2020-2021学年第二十二章 二次函数综合与测试第1课时导学案

第二十二章  二次函数

22.1.4  二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

学习目标：1.会用配方法或公式法将二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x－h)2+k(a≠0).

2.会熟练求出抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标、对称轴.

重点：能够熟练地求出二次函数一般式y=ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.

难点：会用配方法或公式法将一般式y=ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x－h)2+k(a≠0).

自主学习

一、知识链接

课堂探究

二、要点探究

探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k

问题 怎样将化成y=a(x－h)2+k的形式？

填一填

（1）x2-12x+36= (x____)2;  （2）x2-12x=(x____)2 −____.

想一想 

（1）请将化成y=a(x－h)2+k的形式，并说一说配方的方法及步骤；

（2）如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x－h)2+k？

练一练

将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标．

（1）y=x2-2x+1；                           （2）y=2x2-4x+6．

探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

合作探究

我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来研究的图象和性质？

问题1  你能说出的对称轴和顶点坐标吗？

问题2  抛物线可以看作是由怎样平移得到的？

问题3  如何用描点法画二次函数的图象？

问题4  结合二次函数的图象，说出其增减性.

要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即y=ax2+bx+c=______________;因此，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是：______________;

对称轴是：直线______________.

如果a>0，当x<_______时，y随x的增大而减小；当x>_______时，y随x的增大而增大.

如果a<0，当x<________时，y随x的增大而增大；当x>_______时，y随x的增大而减小.

典例精析

例1  画出函数的图象，并说明这个函数具有哪些性质.

练一练  已知二次函数y＝x2-6x+5．

（1）将y＝x2-6x+5化成y=a(x-h)2+k的形式；

（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；

（3）当x取何值时，y随x的增大而减小？

探究点3：二次函数图象与系数的关系

问题1  一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空.

k1    0，b1    0；k2    0，b2    0；k3    0，b3    0.

问题2  二次函数的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空.

a1    0，b1    0，c1    0；a2    0，b2    0，c2    0；

a3    0，b3    0，c3    0；a4    0，b4    0，c4    0.

例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；

②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是(　　)

A．1　　                                       　

B．2　　　　

C．3　　　

D．4

三、课堂小结

当堂检测

1.   已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x、y的部分对应值如下表：

则该二次函数图象的对称轴为(    )

A.y轴                 B.直线x=         C.直线x=2             D.直线x=   

2.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（                ）

A．b≥－1      B．b≤－1     C．b≥1          D．b≤1

3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：

(1) a、b同号；

(2) 当x=－1和x=3时，函数值相等；

(3) 4a+b=0；

(4) 当y=－2时，x的值只能取0；

其中正确的是       .

4.已知抛物线y=2x2-12x+13.

（1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？

（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的解析式.

5.已知二次函数y=x2-4x-1．

（1）将函数y=x2-4x-1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象顶点B的坐标；

（2）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y=x2-4x-1与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四边形OABC的面积．

参考答案

自主学习

知识链接

课堂探究

二、要点探究

探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k

填一填

(1)  -6    (2) -6   -36

想一想

（1）

配方的步骤如下：(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.

（2）y=ax²+bx+c=

练一练

解：(1)y=x2-2x+1=(x-1)2，顶点坐标为(1，0)；

(2)y=2x2-4x+6=2(x-1)2+4，顶点坐标为(1，4).

探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

问题1  答：对称轴是直线x=6，顶点坐标是（6，3）.

问题2 答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位长度得到的；

    平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位长度得到的.

问题3 列表如下：

然后描点画图，得到图象如图①所示.

        图①                   图②

问题4  当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大.

要点归纳：

典例精析

例1  解：函数y=-2x2-4x+1通过配方可得y=-2(x+1)2+3.列表如下：

然后描点、连线，得到图象如图②所示.

由图象可知，这个函数具有如下性质：当x＜-1时，函数值y随x的增大而增大；

当x＞-1时，函数值y随x的增大而减小；当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=3.

练一练 解：（1）y＝x2-6x+5＝(x-3)2-4；

（2）二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，-4）；

（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3，∴当x≤3时，y随x的增大而减小．

探究点3：二次函数字母系数与图象的关系

问题1  ＜   ＞   ＞   ＜    ＞    ＞

问题2  ＞   ＞   ＞    ＞    ＜    =     

＜   =   ＞    ＜    ＞    ＜

例2  D  【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则

(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．

当堂检测

1.D   2.D   3.（2） 

4.解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-2x+9)-5=2(x-3)2-5，

∴抛物线开口向上，顶点为(3，-5)，对称轴为直线x=3.

（1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5；

（2）当x＜3时，y随x的增大而减小；

（3）新抛物线的解析式为y=2(x-5)2-3．

5.   解：（1）y=x2-4x-1=(x-2)2-5，该函数图象顶点B的坐标为（2，-5）.

(2) 如图，令 x = 0，则 y = −1，

∴ OC = 1.

∵ B (2，−5)，

∴ OA = 2，AB = 5.