陕西省宝鸡市2022届高三下学期理数二模试卷及答案

陕西省宝鸡市陈仓区2022届高三下学期理数二模试卷

一、单选题

1．已知集合 集合 则 （　　） 

A．(-∞，0)∪[2，+∞) B．(0，2]

C．(0，2) D．(0，+∞)

2．若 ，则z=（　　） 

A． B． C． D．

3．已知 ，则函数 在 上是增函数的概率为（　　） 

A． B． C． D．

4．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是扇环形的石板，从内到外各圈的石板数组成等差数列 ，它的前n项和为 ，且 ， ，则 （　　） 

A．2079 B．2059 C．2022 D．1890

5．设点 ， ， 不共线，则“ ”是“ 与 的夹角是锐角”的（　　） 

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中错误的是（　　） 

A．圆锥的体积为

B．圆锥的表面积为

C．圆锥的侧面展开图是圆心角为 的扇形

D．圆锥的内切球表面积为

7．若 , ，则 （　　）

A． B． C． D．

8．如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（　　） 

A．72 B．48 C．36 D．24

9．若函数 同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有 ；②对于定义域上的任意 ， ，当 时，恒有 ，则称函数 为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（　　） 

① ，② ，③ ，④

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

10．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸；十二地支即子､丑､寅､卯､辰､已､午､未､申､酉､戌､亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推，今年是壬寅年，也是中国社会主义青年团成立100周年，则中国社会主义青年团成立的那一年是（　　） 

A．辛酉年 B．辛戎年 C．壬酉年 D．壬戌年

11．设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 为 上一点，以 为圆心， 为半径的圆交 于 ， 两点，若 ， 的面积为 ，则 p=（　　）

A．1 B． C． D．2

12．已知函数 （e是自然对数的底数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（　　） 

A． B． C． D．

二、填空题

13． 的展开式中， 项的系数是　     　(用数字作答）． 

14．已知数列 是等比数列，若 ，且 是 与2的等差中项，则q的值是　     　. 

15．已知F是双曲线 的右焦点，P是C的左支上一点， .当 周长最小时，该三角形的面积为　     　. 

16．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上运动（不与A，B重合）， 平面ABC，若 ，二面角 等于60°，则三棱锥P-ABC体积的最大值为　     　. 

三、解答题

17．心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学，给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，统计情况如下表：（单位：人）

附表及公式：

（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

（2）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对他们的答题进行研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为 ，求 的分布列及数学期望. 

18．a，b，c分别为钝角内角A，B，C的对边.已知.

（1）求；

（2）若，，求c的取值范围.

19．如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为 的正方形， .再从条件①： 、条件②： 、条件③：平面 平面 、中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答. 

（1）求证： 平面 ； 

（2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 

20．已知椭圆 的右焦点为 ，长半轴长为 ，过焦点 且垂直于 轴的直线 交椭圆于 ， . 

（1）求椭圆 的方程； 

（2）直线 是圆 的一条切线，且直线 与椭圆 相交于点 ，求 面积的最大值. 

21．已知函数 ， . 

（1）若函数 的图象在点 处的切线方程为 ，求实数a的值； 

（2）若函数 在定义域内有两个不同的极值点 ， . 

（i）求实数a的取值范围；

（ii）当 时，证明： .

22．在直线坐标系xOy中，曲线C1： (t为参数，t≠0)其中 .在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2 cosθ. 

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

23．设 均为正数，且 ，证明： 

（Ⅰ）若 ，则 ；

（Ⅱ） 是 的充要条件．

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】C

3．【答案】D

4．【答案】A

5．【答案】C

6．【答案】B

7．【答案】A

8．【答案】A

9．【答案】C

10．【答案】D

11．【答案】A

12．【答案】B

13．【答案】60

14．【答案】1

15．【答案】

16．【答案】

17．【答案】（1）解：由表中数据得 的观测值 ， 

所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.

（2）解：由题可知 可能取值为0，1，2， 

， ， ，

故 的分布列为：

∴ .

18．【答案】（1）因为，

所以，

即，

又，所以，

且，

故

（2）因为，所以A为锐角，

又，所以，

因为为钝角三角形，所以C为钝角.

因为，

所以，

解得.

19．【答案】（1）证明：选①②：由 ， ， ，易知： ， 

又 ， ， 面 ，则 面 ；

选①③：由 ， ， ，易知： .

又面 面 ，面 面 ， 面 ，

∴ 平面

（2）解：由（1）知： ， ，又四边形 是正方形，则 ， 

如图，以 为原点建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ，

∴ ， ，

设面 的一个法向量为 ，则 ，即

令 ，则 ， ，即 ，

设直线 与平面 所成角为 ，则 ，

∴直线 与平面 所成角的正弦值为 .

20．【答案】（1）解：由题意知： ①， ②

①②联立，解得 ， .

所以椭圆的方程为 ；

（2）解：①当直线的斜率不存在时，直线 或 ， 

当 时， ，则 ；

②当斜率存在，设直线方程为 ，设 ，

因为直线与圆相切，则 ，即 .

直线与椭圆联立： 得 ，

，即 ，

将 代入得 恒成立，且 ， ，

所以

所以

令 ，

即 ，

所以当 时， 取得最大值，且最大值为2.

综上， 面积的最大值为2.

21．【答案】（1）解：因为 ，则 ， 

又 ，所以在点 处的切线方程为 ，即 ，

又该切线为 ，则 且 ，所以 ；

（2）解：（i）函数 定义域为 ， 

因为函数 在 内有两个不同的极值点 ， ，

即等价于函数 在 内有两个不同的零点 ， .

设 ，由 ，

当 时， ， 在 上单调递增，至多只有一个零点；

当 时，在 上 ， 单调递增；

在 上 ， 单调递减，

所以，当 时， ，

函数 有两个零点，则必有 ，

即 ，解得 ，

又 ，

易证 ，证明如下：

令 ， ，

当 时， ， 单减，当 时， 单增，

故 ，故 ，得证.

，所以 在 和 上各有一个零点，

故 有两个零点时，a的范围为 ；

（ii）法1：由（i）可知 ， 是 的两个零点，不防设 ，

由 且 ，得 .

因为

令 ，则 ，

记 ， ，

由 ，令 ， .

又 ，则 ，即 ，

所以 在 上单调递增，故 ，即 成立.

所以不等式 成立.

法2：欲证 ，由 ， ，则只需证： .

不妨设 ，则 且 ，

则 ，

所以

令 ，则 ，

记 ， ，

由 ，即 在 上单调递增，

故 ，即 成立.

故 .

22．【答案】（1）解：曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2 x＝0 

联立 ，解得 或 ，

所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和 .

（2）解：曲线C1的极坐标方程为 ，其中 ， 

因此A的极坐标为 ，B的极坐标为 ，

所以 ，

当 时， 取得最大值，最大值为4.

23．【答案】解：（Ⅰ）因为 ， ，由题设 ， ，得 ．因此 ． 

（Ⅱ）（ⅰ）若 ，则 ．即 ．因为 ，所以 ，由（Ⅰ）得 ．

（ⅱ）若 ，则 ，即 ．因为 ，所以 ，于是 ．因此 ，综上， 是 的充要条件．