2023届高考物理一轮复习 第17讲 圆周运动 讲义（考点+经典例题）

这是一份2023届高考物理一轮复习 第17讲 圆周运动 讲义（考点+经典例题），共10页。试卷主要包含了匀速圆周运动及描述，匀速圆周运动的向心力，离心运动和近心运动等内容，欢迎下载使用。

一、匀速圆周运动及描述
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。
(2)速度特点：速度的大小不变，方向始终与半径垂直。
匀速圆周运动是变速运动，“匀速”指的是速率不变。
2．描述圆周运动的物理量
线速度与角速度的对比理解
线速度侧重于描述物体沿圆弧运动的快慢，角速度侧重于描述物体绕圆心转动的快慢。
二、匀速圆周运动的向心力
1.作用效果:向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
2.大小:
Fn＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝meq \f(4π2,T2)r＝mωv＝4π2mf2r。
3.方向:始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
4.来源:向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。
三、离心运动和近心运动
1.离心运动：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供做圆周运动所需的向心力时，就做逐渐远离圆心的运动。
2.受力特点(如图所示)
(1)当F＝0时，物体沿切线方向飞出。
(2)当0＜F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心。
(3)当F＞mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动。
3.本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。
考点一 圆周运动的运动学问题
1.对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比。当ω一定时，v与r成正比。
当v一定时，ω与r成反比。
2.对an＝eq \f(v2,r)＝ω2r的理解
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比。
3.常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
(3)同轴转动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。
【典例1】(多选)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车( )
A．运动路程为600 m B．加速度为零
C．角速度约为1 rad/sD．转弯半径约为3.4 km
解析：选AD由s＝vt知，s＝600 m，故A正确。火车在做匀速圆周运动，加速度不为零，故B错误。由10 s内转过10°知，角速度ω＝eq \f(\f(10°,360°)×2π,10) rad/s＝eq \f(π,180) rad/s≈0.017 rad/s，故C错误。由v＝rω知，r＝eq \f(v,ω)＝eq \f(60,\f(π,180)) m≈3.4 km，故D正确。
【典例2】.如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑。在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：
(1)A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC；
(2)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；
(3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC。
答案 (1)2∶2∶1 (2)1∶2∶1 (3)2∶4∶1
解析 (1)令vA＝v，由于皮带传动时不打滑，所以vB＝v。因ωA＝ωC，由公式v＝ωr知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故vC＝eq \f(1,2)v，所以vA∶vB∶vC＝2∶2∶1。
(2)令ωA＝ω，由于轮O1、O3同轴转动，所以ωC＝ω。因vA＝vB，由公式ω＝eq \f(v,r)知，当线速度相等时，角速度跟半径成反比，故ωB＝2ω，所以ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1。
(3)令A点向心加速度大小为aA＝a，因vA＝vB，由公式a＝eq \f(v2,r)知，当v一定时，向心加速度大小跟半径成反比，所以aB＝2a。又因为ωA＝ωC，由公式a＝ω2r知，当角速度一定时，向心加速度大小跟半径成正比，故aC＝eq \f(1,2)a，所以aA∶aB∶aC＝2∶4∶1。
考点二 圆周运动的动力学问题
1.向心力来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2.运动模型
3.分析思路
【典例3】.(多选)如图所示为运动员在水平道路上转弯的情景，转弯轨迹可看成一段半径为R的圆弧，运动员始终与自行车在同一平面内。转弯时，只有当地面对车的作用力通过车(包括人)的重心时，车才不会倾倒。设自行车和人的总质量为M，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A.车受到地面的支持力方向与车所在平面平行
B.转弯时车不发生侧滑的最大速度为eq \r(μgR)
C.转弯时车与地面间的静摩擦力一定为μMg
D.转弯速度越大，车所在平面与地面的夹角越小
答案 BD
解析:车受到的地面的支持力方向垂直地面竖直向上，不与车所在的平面平行，故A错误；设自行车受到地面的弹力为FN，则有Ffm＝μFN，由平衡条件有FN＝Mg，根据牛顿第二定律有Ffm＝Meq \f(veq \\al(2,m),R)，代入数据解得vm＝eq \r(μgR)，故B正确；对车(包括人)受力分析如图，地面对自行车的弹力FN与摩擦力Ff的合力过人与车的重心，转弯车速较小时，不一定达到最大静摩擦力，所以转弯时车与地面间的静摩擦力不一定为μMg，转弯速度越大，向心力越大，由于Ff＝eq \f(Mg,tan θ)知θ越小，即车所在平面与地面的夹角越小，C错误，D正确。
【典例4】(多选)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B(m1≠m2)。设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则( )
A．两球运动的周期相等
B．两球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距离之比等于m2∶m1
D．球A、B到P的距离之比等于m1∶m2
解析：选AC 对其中一个小球受力分析，其受到重力和绳的拉力F，绳中拉力在竖直方向的分力与重力平衡，设轻绳与竖直方向的夹角为θ，则有Fcs θ＝mg，拉力在水平方向上的分力提供向心力，设该小球到P的距离为l，则有Fsin θ＝mgtan θ＝meq \f(4π2,T2)lsin θ，解得周期为T＝2πeq \r(\f(lcs θ,g))＝2π eq \r(\f(h,g))，因为任意时刻两球均在同一水平面内，故两球运动的周期相等，选项A正确；连接两球的绳的张力F相等，由于向心力为Fn＝Fsin θ＝mω2lsin θ，故m与l成反比，由m1≠m2，可得l1≠l2，又小球的向心加速度a＝ω2lsin θ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2lsin θ，故向心加速度大小不相等，选项C正确，B、D错误。
考点三 竖直面内圆周运动的“两类模型”问题
1.运动特点
(1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。
