陕西省2022届高三下学期理数二模试卷及答案

 高三下学期理数二模试卷

一、单选题

1．已知集合，则（　　）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，则（　　）

A．1 B．2 C． D．

3．设等差数列的前项和为，若，则（　　）

A．16 B．20 C．24 D．28

4．已知，则“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知，且，则的值为（　　）

A． B． C． D．

6．在2021年日本东京奥运会志愿者活动中，甲、乙等6人报名参加了三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加项目，乙不能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有（　　）

A．52种 B．68种 C．72种 D．108种

7．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象

B．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象

D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A． B． C． D．

9．已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（　　）

A． B．

C． D．

10．已知数列满足，则数列的前10项和是（　　）

A． B． C． D．

11．已知双曲线的左、右焦点分别是，若双曲线上存在点使得，则双曲线的离心率的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

12．已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（　　）

A．3 B．4 C．9 D．16

二、填空题

13．在平行四边形中，为的中点，点为线段上的一点，且，则实数　     　．

14．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是　          　．

15．已知正三棱柱的所有顶点都在球的表面上，直线与底面所成的角是，若正三棱柱的体积是2，则球的表面积是　     　．

16．已知椭圆的离心率是，若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆的方程是　           　．

三、解答题

17．在锐角中，角所对的边分别是，且．

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围．

18．如图，在四棱锥中，．

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

19．2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标.2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年（总书记2020年新年贺词）．截至2019年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1109万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2019年的0.6%，连续8年每年减贫规模都在500万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤，某贫困地区截至2019年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2019年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．

（1）求出频率分布直方图中的的值，并求出这50户家庭人均年纯收入的平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表）

（2）现从这50户2019年的家庭人均年纯收入在之间的家庭中任抽取3户进行调查，进一步了解家庭生活情况，设抽取的家庭人均年纯收入在的户数为，求的分布列和数学期望．

20．已知抛物线上有一动点，过点作抛物线的切线交轴于点．

（1）判断线段的中垂线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；

（2）过点作的垂线交抛物线于另一点，求的面积的最小值．

21．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，求证：．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；

（2）若为直线上距离为4的两动点，点为曲线上的动点．求面积的最大值．

23．已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】D

3．【答案】B

4．【答案】A

5．【答案】B

6．【答案】A

7．【答案】A

8．【答案】B

9．【答案】D

10．【答案】C

11．【答案】B

12．【答案】C

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】

16．【答案】

17．【答案】（1）解：，

由正弦定理得，

所以，，

，所以，又，所以；

（2）解：三角形为锐角三角形，所以，，即．

，

，则，，

所以．即的范围是．

18．【答案】（1）证明：连接交于点，

，，则是等边三角形，，

，，则，，又，

所以，所以，所以，

，平面，所以平面，又平面，

所以；

（2）解：由余弦定理，

，

在等边中，所以，所以，

，，

以为轴建立空间坐标系，如图，

则，．，，

，，，

设平面的一个法向量是，

则，取，则，，即，

设直线与平面所成角的大小为，

则．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

19．【答案】（1）解：，.

平均数为.

（2）解：有户，

有户，

共有户.

的可能取值为，

，

，

所以分布列为：

.

20．【答案】（1）解：设直线的方程为，和抛物线方程联立得：，

由，得，则的解为，

由得，，得，

在中，令得，所以，

中点为，所以线段的中垂线方程为，

所以线段的中垂线过定点.

（2）解：由（1）可知，直线的方程为

将其与抛物线方程联立得：

，，

，

.

所以的面积为，所以，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以时，.

21．【答案】（1）解：的定义域为，，

令，解得.

所以在区间递增；在区间递减，

所以的增区间为，减区间为.

（2）解：，

由（1）知：在上递增，在上递减，

所以.

（3）解：当时，，

令，则，

，

所以.

22．【答案】（1）解：由得，即，为曲线普通方程，

由得，所以，即为直线的直线坐标方程；

（2）解：设曲线任一点，则到直线的距离为

，其中为锐角，，

所以时，，

的最大值为．

23．【答案】（1）解：当时，.

当时，，解得，此时；

当时，恒成立；

当时，，解得，此时.

综上所述，当时，不等式的解集为.

（2）解：由绝对值三角不等式可得，

由题意可得.

当时，即当时，不等式恒成立；

当时，可得或.

若，则，可得，解得，此时；

若，则，可得，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是.