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    人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.1 随机抽样导学案

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.1 随机抽样导学案,共12页。学案主要包含了情境与问题等内容,欢迎下载使用。

    9.1.1 简单随机抽样 

    1.正确理解随机抽样的概念,掌握抽签法、随机数表法的一般步骤;

    2.在解决统计问题的过程中,学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。

    3.通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出,体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系,认识数学的重要性。

    重点:理解随机抽样的必要性和重要性,用抽签法和随机数法抽取样本.

    难点: 抽签法和随机数法的实施步骤.

     自主预习

    1. 随机抽样到底在干什么事情?如何干?

    2.为什么要用样本来分析总体,而不直接分析总体?

    3.P55“阅读与思考为什么会预测错误原因是?

    4.简单随机抽样分几种?每一种方法的优缺点分别是什么?
    做一做:

    1.对于简单随机抽样,个体被抽到的机会                 (    )

    A. 相等        B. 不相等       C. 不确定         D. 与抽样次数有关

    2. 抽签中确保样本代表性的关键是                        (    )

    A. 制签        B. 搅拌均匀     C. 逐一抽取       D. 抽取不放回

    3. 用随机数法从100名学生(男生25)中抽20人进行某项活动,某男生被抽到的几率是 (    )                                

    A.         B.         C.        D.                                    

    4、假设要在我们班选派5个人去参加某项活动,为了体现选派的公平性,你有什么办法确定具体人选?请尝试写出具体操作方案。

    5要判断一锅汤的味道需要把整锅汤都喝完吗?

    多媒体

    一、情境与问题

        在现实生活中,我们经常会接触到各种统计数据,例如,人口总量、经济增长率、就业状况、物价指数、产品的合格率、商品的销售额、农作物的产量、人均水资源、居民人均年收入、电视台节目的收视率、学生的平均身高等.要正确阅读并理解这些数据,需要具备一些统计学的知识.

        统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学.面对一个统计问题,首先要根据实际需求,通过适当的方法获取数据,并选择适当的统计图表对数据进行整理和描述,在此基础上用各种统计方法对数据进行分析,从样本数据中提取需要的信息,推断总体的情况,进而解决相应的实际问题.

     

    名称

    定义

    总体

    所要     的全体叫作总体 

    样本

    从总体中抽取出的      组成的集合叫作总体的一个样本 

    个体

    总体中的每一个考察对象叫作个体

    样本容量

    样本中个体的    叫作样本容量 

     

    考察对象;统计的相关概念;若干个个体;数目

    [讨论] 样本与样本容量有什么区别?

    :样本与样本容量是两个不同的概念.样本是从总体中抽取的个体组成的集合,是对象;样本容量是样本中个体的数目,是一个数.

        人口普查需要花费巨大的财力、物力,因而不宜经常进行,为了及时掌握全国人口变动状况,我国每年还会进行一次人口变动情况的调查.这种调查是抽取一部分居民进行调查,根据抽取的居民情况来推断总体的人口变动情况.

        像这样,根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查.我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本量.调查样本获得的变量值称为样本的观测数据,简称样本数据.

     

        抽样调查的目的是为了了解总体的情况.例如,抽样调查一批待售袋装牛奶的细菌数是否超标,其目的是要了解整批牛奶的细菌含量超标情况,而不只是局限在抽查到的那几袋牛奶的情况.因此,通过抽样调查了解总体的情况,自然希望抽取的样本数据能很好地反映总体的情况,即样本含有和总体基本相同的信息.

        假设口袋中有红色和白色共1000个小球,除颜色外,小球的大小、质地完全相同,你能通过抽样调查的方法估计带中红球所占的比例吗?

    这里袋中所有小球是调查的总体,每一个小球是个体,小球的颜色是所关心的变量.我们可以从袋中随机地摸出一个球,记录颜色后放回,摇匀后再摸出一个球,如此重复n.根据初中的概率知识可知,随着摸球次数的增加,摸到红球的频率会逐渐稳定于摸到红球的概率,即口袋中红球所占的比例,因此,我们可以通过放回摸球,用频率估计出红球的比例.

    在有放回地摸球中,同一个小球有可能被摸中多次,极端情况是每次摸到同一个小球,而被重复摸中的小球只能提供同一个小球的颜色信息,如果我们采用不放回摸球,即从袋中摸出一个球后不再放回袋中,每次摸球都在余下的球中随机摸取,这样就可以避免同一个小球被重复摸中.特别地,当样本量n=1000时,不放回摸球已经把袋中的所有球取出,这就完全了解了袋中红球的比例,而有放回摸球一般还不能对袋中红球的比例作出准确的判断.

