2022年湖南省衡阳市中考数学模拟试卷(word版含答案)

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2022年湖南省衡阳市中考数学模拟试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若与互为相反数，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列四个几何体的俯视图中与其他三个俯视图不同的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 不等式组的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列命题中的真命题是(    )

A. 的算术平方根是 B. 同位角相等
C. 是无理数 D. 的立方根是

6. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是(    )

A.  B.
C.  D. 以上都不对

7. 中国“神威太湖之光”计算机系统首次亮相，一举夺冠，成为世界上最快的计算机，一分钟的计算能力相当于全球亿人同时用计算器不间断计算年．亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 一个不透明的盒子中装有个白球和个黑球，它们除了颜色外都相同．从中任意摸出一球，则下列叙述正确的是(    )

A. 摸到白球是必然事件 B. 摸到黑球是必然事件
C. 摸到白球是随机事件 D. 摸到黑球是不可能事件

10. 要使有意义，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 五箱南丰贡桔的质量单位：分别为：，，，，，则这五箱贡桔质量的中位数和众数分别为(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

12. 在平面直角坐标系中四边形是边长为的正方形，平行于对角线的直线从出发，沿轴正方向以每秒一个单位长度的速度运动，运动到直线与正方形没有交点为止，设直线扫过正方形的面积为，直线的运动时间为秒，下列能反映与之间的函数图象的是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 计算的结果为______ ；的结果是______ ；在实数范围内因式分解的结果是______ ．
14. 已知，其中、是常数，则______．
15. 如图，中，是的中垂线，，的周长为，则的周长是______．

16. 如图，正五边形的边长为，分别以点、为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则的长为______ ．

17. 如图，某地修建高速公路，要从地向地修一条隧道点、在同一水平面上为了测量、两地之间的距离，一架直升飞机从地出发，垂直上升米到达处，在处观察地的俯角为，则、两地之间的距离为______米．
18. 若可以用完全平方式来分解因式，则的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 计算
     
20. 在菱形中，，点是对角线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点．
    依题意补全图形；
    求证：；
    用等式表示线段，，之间的数量关系：______．
     

21. 为了节约资源，保护环境，从月日起全国限用超薄塑料袋．古城中学课外实践小组的同学利用业余时间对本城区居民家庭使用超薄塑料袋的情况进行了抽样调查．统计情况如图所示，其中为“不再使用”，为“明显减少了使用量”，为“没有明显变化”
    本次抽样的样本容量是______ ；
    图中 ______ 户， ______ 户；
    若被调查的家庭占全城区家庭数的，请估计该城区不再使用超薄塑料袋的家庭数量；
    针对本次调查结果，请用一句话发表你的感想．

22. 临近年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元．
    求甲、乙两种消毒液的单价；
    为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中每瓶均装满，若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量．
23. 在正方形中，点为射线上的一个动点与点不重合的垂直平分线交线段于点，交于点，连接、猜想：与的数量关系；当点运动时，与的数量关系是否发生改变？请你按如图点在上和如图点在延长线上两种情况进行探究．
    
    完成图形，写出你的猜想；
    选择其中的一种情况给出证明．
24. 如图，边长为的正方形，点是边上的一动点不与点，点重合，将绕点顺时针旋转至，过点作交延长线于点．
    求证：；
    如图，连接，交于点，求证：．
    当点从点运动到点时，直接写出的中点的运动路径长是______．
     

25. 如图，在平面直角坐标系中，，轴于点，点在反比例函数的图象上．
    
    求反比例函数的表达式；
    在轴的负半轴上存在一点，使得，求点的坐标；
    若将直线绕点按逆时针方向旋转后使得旋转后的直线与双曲线在第三象限的分支只有一个公共点．直接写出值．
26. 如图，已知二次函数的图象经过点点和点，连接，线段上有一动点，过点作的平行线交直线于点，交抛物线于点．
    求二次函数的解析式；
    移动点，求线段的最大值；
    如图，过点作轴的平行线交于点，连接，若以点、、为顶点的三角形和是相似三角形，求此时点坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是绝对值，相反数，熟知的绝对值是是解答此题的关键．先求出的值，进而可得出结论．
【解答】
解：因为与互为相反数，
所以，
所以．
故选A．  

