向成β角，且重物下滑的速率为v时，滑轮左侧的绳与水平方向成α角，则小车的速度为( )
A．eq \f(vsin β,sin α) B．eq \f(vsin β,cs α) C．eq \f(vcs β,sin α) D．eq \f(vcs β,cs α)
解析：选D 将速度v车和v按运动效果分解如图1、图2所示，由图2知沿绳方向v1＝vcs β，同理由图1知v3＝v车cs α，因为绳不可伸长，故沿绳方向速度大小相等，v1＝v3，所以v车cs α＝vcs β，所以v车＝eq \f(vcs β,cs α)，故D正确。
【典例8】.如图所示，长为L的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端靠在以水平速度v匀速向左运动、表面光滑的竖直挡板上，当直杆与竖直方向夹角为θ时，直杆端点A的线速度为( )
A.eq \f(v,sin θ) B.vsin θ
C.eq \f(v,cs θ) D.vcs θ
答案 C解析 将直杆端点A的线速度进行分解，如图所示，由图中的几何关系可得v0＝eq \f(v,cs θ)，选项C正确，A、B、D错误。
【典例9】.A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示，物体B的运动速度为(绳始终有拉力)( )
A.eq \f(v1sin α,sin β) B.eq \f(v1cs α,sin β)
C.eq \f(v1sin α,cs β) D.eq \f(v1cs α,cs β)
答案 D
解析 设物体B的运动速度为vB，速度分解如图甲所示，则有vB＝eq \f(v绳B,cs β)①
物体A的合运动对应的速度为v1，它的速度分解如图乙所示，
则有v绳A＝v1cs α②
由于对应同一根绳，其长度不变，故v绳B＝v绳A③
联立①②③式解得vB＝eq \f(v1cs α,cs β)，选项D正确。
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
渡河时
间最短
当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)
渡河位
移最短
如果v船＞v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cs θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船＜v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于eq \f(dv水,v船)
一、曲线运动
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2.运动的性质：由于曲线运动中的速度的方向是变化的，所以曲线运动是变速运动。
3.运动的条件：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上。
4.合力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向轨迹的“凹”侧。
二、运动的合成与分解
1.遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵从矢量运算法则——平行四边形定则。
2.合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。
3.运动性质的判断
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(加速度（或合力）\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(变化：非匀变速运动,不变：匀变速运动)),加速度（或合力）方向与速度方向\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))))
4.两个直线运动的合运动性质的判断
依据：看合初速度方向与合加速度方向是否共线。
考点一 曲线运动的条件和特征
1.条件
物体受到的合力方向与速度方向始终不共线。
2.特征
(1)运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动。
(2)动力学特征：做曲线运动的物体所受合力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上(做曲线运动的条件)。合力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小。
(3)轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合力的方向与速度的方向之间，而且向合力的一侧弯曲。
(4)能量特征：如果物体所受的合力始终和物体的速度垂直，则合力对物体不做功，物体的动能不变；若合力不与物体的速度方向垂直，则合力对物体做功，物体的动能发生变化。
3.特点：
(1)物体做曲线运动时，速度沿轨迹的切线方向，合力指向轨迹凹侧，可以速记为“无力不弯，力速两边”。
(2)因为速度不能发生突变，所以曲线运动的轨迹也不能突变，除非速度和加速度同时减小为零并立刻开始沿其他方向加速运动。
【典例1】(多选)(2020·黄冈质检)初速度不为零的小球只受到一个大小不变的力的作用，下列说法正确的是( )
A．小球可能做曲线运动
B．小球的位置可能保持不变
C．小球的速度大小可能保持不变
D．小球的加速度一定保持不变
解析：选AC 当小球的速度方向与力F不共线时，小球做曲线运动，选项A正确；小球所受合外力不为零，一定会运动，所以小球的位置不可能保持不变，选项B错误；若力F与速度垂直，力F的大小不变，方向不断变化，则小球能做匀速圆周运动，速度的大小保持不变，选项C正确；小球所受的合外力大小不变，方向不确定，所以加速度不一定保持不变，选项D错误。
【典例2】如图，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度沿直线运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法中正确的是( )
A.乒乓球将保持原有的速度继续前进
B.乒乓球将偏离原有的运动路径，但不进入纸筒
C.乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒
D.只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
答案 B解析 当乒乓球经过筒口时，对着球横向吹气，乒乓球沿着原方向做匀速直线运动的同时也会沿着吹气方向做加速运动，实际运动是两个运动的合运动，故一定不会进入纸筒，故A、C、D错误，B正确。
考点二 运动的合成与分解
1．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解。由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。
2．合运动的性质和轨迹的判断
(1)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。
(2)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。
3.解题关键
两个方向上的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。
4.注意问题
要注意分析物体在两个方向上的受力及运动情况，分别在这两个方向上列式求解。
【典例3】.(多选)(2020·广东韶关市质检)在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速前进，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示。关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是( )
A.相对地面的运动轨迹为直线
B.相对地面做匀加速曲线运动
C.t时刻猴子相对地面速度的大小为 v0＋at
D.t时间内猴子相对地面的位移大小为eq \r(x2＋h2)
