高二数学下学期期末考试分类汇编导数及其应用新人教A版

这是一份高二数学下学期期末考试分类汇编导数及其应用新人教A版，共22页。
专题09 导数及其应用1．（2022·四川成都·高二期中（理））若在R上可导， 则=（       ）A．16 B．54 C．－25 D．－16【答案】D【解析】解：，则，解得：，，故选:D.2．（2021·重庆合川·高二阶段练习）过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由题意，函数，可得，因为，所以，即切线的斜率，设切线的倾斜角为，则又因为，所以或，即切线的倾斜角的范围为.故选：B. 3．（2022·安徽·合肥一中模拟预测）对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，设，则，即……①又，即……②由①②可得，.故选：B. 4．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则实数的值为（       ）A． B． C． D． 【答案】D【解析】解：因为，所以，，所以，所以切线的方程为，又，所以，设切线与的切点为，可得切线的斜率为，即，，可得切点为，所以，解得．故选：D．5．（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）已知函数与的部分图像如图所示，则（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由图可知，与在区间上单调递增，所以，.在区间上，的图像比的图像更陡峭，所以，.故选：B 6．（2022·广东·中山大学附属中学高二期中）设函数，则（       ）A．e B．1 C． D．【答案】B【解析】由题意，所以，所以原式等于.故选：B. 7．（2022·重庆·高二阶段练习）定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（       ）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】构造函数，则，因为，所以，所以单调递减，又，所以，不等式变形为，即，由函数单调性可得：故选：D 8．（2022·江苏·昆山柏庐高级中学高二期中）已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，则，所以函数在区间上单调递增，所以，解之得或，即原不等式的解集为，故选：B. 9．（2022·四川省内江市第六中学高二期中）是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，则不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得构造函数，，所以函数在上单调递增，因为，所以不等式等价于即，所以故选：C.10．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数的导函数，， ， ，则（       ）A．  B． C． D．【答案】A【解析】，则，为偶函数，且在单调递增，，，即，，所以，∴，故选：A 二、解答题11．（2021·重庆合川·高二阶段练习）已知函数(1)当，证明：；(2)若函数在上恰有一个极值，求a的值．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)由题设且，则，所以在上递增，则，得证.(2)由题设在有且仅有一个变号零点，所以在上有且仅有一个解，令，则，而，故时，时，时，所以在、上递增，在上递减，故极大值，极小值，，要使在上与有一个交点，则或或.经验证，或时对应零点不变号，而时对应零点为变号零点，所以. 12．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中）设函数，若在处有极值．(1)求实数a的值；(2)求函数的极值；(3)若对任意的，都有，求实数c的取值范围．【答案】(1)(2)在处有极大值，在处有极小值(3)【解析】(1)，因为在处有极值，所以，解得.检验：当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值，满足条件.故.(2)由（1）知当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，.所以在处有极大值，在处有极小值.(3)原命题等价于对任意的都成立，由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，所以，解得. 13．（2022·天津河北·高二期中）已知函数，其中，曲线在处的切线方程为．(1)求函数f（x）的解析式；(2)求函数f（x）在区间[－1，4]上的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最大值是－，最小值是－19【解析】(1)：∵，∴．由题意得，即，解得，．∴；(2)解：令，解得，或，列表讨论和f（x）的变化情况：3（3，4）＋0－0＋单调递增单调递减－19单调递增 ∴当时，函数f（x）有极大值；当时，函数f（x）有极小值．又，，∴函数f（x）在区间[－1，4]上的最大值是－，最小值是－19. 14．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知函数，为函数的导数．(1)求的解集；(2)求曲线的单调区间．【答案】(1)(2)单调递增区间是，，单调递减区间是【解析】【分析】由得，，∴，即，解得，∴的解集是(2)，∴当x变化时，的变化情况如下表：x＋0－0＋   ∴的单调递增区间是，，单调递减区间是． 15．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【解析】(1)解：因为，所以，若，则在上恒成立，故在上单调递增，若，则当时，；当时，．故在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．(2)由等价于．令，函数，则，由，可得．当时，单调递减；当时，单调递增，故．所以a的取值范围为． 16．（2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习（理））已知函数在处的切线与轴平行.(1)求的值；(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：因为，所以，在处的切线与轴平行，，解得．(2)解：令，则原题意等价于图象与轴有三个交点，由，解得或；由，解得．在时取得极大值；在时取得极小值．故，．    一、单选题1．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中）已知函数，，若对任意的存在，使，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为对任意的存在，使成立，即，由函数，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，又由函数，当时，函数在上单调递增，，即，解得，不成立，舍去；当时，函数在上单调递减，上单调递增，，即，解得或，不成立，舍去；当时，函数在上单调递减，，即，解得，综上可得，实数的取值范围是.故选：B. 2．（2022·湖北·高二阶段练习）函数在内存在极值点，则（       ）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】由题意知：在内存在变号零点，即在内有解，则，易得在内单调递减，值域为，故.故选：A. 3．（2022·甘肃·兰州一中高二期中）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足，且f（4）＝ln（4e4），则不等式f（ex）＞ex+x的解集为（　　）A．（4，+∞） B．（﹣∞，2） C．（ln2，+∞） D．（ln4，+∞）【答案】D【解析】解：令g（x）＝f（x）﹣lnx﹣x，       因为定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣1﹣x＞0，所以g′（x）＝，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，因为f（4）＝ln（4e4）＝4+ln4，所以g（4）＝0，则不等式f（ex）＞ex+x可转化为g（ex）+x+ex＞ex+x，即g（ex）＞0= g（4），所以ex＞4，所以x＞ln4．