2.【答案】 

【解析】解：、选项A的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
B.选项B的俯视图是第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，
C.选项C的的俯视图是第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，
D、选项D的俯视图是第一列两个小正方形，第二列两个小正方形．
故选：．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、的算数平方根是，故原命题为假命题，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等，故原命题为假命题，不符合题意；
C、是无理数，为真命题，符合题意；
D、的立方根是，故原命题为假命题，不符合题意；
故选：．
根据算术平方根的定义、无理数的定义、立方根的定义、平行线的性质等知识逐项判定即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握算术平方根的定义、无理数的定义、立方根的定义、平行线的性质等知识是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．点是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解．
【解答】
解：由题意知，点是的黄金分割点，且，，则，
，
，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：亿，
用科学记数法可表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

8.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

9.【答案】 

【解析】分析
根据必然事件，不可能事件及随机事件的判断方法，逐项判断即可．
此题主要考查了必然事件，不可能事件及随机事件的判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
详解
解：摸到白球是随机事件，不是必然事件，选项A错误；
摸到黑球是随机事件，不是必然事件，选项B错误；
摸到白球是随机事件，选项C正确；
摸到黑球是随机事件，不是不可能事件，选项D错误．
 故选C．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
根据二次根式和分式有意义的条件即可得出答案．
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：从小到大排列此数据为：、、、、，数据出现了次最多，所以为众数；
因为处在个数的中间，所以这组数据的中位数是，众数是．
故选C．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，，即．
该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．
故B、D错误；
当时，．
该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．
故C错误．
故选：．
根据三角形的面积即可求出与的函数关系式，根据函数关系式选择图象．
本题考查了动点问题的函数图象．本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性．
 

13.【答案】     

【解析】解：；
；
，
故答案为：；；
根据算术平方根的概念计算；
根据二次根式的乘法法则计算；
根据二次根式的性质、平方差公式计算．
本题考查的是算术平方根、二次根式的乘法、实数范围内因式分解，掌握二次根式的性质、平方差公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：分式的最简公分母是，
方程两边同时乘以最简公分母，得
，
，，
，，
，
故答案为．
将分式方程转化为整式方程，再由等式的性质得到，，分别求出、即可．
本题考查分式加减法；熟练掌握分式加减法运算，同时能结合二元一次方程组求解与是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：是的中垂线，
，，
的周长为，
，
即，
，
即的周长为．
故答案为．
关键线段垂直平分线的性质得到，，再利用的周长为和等线段代换得到．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，，
则是等边三角形，
，
在正五边形中，，
，
的长，
故答案为：
连接，，得到是等边三角形，得到，根据正五边形的内角和得到，求得，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：在中，，，米，
，
米．
故答案为：．
在中，，，米，根据，即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

18.【答案】或 

【解析】

【分析】
利用完全平方公式的特征判断即可求出的值．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【解答】
解：可以用完全平方式来分解因式，
解得：或．
故答案为：或．  

19.【答案】解：原式；

原式；

原式；

原式． 

【解析】首先计算乘方，再合并同类项即可；
首先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后再计算加减即可；
利用多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把积相加进行计算；
首先用平方差进行计算，再利用完全平方公式进行计算即可．
此题主要考查了整式的乘法、零指数幂、负整数指数幂和绝对值，关键是掌握计算法则．
 

20.【答案】解：补全图形如图所示：

证明：连接，如图：

四边形是菱形，
，
，
，
．
是菱形的对角线，
，
又，
，
由菱形的对称性可知，
，
，则，
．
，
，
．
在与中，
≌．
．
． 

【解析】

【分析】
本题考查的是菱形的性质，根据题意证明三角形全等是解题的关键，解答时，要正确运用菱形的每一条对角线平分一组对角，灵活运用三角形全等的知识和等腰三角形的知识进行解答．
根据题意可以补全图形；
连接，根据已知条件和图形可以证明≌，得到答案；
根据≌，得到，，根据等腰三角形的性质和，求出和的关系，得到答案．
【解答】
解：见答案；
见答案
由得≌．
，，
，
在三角形中，，，
，
．
故答案为：．  

