陕西省西安市2022届高三下学期理数三模试卷及答案

 高三下学期理数三模试卷

一、单选题

1．设集合，，则（　　）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，则（　　）

A． B． C． D．

3．已知向量，，，若，，三点共线，则（　　）

A．2 B． C． D．

4．函数的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

5．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位： ），将所得数据分为9组： ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 内的个数为（　　） 

A．10 B．18 C．20 D．36

6．一个直角三角形的两条直角边长分别为2和，将该三角形的斜边旋转一周得到的几何体的表面积为（　　）

A． B． C． D．

7．设函数（a，b为常数），则“”是“为偶函数”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知抛物线上一点，为其焦点，直线交抛物线的准线于点.且线段的中点为，则（　　）

A．±3 B． C． D．

9．在展开式中，下列说法错误的是（　　）

A．常数项为-160 B．第5项的系数最大

C．第4项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为1

10．2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式，其中△v为火箭的速度增量，为喷流相对于火箭的速度，和分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭达到5公里/秒，从100提高到600，则速度增量增加的百分比约为（　　）（参考数据：，，

A．15% B．30% C．35% D．39%

11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列14，29，44，…，则该数列的项数为（　　）

A．132 B．133 C．134 D．135

12．若对任意的，且，都有成立，则实数m的最小值是（　　）

A．1 B． C． D．

二、填空题

13．在等差数列中，，设数列的前项和为，则　     　.

14．双曲线渐近线的斜率为k，且，则m的取值范围是　         　.

15．若函数的图像向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的一个可能的值为　                   　；

16．如图，在正方体中，点F是棱上的一个动点，平面交棱于点E，则下列正确说法的序号是　     　.

①存在点F使得平面；

②存在点F使得平面；

③对于任意的点F，都有；

④对于任意的点F三棱锥的体积均不变.

三、解答题

17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.

（1）求C；

（2）若，求△ABC面积的最大值

18．在学校大课间体育活动中，甲､乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲､乙每人各投第一次，若一方命中且另一方未命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局，已知甲､乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲､乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响.

（1）求1局投篮比赛，甲､乙平局的概率；

（2）求1局投篮比赛，甲获胜的概率；

（3）设共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为X，求X的数学期望.

19．如图①，在梯形ABCD中，四边形ABCE是边长为2的正方形，O是AC与BE的交点将△ABE沿BE折起到△PBE的位置，使得平面PBE⊥平面BCDE，如图②.

（1）求证：OC⊥平面PBE；

（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

20．已知椭圆：的离心率为，且短轴长等于双曲线：的实轴长.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，为椭圆上关于原点对称的两点，在圆：上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程.

21．已知函数，.

（1）求函数的单调区间和最值；

（2）求证：当时；当时，；

（3）若存在，使得，证明.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为：.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，求以为直径的圆的极坐标方程.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】B

3．【答案】A

4．【答案】D

5．【答案】B

6．【答案】A

7．【答案】B

8．【答案】D

9．【答案】B

10．【答案】D

11．【答案】C

12．【答案】D

13．【答案】143

14．【答案】（0，4）

15．【答案】（答案不唯一）

16．【答案】①③④

17．【答案】（1）解：由已知及正弦定理得，

∴.

∴.

∵，∴.

∵，，∴.

（2）解：由（1）知，又，

由余弦定理得，

∴.

∵，

∴，

∴，当且仅当时取等号.

∴.

∴△ABC面积的最大值为.

18．【答案】（1）解：设事件A表示“甲命中”，事件B表示乙命中，则，，

∴1局投篮比赛，甲､乙平局的概率为：

.

（2）解：1局投篮比赛，甲获胜的概率为：

.

（3）解：易知随机变量0，1，2，…10，

由（2）的结果，易得.

∴随机变量X服从二项分布，即，

∴.

19．【答案】（1）证明：∵在图①中四边形为正方形，

∴.

有折叠的特性知，在图②中，，

又平面平面，平面平面，

又平面，

∴平面.

（2）解：由（1）易知，OB，OC，OP两两垂直.

如图，以O为原点，以OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴､建立空间直角坐标系，

则，，，.

∴，，.

设平直PCD的法向量为，

则，即，

令，则，.

∴平面PCD的一个法向量为.

∴.

设直线PB与平面PCD所成角为，

∴.

故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.

20．【答案】（1）解：依题意有，解得，.

∴椭圆的标准方程为

（2）解：∵点在圆：上，

∴

又∵为等边三角形，且为线段的中点，

∴，

①当直线的斜率不存在时，，为椭圆的上下顶点，

∴，不符合题意；

②当直线的斜率存在时，设，直线的方程为

联立

解得，

∴，解得

∴直线的方程为：

21．【答案】（1）解：∵，

∴当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为.

∴函数的最大值为，无最小值.

（2）证明：设，

则，

∴，当且仅当时等号成立，

∴函数单调递增，又，

∴当时，，即，

当时，，即.

（3）证明：结合（1）（2）作出函数，的大致图象：

当时，；当时，，

令，则.

又∵二次函数的图象开口向下，最大值为，

∴存在，使得.

结合（2）的结论以及图象知，

∵函数的图象关于直线对称，

∴，

∴，

22．【答案】（1）解：∵直线的参数方程为：（为参数），

∴直线的普通方程为.

∵曲线的极坐标方程为：，

根据，

可得曲线的直角坐标方程为.

（2）解：联立

解得或

∴，的中点坐标为.

∴以为直径的圆的直角坐标方程为，

即，

根据

可得以为直径的圆的极坐标方程为

23．【答案】（1）解：∵

∴不等式等价于或或

∴或

∴不等式的解集为.

（2）解：由（1）可知当时，，

∴关于的不等式的解集为等价于，

∴，解得.

∴实数的取值范围为.