2022年湖南省常德市中考数学模拟试卷(word版含答案)

2022年湖南省常德市中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列汉字或字母中既是中心对称图形又是轴对称图形(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若气象部门预报明天下雨的概率是，下列说法正确的是(    )

A. 明天一定会下雨 B. 明天一定不会下雨
C. 明天下雨的可能性较大 D. 明天下雨的可能性较小

4. 已知一元二次方程，则此方程的根的情况为(    )

A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根

5. 同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 已知二次函数的图象经过点、、、四点，则与的大小关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

8. 如图，四边形中，是由绕顶点旋转所得，顶点恰好转到上一点的位置，则(    )

A.     B.    C.    D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 分解因式： ______ ．
10. 某汽车制造商对新投入市场的两款汽车进行了调查，这两款汽车的各项得分如下表所示：

得分说明：分极佳，分良好，分尚可接受

技术员认为安全性能、省油效能、外观吸引力、内部配备这四项的占比分别为，，，，并由此计算得到型汽车的综合得分为，型汽车的综合得分为_________；

请你写出一种各项的占比方式，使得型汽车的综合得分高于型汽车的综合得分．说明：每一项的占比大于，各项占比的和为

         答：安全性能：______，省油效能：______，外观吸引力：______，内部配备：______．

11. 若是整数，则满足条件的自然数的值可以是______写出一个即可．
12. 分式方程的解是______．
13. 一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“我”的对面上所写的字是______ ．

14. 在平行四边形中，如果，那么 ______ ．
15. 若，则            ．
16. 如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第个图形是______ ．
     

三、计算题（本大题共1小题，共5分）

17. 计算：．

四、解答题（本大题共9小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    如图，等腰梯形中，，，，，直线过、两点，反比例函数图象的一支过点．
    
    求一次函数与反比例函数的解析式；
    直接写出当取何值时反比例函数值为正数且大于一次函数的值．
19. 本小题分
    解不等式组：．
20. 本小题分
    计算：
    
    
    
    ．
21. 本小题分
    甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做个，甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等．
    甲、乙二人每小时各做零件多少个？
    甲做几小时与乙做小时所做机械零件数相等？
22. 本小题分
    下列表格是刘小明一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题：注：每次考试满分都是分

刘小明次成绩的众数与中位数之差是______；
计算刘小明平时成绩的平均分；
计算刘小明平时成绩的方差；
按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如扇形图所示，请你求出刘小明本学期的综合成绩，要写出解题过程．

注：可能用到的公式．

23. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，过点的双曲线与矩形的边交于点．
    填空：______，______，点的坐标______；
    当时，经过点与点的直线交轴于点，点是过点，两点的抛物线的顶点．
    求点的坐标纵坐标用表示
    当点在双曲线上时，求直线的表达式．
    当抛物线与矩形有且只有三个公共点，求的值．
    当点和点随着的变化同时向上运动时，请直接写出的取值范围．

24. 本小题分
    如图，在菱形中，与交于点，是上一点，，，过点作的垂线，交的延长线于点．
    和是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；
    找出图中与相似的三角形，并证明；
    的延长线交的延长线于点，交于点求证：．

25. 本小题分
    今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到港口正西方的处时，发现在的北偏东方向，相距海里处的点有一可疑船只正沿方向行驶，点在港口的北偏东方向上，海监船向港口发出指令，执法船立即从港口沿方向驶出，在处成功拦截可疑船只，此时点与点的距离为海里．
    求点到直线的距离；
    执法船从到航行了多少海里？结果保留根号

26. 本小题分
    在圆中，是圆的直径，，点是圆上一点与点、不重合，点是弦的中点．
    如图，如果交于点，求：的值；
    如图，如果于点，求的值；
    如图，如果：：，点为弦上一动点，过点作，交半径于点，与射线交于圆内点探究一：如果设，，求关于的函数解析式及其定义域；探究二：如果以点为圆心，为半径的圆经过点，直接写出此时的长度；请你完成上述两个探究．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，正确；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据有理数的减法法则，算术平方根的定义，负整数指数幂的定义以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
本题主要了同底数幂的乘法，负整数指数幂，算术平方根以及有理数的减法，熟记相关定义和运算法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称形．故错误；
是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
不是轴对图形，是中心对称图形．故错误．
故选C．
根轴对称图形与中心对称形概念解．
本题考查了中心对称图形与轴对称形的概念：轴对称形的关键是寻找对称轴，使两部分沿对称轴折叠可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后重合．
 