    1.概念:

    一般地,设一个总体含有N个个体,从中      地抽取n个个体作为样本(nN),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会    ,就把这种抽样方法叫作简单随机抽样,这样抽取的样本,作简单随机样本.简单随机抽样逐个不放回;都相等

    2.最常用的简单随机抽样方法有两种:    、

    抽签法随机数法

    3.简单随机抽样的特点

    特点

    说明

    (1)个体数有限

    简单随机抽样要求被抽取的样本

    的总体中含有个体的个数N     

    (2)样本中个体数与总体中个体数关系

    简单随机样本含个体数n

          总体中的个体数N 

    (3)逐个抽取

    简单随机样本是从总体

         

    (4)不放回抽样

    简单随机抽样是一

       的抽样 

    (5)等可能抽样

    简单随机抽样中的每个个体

    进入样本的可能性均为    

    有限的;小于或等于;逐个抽取;不放回;

    问题1 一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅,他们事先想了解全体高一年级学生的平均身高,以便设定可调节课桌椅的标准高度.已知树人中学高一年级有712名学生,如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高,应该怎么抽取样本?

        在这个问题中,树人中学全部高一年级的学生构成调查的总体,每一位学生是个体,学生的身高是调查的变量.探究栏目中估计红球的比例类似,我们可以对高一年级进行简单随机抽样,用抽出的样本的平均身高估计高一年级学生的平均身高.实现简单随机抽样的方法有很多,抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.

    下面分别介绍这两种方法.

    1.抽签法:

        先给712名学生编号,例如按1712进行编号,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球) 上作为号签,并将这些小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的学生进入样本,直到抽足样本所需要的人数.

    为什么要给学生编号?编号用学号可以吗?

    (1)抽签法的定义:

     一般地,抽签法就是把总体中的N个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中搅拌均匀,每次不放回地从中抽取一个号签,连续抽取n,就得到一个容量为n的样本.

        抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体较大时,操作起来比较麻烦,费时、费力,又不方便.因此,抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形.

    你认为抽签法有什么优点和缺点?当总体中的个体数很多时,用抽签法方便吗?

     (2)抽签法的优缺点:

     

    2.随机数法

         先给712名学生编号,例如按1712进行编号.用随机数工具产生1712范围内的整数随机数,把产生随机数作为抽中编号,使与编号对应学生进入样本.重复上述过程,直到抽足所需要人数.

    比较随机数法与抽签法,它们各有什么优点和缺点?

    (2)随机数法的步骤:

    将总体的个体编号;

    在产生的随机数选择数字;

    读数获取样本号码.

    (1)随机数法的概念:

      利用随机数工具产生的随机数进行抽样方法,叫做随机数法.

    如果生成的随机数有重复,即同与编号被多次抽到,可以剔除重复的编号并重新产生随机数,直到产生的

    不同编号个数等于样本所需要的人数.

    一般说来,在计算器或计算机软件没有特殊设定的情况下,它们生成的随机数,都是可重复的.为了确认你使用的计算器或计算机软件的情况,可以查阅它的说明书,也可以通过测试它能否生成3个整数随机数12来进行判断.

    (1)用随机试验生成随机数

    (2)用信息技术生成随机数

    准备10个大小、质地一样的小球,小球上分别写上数字01,2,…,9,把它们放入一个不透明的袋中,从袋中有放回摸取3次,每次摸取前充分搅拌,并把第一、二、三次摸到的数字分别作为百、十、个位数,这样就生成了一个三位随机数.如果这个三位数在1712范围内,就代表对应编号的学生被抽中,否则舍弃编号. 这样产生的随机数可能会有重复.

    进入计算器的计算模式(不同的计算器型号可能会有不同),调出生成随机数的函数并设置参数,例如RandInt# (1, 712), 按“=”键即可生成1~712范围内的整数随机数.重复按“=”键,可以生成多个随机数.这样产生的随机数可能会有重复.

    用计算器生成随机数

    在电子表格软件的任一单元格中,输入“=RANDBETWEEN (1,712)”,即可生成一个1712范围内的整数随机数.再利用电子表格软件的自动填充功能,可以快速生成大量的随机数(如下图1).这样产生的随机数可能会有重复.

    用电子表格软件生成随机数

    R软件的控制台中,输入“sample (1: 71250replace=F) ”,按回车键,就可以得到501712范围内的不重复的整数随机数(如下图).

    R统计软件生成随机数

    R软件是免费的统计软件,该软件具有比较强大数据处理、绘图和分析等统计功能,在统计学研究和学习中被广泛使用. 

     

    抽签法

    随机数表法

    步骤

    将总体中的个体编号为1~N;

    将所有编号1~N写在形状、大小相同的号签上;

    将号签放在一个不透明的容器中,搅拌均匀;

    从容器中每次抽取一个号签,并记录其编号,连续抽取n;

    从总体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出

    将总体中的个体   ; 

    在随机数表中     数作为开始; 

    规定一个方向作为从选定的数读取数字的    ; 

    开始读数字,若不在编号中,    ,若在编号中,    ,依次取下去,直到取满为止(相同的号只计一次) 

    根据选定的号码抽取样本

    要点

    编号、制签、搅匀、抽取、确定样本

    编号、选起始数、读数、获取样本

    编号;任选一个;方向;跳过;取出

        随着信息技术发展,人们更多利用计算器、数学软件、统计软件等来生成随机数.尤其是统计软件,可以非常方便地按要求生成各种随机数.用信息技术工具产生随机数最大的优点是方便、快捷.

