高二数学下学期期末考试分类汇编椭圆新人教A版

这是一份高二数学下学期期末考试分类汇编椭圆新人教A版，共24页。
A．10B．15C．20D．25
【答案】C
【解析】由椭圆的定义可知
，，
则△的周长为，
故选：.
2．（2022·广东·广州市番禺区实验中学高二期中）已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（ ）．
A．13B．12C．25D．16
【答案】C
【解析】由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：，
（当且仅当时取等号），
的最大值为.
故选：C.
3．（2022·安徽滁州·高二期中）已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（ ）
A．3B．9C．D．
【答案】C
【解析】根据椭圆的定义有，①
根据余弦定理得，②
结合①②解得，所以的面积．
故选:C
类型二 椭圆的简单几何性质
4．（2022·安徽·南陵中学高二阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为、，为椭圆上的一点（不在轴上），则△面积的最大值是（ ）
A．15B．12C．6D．3
【答案】B
【解析】由三角形面积公式可知，
当最大时有最大值，即点位于椭圆上顶点或下顶点，
其中，
则△面积的最大值是，故选：.
5．（2022·广东·盐田高中高二期中）已知椭圆，其左右焦点分别为，其离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，已知的内切圆的面积为，则该椭圆的长轴长为（ ）
A．2B．4C．6D．12
【答案】D
【解析】由，得，即.
设的内切圆的半径为，则
因为的内切圆的面积为，所以，解得（负舍），
在中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知
，即，
由，联立，得，
所以该椭圆的长轴长为.故选：D.
6．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习）已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，直线与直线相交于点N，
由于PM是的平分线，且，即PM⊥，所以三角形是等腰三角形，
所以，点M为中点，
因为O为的中点，所以OM是三角形的中位线，所以，
其中，
因为P与的四个顶点不重合，设，则，
则，
所以，又，
所以，
∴的取值范围是.故选：D.
类型三 椭圆离心率问题
7．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室高二期中（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，，，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为过坐标原点的直线交E于P，Q两点，根据椭圆的对称性，可知四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，则，
因为，所以，则，设，则，
又，所以，即，解得，则，
因为，即，所以，
所以，故选：B
8．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）两个长轴在x轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A，B分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC，BD，切点分别为C，D，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】法一：设内椭圆方程为，外椭圆为，
切线的方程为，联立消去可得：，
因为直线为椭圆的切线，所以，
化简可得：，设直线的方程为：，同理可得，
因为两切线斜率之积等于，所以，所以椭圆的离心率为.
故选：B.
法二；设内层椭圆：，外层椭圆：.
设切点，，，，切线：，切线：，
∴①，②，又∵，即，即，即，
∴，同理，∴，∴，
将，代入椭圆中得：，经分析得：，
由①②可知，∴，∴，∴.故选：B.
9．（2022·四川·阆中中学高二期中）已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设点，
，因为，
所以，即，
结合可得，所以.故选：B.
10．（2022·江西赣州·高二期中）已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，
在椭圆上，，
，两边都乘以化简后得：，，
，又因为椭圆离心率，.故选：A.
考点二 椭圆综合问题
类型一：齐次化解决定点 定值问题
1 已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
【答案】(1) .(2)证明见解析.
解题方法一：试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得.
故C的方程为.
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.
则，得，不符合题设.
从而可设l：（）.将代入得
由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而
.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，欲使l：，即，
所以l过定点（2，）
解题方法二：齐次化处理：
类型二：常规韦达定理解决椭圆问题
3．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且椭圆过点、，过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x轴的上方）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求点P的坐标；
（3）设直线AP、BQ的斜率分别为、，是否存在常数，使得?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）
（2）
（3）存在，
【分析】（1）因为椭圆过点、，则有，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，.由（1）知，.
因为，则有，
即，
所以解得
即.
分别将、两点的坐标代入得
解得（舍）或
所以所求点的坐标为.
（3）设存在常数，使得.由题意可设直线的方程为，点，，则.又因为，即，即，
所以
即（*）
又由得，，
且，.代入（*）得
即，
所以存在常数，使得.
4 ．已知椭圆的短轴长是2，且离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知，若直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数，使恒成立，并说明理由．
【答案】
（1）；
（2）存在，理由见解析.
【分析】
（1）因椭圆的短轴长是2，则，而离心率，解得，
所以椭圆方程为.
