上海市杨浦区2022届高三数学二模试卷及答案

上海市杨浦区2022届高三数学二模试卷

一、填空题

1．已知，则=　     　.

2．函数的反函数为　             　.

3．若直线和互相垂直，则实数　     　.

4．若（虚数单位）是实系数一元二次方程的根，则　     　.

5．已知，，则行列式的值等于　     　.

6．已知，，则　             　.

7．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于　     　.  

8．已知实数x，y满足，则的最大值为　     　.

9．若展开式中各项系数的和等于，则展开式中的系数是　     　.

10．三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是　     　． (结果用分数表示)

11．已知抛物线，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为，点P关于直线的对称点为，且满足，则直线l的方程为　          　.

12．若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值-1，则的取值范围是　                       　.

二、单选题

13．设，则“且”是“且”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

14．数列{}为等差数列，且公差，若，，也是等差数列，则其公差为（　　）

A．1gd B．1g2d C．lg D．1g

15．椭圆C：的左、右顶点分别为，，点P在C上（P不与，重合）且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（　　）

A．[，] B．[，] C．[，1] D．[，1]

16．定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（　　）

A． B． C． D．

三、解答题

17．如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，取劣弧BC上一点E，使，连结PE.已知，.

（1）求该圆锥的体积；

（2）求异面直线PE、BD所成角的大小.

18．已知函数，其中.

（1）若不等式的解集是，求m的值；

（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围.

19．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN

（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；

（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？

20．已知椭圆C：，过定点T（t，0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中.

（1）若椭圆短轴长为2且经过点（－1，），求椭圆方程；

（2）对（1）中的椭圆，若，求△OPQ面积的最大值；

（3）在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t的关系；如果不存在，说明理由.

21．已知a为实数，数列{}满足：①；②.若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列{}为周期数列.

（1）当时，求的值；

（2）求证：存在正整数n，使得；

（3）设是数列{}的前n项和，是否存在实数a满足：①数列{}为周期数列；②存在正奇数k，使得.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由.

答案解析部分

1．【答案】

2．【答案】

3．【答案】6

4．【答案】1

5．【答案】

6．【答案】{x｜1＜x＜2}

7．【答案】38

8．【答案】7

9．【答案】15

10．【答案】

11．【答案】y=±(x-1)

12．【答案】

13．【答案】B

14．【答案】D

15．【答案】B

16．【答案】D

17．【答案】（1）解：由勾股定理可知：，

所以圆锥的体积为：；

（2）解：过做，所以是异面直线PE、BD所成的角（或其补角），

因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，

所以，即，而，所以，

因此，

在中，由正弦定理可知：

，

，

由余弦定理可知：，

所以，即异面直线PE、BD所成角的大小为.

18．【答案】（1）解：的解集是，得到的解集是，所以，

，所以，

（2）解：令，因为，所以，当时，，

即有，因为函数在区间上有且仅有一个零点，令，根据对勾函数的性质，可得，因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图象性质，得或，进而可得答案为：

19．【答案】（1）解：如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，

，

，

（2）解：设

则，

，

即时，

，此时A在弧MN的四等分点处

答：当A在弧MN的四等分点处时，

20．【答案】（1）解：由题意得，得，

所以椭圆方程为，

因为点（－1，）在椭圆上，所以，得，

所以椭圆方程为

（2）解：由题意设直线为，设，

由，得，

所以，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以△OPQ面积的最大值为

（3）解：由题意设直线为，设，

由，得，

所以，

因为∠PST=∠QST，

所以，

所以，

所以，

，

所以，

所以，

所以，

所以，得，

所以x轴上是存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立，此时

21．【答案】（1）解：当时，，

所以；

（2）证明：当时，，

所以，在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以为首项，-3为公差的递减的等差数列，

即，

所以，当足够大时，总可以找到，使，

当时，则存在，使得，

当时，则存在，使得，

综上所述存在正整数n，使得；

（3）解：当时，，

故此时数列是以2为周期的周期数列，

当时，则，

由（2）得，存在正整数n，使得，

因此此时不存在不存在，

所以此时数列数列不是周期数列，

所以时，数列是以2为周期的周期数列，

，

所以，

又因，

所以，

所以，

所以存在，使得.