故选：D． 4．（2022·河南·高二阶段练习（理））若当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】令，所以，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即时，恒成立，所以当时，恒成立成立；若当时，关于的不等式恒成立，则等价于当时，关于的不等式恒成立，当时，不等式显然成立当时，关于的不等式恒成立，即恒成立，又函数在上单调递减，所以，所以，即；综上实数的取值范围是.故选：A. 5．（2022·江苏·海门中学高二阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程为，且函数在上的最大值为M，最小值为m，则的值为（       ）A． B． C． D．0【答案】B【解析】解：，，又时，，则，解得，，则，，，当时，，当或时，，故函数在，上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，极大值为，，故函数在上的最大值为，最小值为，则故选：B 6．（2022·首都师范大学附属中学高二期中）已知函数，若有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】当 时， ，故当 时， 单调递减，当 时， 单调递增， 故 ，且时， ，当 时， ，由此作出函数的大致图象如图：由有三个不同的零点，即函数 的图象与 有三个不同的交点，结合图象，可得 ，故选：C 7．（2022·天津市蓟州区第一中学高二期中）已知函数，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是（　　）A． B．[，4]C． D．【答案】B【解析】解：的导函数为，由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=，所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，所以当时，，当时，，则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，由题意，得，，可得，解得．故选：B.8．（2022·山东济宁·高二期中）已知，则a，b，c的大小关系为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：因为，令，则，当时，，则在上递增；当时，，则在上递减，因为，所以，又，所以，即，故选：D9．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【解析】设g（x），则g′（x）＝，∵当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）>0，∴当x＞0时，g′（x）>0，此时函数g（x）为增函数，∵f（x）是奇函数，∴g（x）是偶函数，即当x＜0时，g（x）为减函数．∵f（﹣1）＝0，∴g（﹣1）＝g（1）＝0，当x＞0时，f（x）>0等价为g（x）>0，即g（x）>g（1），此时x＞1，当x＜0时，f（x）>0等价为g（x）<0，即g（x）<g（﹣1），此时﹣1＜x＜0，综上不等式的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故选A． 10．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（     ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D. 二、解答题11．（2022·北京·北师大二附中三模）已知函数，其中，为的导函数.(1)当，求在点处的切线方程；(2)设函数，且恒成立.①求的取值范围；②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.【答案】(1)(2)①;②详见解析【解析】(1)时，,,,，所以函数在处的切线方程，即.(2)①由题设知，，，，由，得，所以函数在区间上是增函数；由，得，所以函数在区间上是减函数.故在处取得最小值，且.由于恒成立，所以，得，所以的取值范围为；②设，则.设，则，故函数在区间上单调递增，由（1）知，，所以，，故存在，使得，所以，当时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增.所以是函数的极小值点.因此，即.由①可知，当时，，即，整理得，所以.因此，即.所以函数在区间上单调递增.由于，即，即，所以.又函数在区间上单调递增，所以. 12．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数，．(1)若在点处的切线的斜率为，求的最值；(2)若在原点处取得极值，当时，的图像总在的图像的上方，求k的取值范围．【答案】(1)有最小值，且最小值为，无最大值；(2).【解析】由题意得，函数的定义域为，．因为，所以，解得，所以，则．令，解得或（舍），所以当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，所以函数有最小值，且最小值，无最大值．(2)因为，，所以，解得，所以，若，则，单调递减，若，则，单调递增．因为当时，函数的图像总在函数的图像的上方，即恒成立，所以，即．设，，则，令，则，所以函数在上单调递增，所以，当，即时，，所以函数在上单调递增，所以恒成立，符合题意；当，即时，，，所以存在，使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增．又，所以不恒成立，故不符合题意．综上所述，k的取值范围为． 13．（2022·河北保定·高二期中）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数无零点，求实数a的取值范围；(3)若函数有两个相异零点，求证；．【答案】(1)答案见解(2)(3)证明见解析【解析】(1)解：由题可知的定义域是，当时，，所以在上单调递增；当时，令解得，当时，所以在上单调递增，当时，所以在上单调递减.综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.(2)解：由（1）可知，要使函数无零点就需要，此时在上递增，在上递减，，欲使函数无零点，则只要，即所以的范围是.(3)因为有两个相异的零点，又由于，故不妨设令，且有，，要证令，则，所以只要证明时恒成立，令，由于已知恒成立，所以在递增，所以时，恒成立，即恒成立，从而证明.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数； 14．（2022·四川成都·高二期中（理））已知函数（其中为自然对数的底数）.(1)若曲线在点处的切线与x轴交于点，求a的值；(2)求证：时，存在唯一极值点，且.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)因为，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，令，得，因为切线与x轴正半轴交于点，所以，所以；(2)因为，设，因为，所以时，，故在上是减函数，因为，若，则时，，当时，，若，则，故当时，，所以有唯一零点，当时，即，故为增函数，当时，即，故为减函数.所以存在唯一极大值点，又因，即，所以等价于所以，因为是增函数，故 15．（2022·广东·佛山市南海区罗村高级中学高二阶段练习）已知函数（）.（I）若，求曲线在点处的切线方程；（II）若在上无极值点，求的值；（III）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由.【答案】（1）； （2）时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.【解析】（I）当时，，，，，所以曲线在点处的切线方程为.（II），，依题意有，即，，解得.(III)（1）时，函数在上恒为增函数且，函数在上无零点.（2）时：当，，函数为增函数；当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.由于，此时只需判定的符号：当时，函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.综上，时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.