3.【答案】 

【解析】分析
根据概率的意义找到正确选项即可．
此题主要考查了概率的意义，关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生．
详解
解：气象部门预报明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较大．所以只有合题意．
故选C．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
方程有两个不相等的两个实数根．
故选：．
先计算出判别式的值，然后利用判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，写出所有的可能性．
根据题意，通过列树状图的方法可以写出所有可能性，从而可以得到至少有两枚硬币正面向上的概率．
【解答】
解：由题意可得，所有的可能性为：

共有种等可能情况，其中至少有两枚硬币正面向上的有种，
至少有两枚硬币正面向上的概率是：，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选B．
根据合并同类项的法则、单项式乘以单项式的法则、以及整式的混合运算法则计算即可．
本题主要考查合并同类项的法则以及整式的运算法则，牢记法则是关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线过、两点，
抛物线的对称轴为，
，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
比较可知点离对称轴远，对应的纵坐标值小，
即．
故选：．
根据、两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，、两点与对称轴的远近，判断与的大小关系．
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质的运用．旋转前后对应边相等，对应点与旋转中心的连线相等，且夹角为旋转角．由旋转的性质可知，，，在中，由内角和定理求，根据外角定理可求．
【解答】

解：在中，，，
为等腰三角形，
，
为的外角，
，而与为对应角，
，
，
故选C．

9.【答案】 

【解析】解：
．
故答案为：．
直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式．
此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

10.【答案】

；；；答案不唯一

【解析】

【分析】

本题考查了加权平均数，理解加权平均数的意义是解题的关键根据加权平均数的意义计算每种型号的综合得分即可．

【解答】

解：；

故答案为；

当安全性能、省油效能、外观吸引力、内部配备这四项的占比分别为，，，．

型汽车的综合得分：；

型汽车的综合得分：．

故答案为；；；答案不唯一．

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
，
是整数，
当时，．
故答案为：．
先确定的取值范围，再根据代数式是整式写一个满足题意的即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
故答案为．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

13.【答案】丽 

【解析】解：由展开图可知“丽”所在的面与“我”所在的面不存在公共点，
“丽”所在的面是“我”字所在面是对面．
故答案为：丽．
根据正方体展开中相对的两个面不存在公共点回答即可．
本题主要考查的是正方体相对两个面上的文字，明确正方体展开中相对的两个面不存在公共点是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：
四边形是平行四边形，
，
又，
．
故答案为：．
根据平行四边形的一组邻角互补解答即可．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握边：平行四边形的对边相等．角：平行四边形的对角相等，邻角互补．对角线：平行四边形的对角线互相平分．
 

15.【答案】 

【解析】试题分析：根据绝对值的性质，及有理数的除法法则求解．
，
．
故答案为．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图形看出去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，一个三角形，两个圆个图形为一组，不断循环出现，

所以第个图形与循环的第二个图形相同，是正方形．
故答案为：．
去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，一个三角形，两个圆个图形为一组，依次不断循环出现，由此用算出余数，余数是几，就与循环的第几个图形相同，由此解决问题．
此题考查图形的变化规律，找出图形的循环规律，利用规律解决问题．
 

17.【答案】解：原式． 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：过作轴，与轴交于点，

，，
，，
等腰梯形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，，
，，
将与坐标代入，得，
解得：，
一次函数解析式为；
将坐标代入反比例解析式得：，
反比例解析式为；
根据函数图象得：当时，反比例函数值为正数且大于一次函数的值． 

【解析】过作垂直于轴，由等腰梯形，得到三角形与三角形全等，得到，再由矩形确定出，进而求出的长，得到的坐标，根据与长求出坐标，将与坐标代入一次函数解析式求出与的值，确定出一次函数解析式，将坐标代入反比例解析式求出的值，确定出反比例解析式；
由横坐标，利用图象即可确定出满足题意的范围．
 

19.【答案】解：由，得：，
由，得：，
不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：原式

．
原式
．
原式


．
原式


． 

【解析】结合二次根式的乘除法及分式的混合运算的运算法则进行求解即可．
本题考查了二次根式的乘除法及分式的混合运算等知识，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．
 