答案 BD解析 猴子在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，合速度与合加速度不在同一条直线上，所以猴子运动的轨迹为曲线，故A错误；猴子在水平方向上的加速度为零，在竖直方向上有恒定的加速度，根据运动的合成，知猴子做曲线运动的加速度不变，做匀加速曲线运动，故B正确；t时刻猴子在水平方向上的分速度为v0，在竖直方向上的分速度为at，所以合速度v＝eq \r(veq \\al(2,0)＋（at）2)，故C错误；在t时间内猴子在水平方向和竖直方向上的分位移分别为x和h，根据运动的合成，知合位移大小为eq \r(x2＋h2)，故D正确。
【典例3】如图所示，从上海飞往北京的波音737客机在上午10点10分到达首都国际机场。若飞机在水平分速度为60 m/s，竖直分速度为6 m/s时开始降落，降落过程中飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前( )
A．飞机的运动轨迹为曲线
B．经20 s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C．在第20 s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D．飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s
[解析] 由于初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20 s末的水平分速度为20 m/s，竖直方向的分速度为2 m/s，B错误；飞机在第20 s内，水平位移x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(v0xt20＋\f(1,2)axt202))－v0xt19－eq \f(1,2)axt192＝21 m，竖直位移y＝v0yt20＋eq \f(1,2)ayt202－v0yt19－eq \f(1,2)ayt192＝2.1 m，C错误；飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s，D正确。
[答案] D
考点三 小船渡河模型
1.船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。
3.两类问题、三种情景
4.分析思路
合运动：小船的实际运动eq \a\vs4\al(\(――→,\s\up12(运动的),\s\d4(分解 )))分运动一：船相对于静水的划行运动船在静水中的划行速度v船分运动二：船随水漂流的运动水流的速度v水eq \a\vs4\al(\(――→,\s\up12(运动的),\s\d4(合成 )))合速度：船相对于岸的实际速度v合
【典例5】.(多选)一只小船渡过两岸平行的河流，河中水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸。小船的初速度均相同，且船头方向始终垂直于河岸，小船相对于静水分别做匀加速、匀减速和匀速直线运动，其运动轨迹如图所示。下列说法正确的是( )
A.沿AC和AD轨迹小船都是做匀变速运动
B.AD是匀减速运动的轨迹
C.沿AC轨迹渡河所用时间最短
D.小船沿AD轨迹渡河，船靠岸时速度最大
答案 ABC解析：船沿着船头指向方向做匀加速直线运动的同时还要随着水流一起匀速运动，曲线运动的加速度方向指向轨迹的内侧，故AC轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀加速运动，同理可知，AB轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀速运动，AD轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀减速运动，沿AD轨迹，船是匀减速运动，则船到达对岸的速度最小，故A、B正确，D错误；船相对于水的初速度大小均相同，方向垂直于岸边，由于AC轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀加速运动，所以沿AC轨迹渡河所用的时间最短，故C正确。
【典例6】.有一条两岸平直、河水均匀流动，流速恒为v的大河。一条小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为eq \f(2v,\r(3))。回程与去程所用时间之比为( )
A．3∶2 B．2∶1
C．3∶1D．2eq \r(3)∶1
解析：选B 设河宽为d，则去程所用的时间t1＝eq \f(d,\f(2v,\r(3)))＝eq \f(\r(3)d,2v)；返程时的合速度：v′＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2v,\r(3))))2－v2)＝eq \f(v,\r(3))，回程的时间为：t2＝eq \f(d,\f(v,\r(3)))＝eq \f(\r(3)d,v)；故回程与去程所用时间之比为t2∶t1＝2∶1，选项B正确。
考点四 绳(杆)端速度分解模型
1.模型特点
沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2.绳(杆)端速度的分解思路
3．四种常见的速度分解模型
【典例7】如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过一根不可伸长的细绳带动小车沿水平面向右运动。若当滑轮右侧的绳与竖直方向成β角，且重物下滑的速率为v时，滑轮左侧的绳与水平方向成α角，则小车的速度为( )
A．eq \f(vsin β,sin α) B．eq \f(vsin β,cs α) C．eq \f(vcs β,sin α) D．eq \f(vcs β,cs α)
解析：选D 将速度v车和v按运动效果分解如图1、图2所示，由图2知沿绳方向v1＝vcs β，同理由图1知v3＝v车cs α，因为绳不可伸长，故沿绳方向速度大小相等，v1＝v3，所以v车cs α＝vcs β，所以v车＝eq \f(vcs β,cs α)，故D正确。
【典例8】.如图所示，长为L的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端靠在以水平速度v匀速向左运动、表面光滑的竖直挡板上，当直杆与竖直方向夹角为θ时，直杆端点A的线速度为( )
A.eq \f(v,sin θ) B.vsin θ
C.eq \f(v,cs θ) D.vcs θ
答案 C解析 将直杆端点A的线速度进行分解，如图所示，由图中的几何关系可得v0＝eq \f(v,cs θ)，选项C正确，A、B、D错误。
【典例9】.A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示，物体B的运动速度为(绳始终有拉力)( )
A.eq \f(v1sin α,sin β) B.eq \f(v1cs α,sin β)
C.eq \f(v1sin α,cs β) D.eq \f(v1cs α,cs β)
答案 D
解析 设物体B的运动速度为vB，速度分解如图甲所示，则有vB＝eq \f(v绳B,cs β)①
物体A的合运动对应的速度为v1，它的速度分解如图乙所示，
则有v绳A＝v1cs α②
由于对应同一根绳，其长度不变，故v绳B＝v绳A③
联立①②③式解得vB＝eq \f(v1cs α,cs β)，选项D正确。
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
渡河时
间最短
当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)
渡河位
移最短
如果v船＞v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cs θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船＜v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于eq \f(dv水,v船)
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