（2）存在常数，使恒成立，
由消去y并整理得：，
设，，则，，
又，，

，
则有，而线段AB的中点为M，于是得，并且有
所以存在常数，使恒成立.
围.
类型三：中点弦问题
5 ．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在椭圆C上.
(1)若线段MN的中点坐标为，求直线MN的斜率；
(2)若M，N，O三点共线，直线NF1与椭圆C交于N，P两点，求△PMN面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】设，则，
两式相减，可得，
则，
解得，即直线MN的斜率为；
(2)显然直线NF1的斜率不为0，设直线NF1：，，
联立，消去x整理得，显然，
故，故△PMN的面积
，
令，则，当且仅当，即时等号成立，故△PMN面积的最大值为.
6 ．已知椭圆方程，直线与轴相交于点，过右焦点的直线与椭圆交于，两点．
（1）若过点的直线与垂直，且与直线交于点，线段中点为，求证：．
（2）设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否垂直，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）是垂直；证明见解析．
【解析】（1）由椭圆方程为知，右焦点坐标，
直线方程为，点坐标．
由知，直线斜率不为0，故设直线的方程为，
从而，直线的方程为，
令得，点坐标为，
故直线的方程来，
联立方程组，消去得：，
设，，
即，，
从而，线段的中点，
，
综上可知，．
（2）（ⅰ）当直线的斜率为0时，点即为点，从而．
（ⅱ）当直线的斜率不为0时，
由（1）知，，，
所以，则，直线的方程为，
又，令，得，
所以点的坐标为，即．
类型四：最，定值以及参数取值范围问题
7 设点M和N分别是椭圆上下不同的两点，线段MN最长为4，椭圆的离心率.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线MN过点，且，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】由题意可得，解得，
所以，
所以椭圆C的标准方程为，
（2）
由题意知，直线的斜率存在且不为零，设其方程为，
由，得，
由，得，
设，则，
所以，
因为，所以，得，
所以，
设直线的斜率为，
因为，
所以，化简得，
所以，
所以，解得或，
所以直线OP的斜率的取值范围为
1、单选题
1．（2022·江西省定南中学高二阶段练习（理））已知椭圆C：的左､右焦点分别是､，过的直线l与C交于A，B两点，设O为坐标原点，若，则四边形面积的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知得若，故四边形AOBE是平行四边形，其面积是△OAB面积的两倍，下面先求△OAB的面积的最大值.由椭圆的方程的椭圆的右焦点坐标为(1,0)，设直线AB的方程为,代入椭圆方程中并整理得：
,
，
令,,当,即k=0,也就是直线AB与x轴垂直时面积取得最大值为，∴四边形AOBE的面积最大值为.
故选：B.
2．（2022·北京·人大附中高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若C上存在一点P，使得，且内切圆的半径大于，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，内切圆的半径为r．
因为，所以，
则．
由等面积法可得，
整理得，又
故．又，所以
则，从而．
故选：C
3．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）如图，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点，是线段上靠近的三等分点，为正三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D由椭圆的定义知，，则，
因为为正三角形，所以，．
在中，由余弦定理得，
则，，
故选：D．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交点为P，若为等腰三角形，则直线的斜率为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为点在第一象限，所以，
因为，所以，
当时，满足，
，
所以，
所以，
所以直线的斜率为，
当时，，不符合题意.
综上所以直线的斜率为.
故选：A
二、多选题
5．（2022·海南·嘉积中学高二阶段练习）设，为椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上.若为直角三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．符合条件的M点有4个B．M点的纵坐标可以是
C．的面积一定是D．的周长一定是
【答案】BD
【解析】椭圆的长半轴长，焦点，，为直角三角形，
以为直角顶点的直角有2个，以为直角顶点的直角有2个，
显然椭圆C的半焦距，短半轴长，，以线段为直径的圆与椭圆C有4个公共点，
以为直角顶点的直角有4个，因此，符合条件的M点有8个，A不正确；
以为直角顶点时，设，由消去得：，即M点的纵坐标为，B正确；由选项B知，以为直角顶点时，的面积，C不正确；
由椭圆定义知，的周长为，D正确.故选：BD
6．（2022·黑龙江·绥化市第九中学高二阶段练习）一般地，我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（ ）
A．若椭圆是黄金椭圆，则
B．在中，，，点在以，为焦点的黄金椭圆上，则的周长为
C．过黄金椭圆上的右焦点作垂直于长轴的垂线，交椭圆于、两点，则
D．设､是黄金椭圆的两个焦点，则椭圆上满足的点不存在
【答案】BCD
【解析】对于A，若焦点在轴上,则,解得.