(2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。
(3)竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动到圆周的最高点的速度。
(4)一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的两种情形。
2.常见模型
【典例5】如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随过山车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是( )
A．过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
解析：选D 人过最高点时，FN＋mg＝meq \f(v2,R)，当v≥eq \r(gR)时，即使人不用保险带也不会掉下来，当v＝eq \r(2gR)时，人在最高点时对座位产生的压力为mg，A、B错误；人在最低点时具有竖直向上的加速度，处于超重状态，故人此时对座位的压力大于mg，C错误，D正确。
【典例6】如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与最高点时的速度平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。则下列说法中正确的是( )
A．管道的半径为eq \f(b2,g)
B．小球的质量为eq \f(a,g)
C．小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力
D．小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
解析：选B 由题图可知：当v2＝b，FN＝0此时mg＝meq \f(v2,R)，解得：R＝eq \f(b,g)，故A错；当v2＝0时，此时FN＝mg＝a，所以
m＝eq \f(a,g)，故B对；小球在水平线MN以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有力，故C错；小球在水平线MN以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故可能是外侧管壁受力，也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能均无作用力，故D错。
考点四 圆周运动中的两类临界问题
1.与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝eq \f(mv2,r)，静摩擦力的方向一定指向圆心。
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
2.与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
【典例7】.(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A.a绳的张力不可能为零
B.a绳的张力随角速度的增大而增大
C.当角速度ω＞eq \r(\f(g,ltan θ))，b绳将出现弹力
D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
答案 AC
解析 小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故选项A正确；根据竖直方向上平衡得，Fasin θ＝mg，计算得出Fa＝eq \f(mg,sin θ)，可知a绳的拉力不变，故B错误；当b绳拉力为零时，有eq \f(mg,tan θ)＝mlω2，计算得出ω2＝eq \f(g,ltan θ)，当角速度ω2＞eq \f(g,ltan θ)，b绳将出现弹力，故选项C正确；因为b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误。
【典例8】.(多选)(2020·四川南充市第一次高考适应性考试)如图所示，A、B两个物体放在水平旋转的圆盘上，A的质量为m，B的质量为2m，B离轴距离为R，A离轴距离为2R，在转盘转速增加的过程中，两物体始终相对盘静止，则( )
A.A与B的线速度大小之比为eq \r(2)∶1
B.A与B的角速度之比为1∶1
C.A与B的向心加速度大小之比为1∶1
D.摩擦力对物体做正功
答案 BD
解析 A、B同轴转动，角速度相等，即ωA∶ωB＝1∶1，由v＝rω得，vA∶vB＝rA∶rB＝2∶1，故A错误，B正确；根据a＝rω2知，aA∶aB＝rA∶rB＝2∶1，故C错误；由于只有摩擦力对物体做功，由动能定理得Wf＝ΔEk，转盘转速增加，则物体A、B的动能增加，所以摩擦力对物体做正功，故D正确。
【典例9】.如图所示，在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动。
(1)当v1＝ eq \r(\f(gL,6))时，求细线对小球的拉力；
(2)当v2＝ eq \r(\f(3gL,2))时，求细线对小球的拉力。
解析：小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力FN＝0，如图1所示，设此时小球的线速度为v0，则F＝ma＝meq \f(v02,r)＝meq \f(v02,Lsin 30°)＝mgtan 30°
解得v0＝ eq \r(\f(\r(3)gL,6))
(1)因v1＜v0，FN≠0，对小球受力分析，如图2所示，有Tsin 30°－FNcs 30°＝eq \f(mv12,Lsin 30°)
Tcs 30°＋FNsin 30°＝mg
解得T＝eq \f(1＋3\r(3)mg,6)。
(2)因v2＞v0，小球离开斜面，对小球受力分析，如图3所示，有T′sin α＝eq \f(mv22,Lsin α)
T′cs α＝mg
解得T1′＝2mg，T2′＝－eq \f(1,2)mg(舍去)。
答案：(1)eq \f(1＋3\r(3)mg,6) (2)2mg
意义
公式/单位
线速度(v)角速度(ω)
(1)描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量
(2)是矢量，方向沿圆周切线方向
v＝eq \f(Δs,Δt)＝eq \a\vs4\al(\f(2πr,T))＝2πrn
单位：m/s
(1)描述物体绕圆心转动快慢的物理量
(2)是矢量(中学阶段不研究方向)
ω＝eq \f(Δθ,Δt)＝eq \f(2π,T) ＝2πn
单位：rad/s
周期和转速(T/n)
物体沿圆周运动一周的时间叫周期，单位时间内转过的圈数叫转速 转速n和频率f含义相同，只是单位不同。
T＝eq \f(2πr,v)＝eq \a\vs4\al(\f(2π,ω))
单位：s
n＝eq \f(1,T)，单位：r/s
向心加速度(an)
(1)描述速度方向变化快慢的物理量
(2)方向指向圆心
向心加速度的方向也在时刻改变。
an＝eq \a\vs4\al(\f(v2,r))＝ω2r
单位：m/s2
运动模型
向心力的来源图示
运动模型
向心力的来源图示
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
飞车走壁
汽车在水平路面转弯
水平转台(光滑)
物理情景
轻绳模型
轻杆模型
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
最高点无支撑
最高点有支撑
受力特征
除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零
除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上
受力示意图
力学方程
mg＋FT＝meq \f(v2,R)
mg±FN＝meq \f(v2,R)
临界特征
FT＝0
mg＝meq \f(veq \\al(2,min),R)
即vmin＝eq \r(gR)
v＝0
即F向＝0
FN＝mg
过最高点的条件
在最高点的速度v≥eq \r(gR)
v≥0