        我们知道,在重复试验中,试验次数越多,频率接近概率的可能性越大.与此类似,用简单随机抽样的方法抽取学生,样本量越大,样本中不同身高的比例接近总体中相应身高的比例的可能性也越大,样本的平均身高接近总体的平均身高的可能性也越大.即对于样本的代表性,一般说来,样本量大的会好于样本量小的.尤其是样本量不大时,增加样本量可以较好地提高估计的效果.但是,在实际抽样中,样本量的增大会导致调查的人力、费用、时间等成本的增加.因此,抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要,并不一定是越大越好.

    用简单随机抽样方法抽取样本,样本量是否越大越好?

    在简单随机抽样调查中,当样本量和总体一样大时,就是全面调查了.

    1.对于简单随机抽样,每个个体被抽到的机会( )

    A.相等         B.不相等      C.不确定         D.与抽取的次数有关

    2.为了了解某地区高三学生升学考试中数学成绩的情况,抽取了50本密封试卷,每本有30份试卷,则样本容量是(  )

    A.30           B.50        C.1500         D.150

    3.抽签法中确保样本具有代表性的关键是 ( )

    A.制签       B.搅拌均匀       C.逐一抽取     D.抽取不放回

    4.下列5个抽样中,简单随机抽样的个数是(  )

    从无数个个体中抽取50个个体作为样本;

    仓库中有1万支奥运火炬,从中一次性抽取100支火炬进行质量检查;

    某连队从200名党员官兵中,挑选出50名最优秀的官兵赶赴青海参加抗震救灾工作;

    一彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签;

    箱子里共有100个零件,从中选出10个零件进行质量检验,在抽样操作中,从中任意取出1个零件进行质量检验后,再把它放回箱子里.

    A.0      B.1       C.2           D.3

    5.用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中,抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a第一次被抽到的可能性,“第二次被抽到的可能性分别是(  )

    A.,         B.,C.,              D.,

    6. 2022年第24届冬季奥林匹克运动会将在北京市和张家口市联合举行,这是中国历史上第一次举办冬季奥运会.组委会计划从某高校报名的20名志愿者中选取5人组成奥运志愿小组,请用抽签法设计抽样方案.

    7.有一批机器编号为1,2,3,…,112,请用随机数表法抽取10台入样,写出抽样过程(见课本本章随机数表).

    知识

    方法

    易错

    1.简单随机抽样的概念与特点;

    2.抽签法的概念与特点;

    3.随机数法的概念与特点

    1.抽签法的使用;

    2.随机数法的使用

    在设计方案时,没有按照抽签法或随机数法的一般步骤进行方案设计,不符合简单随机抽样的特点,造成抽样方法的不公平性

     

    参考答案:

    知识梳理

    学习过程

     

    达标检测

    1. A[解析] (1)由简单随机抽样的概念可知,每个个体被抽到的机会相等,与抽取的次数无关.

    2.C[解析] 样本容量为50×30=1500.

    3. B[解析] (3)搅拌均匀是为了使每个个体进入样本的可能性相等,可以保证样本真实,反映总体特征.

    4.B[解析] 根据简单随机抽样的特点逐个判断.

    不是简单随机抽样,因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.

    不是简单随机抽样,虽然一次性抽取逐个抽取不影响个体被抽到的可能性,但简单随机抽样要求的是逐个抽取”.

    不是简单随机抽样,因为50名官兵是从中挑出来的,是最优秀的,每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机抽样中等可能抽样的要求.

    是简单随机抽样,因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能的抽样.

    不是简单随机抽样,因为它是有放回的抽样.综上,只有是简单随机抽样.

    5.A[解析] 在抽样过程中,个体a每一次被抽到的概率是相等的,都为.

    6. :(1)20名志愿者编号,号码分别是01,02,…,20;

    (2)将号码分别写在20张大小、形状都相同的纸条上,揉成团,制成号签;

    (3)将所得号签放在一个不透明的袋子中,并搅拌均匀;

    (4)从袋子中依次不放回地抽取5个号签,并记录下上面的号码;

    (5)所得号码对应的志愿者就是奥运志愿小组的成员.

    7.:第一步,将原来的编号调整为001,002,…,112.

    第二步,在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作为读数方向.比如,选第9行第7个数“3”向右读(见课本本章随机数表).

    第三步,“3”开始向右读,每次取三位,凡不在001~112中的数跳过去不读,前面已经读过的数不读,依次可得到074,100,094,052,080,003,105,107,083,092.

    第四步,对应原来编号为74,100,94,52,80,3,105,107,83,92的机器便是要抽取的对象.

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