若焦点在轴上,则,解得，故A错误；
对于B，易知,所以,所以,故B正确；
对于C，将代人椭圆方程得,则,
因为,所以，故C正确；
对于D，设,,则,
与联立,此方程组无实数解.因此椭圆上满足的点不存在,
故D正确.
故选：BCD.
7．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，现给出下述结论，其中所有正确结论的是（ ）
A．
B．的周长的取值范围是（6，12）
C．当时，的面积为
D．当时，为直角三角形．
【答案】ABD
【解析】：由椭圆得，
设椭圆的左焦点为，则，
∴为定值，故A正确；
的周长为，因为为定值6，
∴的范围是，
∴的周长的范围是，故B正确；
当时，将与椭圆方程联立，解得，，
则，所以的面积为，故C不正确；
当时，将与椭圆方程联立，解得，，
又因为，所以，所以为直角三角形，故D正确．
故选：ABD.
8．（2022·河北省唐县第一中学高二开学考试）已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中.直线与椭圆交于A，B两点.则下列说法中正确的有（ ）
A． 的周长为B．当时，若的中点为M，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是D．若，则椭圆的离心率
【答案】CD
【解析】对于A,当k=0时,直线l:y=k(x+c)与椭圆的两交点A,B与F2在一直线上，不能构成三角形.故A错误；
对于B,设A(x1,y1),B(x2,y2),,可得由作差得: ，则有.故B错误；
对于C, ,则有,可得：.故C正确；
对于D,由,即，解得：（舍去）,所以.故D正确.
故选:CD
三、解答题
9．（2022·北京市第十二中学高二期中）已知椭圆的左右顶点的坐标分别为且椭圆E的离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作直线l交椭圆E于P，Q两点，且点P位于x轴上方，记直线的斜率分别为．
①证明：；
②设点Q关于x轴的对称点为，求证直线过x轴上一个定点，并求面积的最大值．
【答案】(1);(2)①证明见解析；②.
【解析】(1)由题意知，，又，所以，所以，
所以椭圆方程为；
(2)① 设直线的方程为，
则，
又，消得，
得
因此，故.
②坐标为，则直线方程为，
令解得:
，
即直线恒过点，
故
，当，即时，等号成立，
此时面积最大值为．
10．（2022·湖北恩施·高二期中）已知椭圆过点B（0，1），A为其左顶点，且直线AB的斜率为.
(1)求E的方程；
(2)不经过B点的直线l与E相交于C，D两点，若两直线BC，BD的斜率之和为，求直线l所过的定点.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由题意，直线AB为，即，故当时，
所以，椭圆过，则，
所以椭圆E为.
(2)设直线BC与直线BD的斜率分别为，.
若直线l与x轴垂直，设直线，且，
可得C，D分别为，，
则，得，不符合题设.
从而可设直线.
将代入得：.
由题意.
设，，则，.
而.
所以，即，解得或（舍去）.
当且仅当时，于是直线，即，
所以直线l过定点.
11．（2022·首都师范大学附属中学高二期中）已知椭圆的短轴长等于，离心率．(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过右焦点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A，B两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，判断是否为定值．若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)(2)是定值，.
【解析】：由椭圆C：的短轴长等于，离心率．
可得，解得，
所以椭圆的方程为.
(2)：由椭圆的方程，可得右焦点，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设
所以，
所以
，
所以，，
设弦中点为，
所以，则，即，
当时，，.所以.
当时，线段的垂直平分线方程为，
令，得，即，
所以，
所以（定值）.
所以，是定值，为.
12．（2022·湖北省罗田县第一中学高二阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，，过点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，的面积为，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于，两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
设椭圆的焦距为2c，，
代入椭圆方程可得 ，解得，
所以，
所以，解得，
又，所以，又，所以，
所以椭圆的标准方程为
(2)当m=0时，则，由椭圆的对称性得,
所以，
所以当m=0时，存在实数，使得；
当时，由，得，
因为A、B、P三点共线，所以，解得，
所以，设，由，得，
由题意得，则，
且，
由，可得，
所以，解得，又，整理得，显然不满足上式，所以，
因为，所以，即，
解得或，综上，的取值范围为