21.【答案】；
；；
户；

答案不唯一，如：“不再使用超薄塑料袋的家庭占绝大多数”、“环保意识增强的家庭是多数”、“少数家庭还应该增强环保意识”等等． 

【解析】

解：；

，
，；

见答案．
见答案．
【分析】
利用的数据可求算出样本容量；
根据扇形图中的角度和百分比可求算出所对应的，的值；
用样本估计总体的方法求算即可户；
根据图表中的数据给出合理的建议即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．  

22.【答案】解：设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，
依题意得：，
解得：，
答：甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元；
设需要的空瓶个，的空瓶个，
依题意得：，
，
，均为非负整数，
或或，
当，时，总损耗为；
当，时，总损耗为；
当，时，总损耗为；
，
分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个． 

【解析】设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，根据“购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元”，列出二元一次方程组，解之即可；
设分装的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶，根据需将的消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗，列出二元一次方程，结合，均为非负整数得出各分装方案，选择最小的方案即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

23.【答案】解完成图形如图所示，是线段的垂直平分线，
猜想：当点运动时，；
证明：如图中，过点作分别交，于，，
则，
点在线段的垂直平分线上，
，
四边形是正方形，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
． 

【解析】完成图形，写出你的猜想；
根据线段垂直平分线的性质得到，证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质定理是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】证明：四边形是正方形，
，，
，
由如旋转知，，，
，
，
≌，
，
，，
；

如图，过作于点，连接，，
，
是正方形的对角线，
，
，
，
由知，≌，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，是平行四边形的对角线，
；

如图，在中，，
，
当点和点重合时，点和点重合，此时，点是正方形的对角线的交点，
当点和点重合时，此时，点和点重合，
点从点运动到点时，的中点的运动路径是线段，
点是的中点，
，
故答案为：．
先利用同角的余角相等判断出，进而得出≌，即可得出结论；
先判断出四边形是平行四边形，进而判断出四边形是平行四边形即可得出结论；
先找出分界点，判断出点的运动轨迹，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出点的轨迹是线段是解本题的关键．
 

25.【答案】解：在反比例函数的图象上，
．
，轴于点，
，，
，，
，
，
，即，
，
，，
设点的坐标为，
，解得，
为轴的负半轴上的点，
，
点的坐标为
将线段绕点逆时针旋转得到线段，则的解析式为，
由，消去得到，
，
直线与反比例函数只有一个交点，此时，
观察图象可知当时，直线与反比例函数只有一个交点，
综上所述，满足条件的：或． 

【解析】把点的坐标代入反比例函数的解析式即可解决问题．
设点的坐标为，根据构建方程即可解决问题．
将线段绕点逆时针旋转得到线段，则的解析式为，证明直线与反比例函数只有一个交点，推出，再结合图象可得结论．
本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：把点点和点代入二次函数，
  得，，
解得，，
二次函数的解析式为：；
设的函数解析式为：，
把点和代入，
得，，
解得，，
的函数解析式为：，
过点作轴交于点，过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
设，则，，
，
，
要线段的最大，只要求的最大值．
设点坐标为，则点坐标为，
，
当时，，
；
与中，已有，分两种情况讨论：
∽，
点与点对应，，
，即与重合，
点坐标为；
∽，
点与点重合，
，
，
，
，
过点作交于点，过点作于点，
在中．，
，，
，
，
∽，
，
，，
点坐标为，
设的关系为：，
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
点坐标为，
综上，点坐标为或， 

【解析】用待定系数法易求二次函数的解析式为：；
先待定系数法求的函数解析式为：，过点作轴交于点，过点作于点，证明，再证∽，则，，，，要线段的最大，只要求的最大值．设点坐标为，则点坐标为，表示出，当时，，得；
与中，已有，分两种情况讨论：∽，易得与重合，点坐标为；
∽先求，过点作交于点，过点作于点，在中．，证明∽，得，从而求出点坐标为，
用待定系数法求直线的解析式为：，当时，，即得点坐标为．
本题考查了二次函数、一次函数待定系数法求关系式，三角形相似的判定与性质的综合运用，解题关键是化斜为直的解题策略，