21.【答案】解：设甲每小时做个零件，则乙每小时做个零件，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲每小时做个零件，乙每小时做个零件．
小时．
答：甲做小时与乙做小时所做机械零件数相等． 

【解析】设甲每小时做个零件，则乙每小时做个零件，根据工作时间工作总量工作效率结合甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
根据甲所需的时间乙每小时加工零件的个数甲每小时加工零件的个数，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
次成绩的众数为分；
把这些数从小到大排列为：，，，，，，
则次成绩的中位数为分，
所以刘小明次成绩的众数与中位数之差是；
故答案为：；

刘小明平时成绩的平均分是分；

刘小明平时成绩的方差是：

分；
则小明平时成绩的方差为；

根据题意得：
分．
答：小明本学期的综合成绩是分．
根据众数和中位数的定义先求出这组数据的众数和中位数，再两者相减即可得出答案；
根据平均数的计算公式进行计算即可得出答案；
根据方差公式进行计算即可得到结果；
用小明平时次考试的平均成绩，以及期中与期末考试成绩，各自乘权重，计算即可得到综合成绩．
此题考查了方差，加权平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．
 

23.【答案】  ，  ，  ；
抛物线解析式为，
顶点
顶点在双曲线上，．
解得．
，
设直线解析式为，则
，解得，
所以直线解析式为．
当抛物线过点时，该抛物线与矩形有且只有三个公共点，
则，解得．
当顶点在线段上时，该抛物线与矩形有且只有三个公共点，
则，解得．
综上所述，或．
点的坐标为，．
当时，随的增大而增大，
此时随着的增大，点在直线上向上运动．
设直线的解析式为，
则，
解得．
所以直线解析式为．
又点坐标为，
．
当时，随的增大而增大．
此时，随着的增大，点在轴上向上运动，
所以． 

【解析】

解：，
，
点在双曲线上，
，
，
点的纵坐标为，
代入求得，，
，
故答案为：，，．
见答案．

【分析】根据矩形的性质和点的坐标即可求得，根据待定系数法即可求得，把点的纵坐标代入即可求得点的坐标；
先求出用表示的抛物线的解析式，根据顶点坐标特征即可求顶点坐标；根据即可求值，则、坐标可求，用待定系数法求直线的解析式；分两种情况求解值：当抛物线过点时和顶点在线段上时；根据点坐标得到当时，随的增大而增大，此时随着的增大，点在直线上向上运动．再求出用表示的直线解析式，则根据点坐标，得到与的函数关系式，根据函数式的特征及增减性即可求解的取值范围．
本题主要考查反比例函数、一次函数、二次函数图象上点坐标特征，以及二次函数图象的性质，以及用待定系数法求解函数解析式，综合性较强．  

24.【答案】证明：，
理由：，
，，
，
．
∽，
理由：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
过点作的垂线，交的延长线于点，，
，
∽．
如图，连接，
四边形是菱形，
由对称性可知，，，
，
，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】先判断出，，即可得出结论；
先判断出，，进而得出，即可得出结论；
先判断出，，进而得出，判断出∽，即可得出结论，
此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，对称性，相似三角形的判定和性质，判断出相似三角形∽和∽是解本题的关键．也考查了平行线的性质，等边对等角和等量代换．
 

25.【答案】解：过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
海里．
答：点到直线的距离是海里；
海里，海里，
海里，
，
在中，，
，
海里．
答：执法船从到航行了海里． 

【解析】过点作交的延长线于点，根据三角函数可求的长；
根据勾股定理可求，在中，根据三角函数可求，进一步得到的长．
此题主要考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
 

26.【答案】解：过点作交于点，如图

，，
点是弦的中点
，
：：；
联结，如图

点是弦的中点，经过圆心
，，
，
又
∽；
，
：：
，
在直角中，
；

探究一：如图，过点作交于点，取中点，连接

，
，
，
，：：，
，，
，
，
设，则，
，，，
，
，
；
关于的函数解析式是
定义域是，
探究二：以为圆心，为半径的圆经过，
，
，
垂直平分，，
，
，
解得：，
． 

【解析】如图，过点作交于点，根据三角形的中位线的性质得到，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；
如图，连接，根据垂径定理得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，设，则，，解直角三角形即可得到结论；
探究一：如图，过点作交于点，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到，设，则，，，，根据平行线成线段成比例定理得到其中；
探究二：根据题意得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，列方程即可得到结论．
本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．