湖南省永州市冷水滩区2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷(word版含答案)

2021-2022学年湖南省永州市冷水滩区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下面有个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有(    )
    

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 下列各式中是二元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 小萌在利用完全平方公式计算一个正方形的面积时，得到正确结果是整系数二次三项式，不小心把最后一项染黑了，你认为这一项是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 某青年排球队名队员的年龄情况如下，

则这个队队员年龄的众数和中位数是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在学习了平移、旋转、轴对称变换知识后，老师要求同学们在智能俄罗斯方块游戏拼图操作中理解、体会、感悟知识的灵活运用．如图所示的方块拼图游戏中，已拼好了部分图案，现又出现一小方格体正向下运动，为了使移动的小方格与下方图案拼接成一个完整图案，使所有图案自动消失，你的正确操作是(    )

A. 顺时针旋转，向右平移 B. 逆时针旋转，向右平移
C. 顺时针旋转，向下平移 D. 逆时针旋转，向下平移

9. 关于，的二元一次方程组的解是，其中是常数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，直线，现将一个含角的直角三角板的锐角顶点放在直线上，将三角板绕点旋转，使直角顶点落在与之间的区域，边与直线相交于点，若，则图中的的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

11. 方程组的解是______．
12. 因式分解______．
13. 某人计算时，已正确得出结果中的一次项系数为，不小心将第二个括号中的常数染黑了，则被染黑的常数为______．
14. 若，，则______．
15. 运用乘法公式可以简化运算，提高学习效率，对下列运算：，你尝试用公式去简化运算，可迅速得到正确结果是______．
16. 如图，两条交叉水管的接口在处，为了测量两条交叉水管所成直线和的夹角，工程师傅在直线上选取点，并过点作直线，量得与的夹角，由此可知：的度数为______．

17. 小李去文具店购买了、、三种学习用品各一件，已知一件学习用品比一件学习用品贵元，一件学习用品比一件学习用品贵元，那么一件学习用品比一件学习用品贵______元．
18. 观察下列各式的规律：
    ，
    ，
    可得到______．

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

19. 因式分解：
    
    ．

四、解答题（本大题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 解方程组：
    ；
    ．
21. 小亮和小莹进行飞镖比赛，两人各投了次，成绩如图所示．
    
    根据图中信息，回答下面问题：
    小亮的中位数为______，小莹的平均数为______；
    分别计算小亮、小莹成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的飞镖射击成绩更稳定？
22. 先化简，再求值：，其中．
23. 如图，已知，，，求请填空
    解：因为，
    所以____________
    又因为，
    所以______
    所以____________
    所以____________
    因为______，
    所以____________

24. 某中学拟组织七年级师生去张家界森林公园春游．下面是李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
    李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元．”
    小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到张家界森林公园春游，一天的租金共计元．”
    小明：“我们七年级师生共人．”
    根据以上对话，解答下列问题：
    客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
    七年级师生到该公司租车一天，如何才能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算？
25. 如图所示，是某一种旋转灯光聚合装置简易图，光线的多少可由控制器控制，已知，垂足为现从点同时发出两条旋转光线，一条光线为，从开始，绕点顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，另一条光线，从开始，绕点逆时针方向旋转，旋转速度为每秒，设两条光线同时旋转的时间为秒．
    旋转多少秒，两条光线第一次重合？
    当时，若，求的值．
    时，当两条光线在绕点的旋转过程中，为何值时，？

26. 如图，是直线，内部一点，，连接，．
    探究猜想：
    若，，则等于多少度？
    若，，则等于多少度？
    猜想图中，，的关系并证明你的结论．
    拓展应用：
    如图，射线与矩形的边交于点，与边交于点，分别是被射线隔开的个区域不含边界，其中区域、位于直线上方，是位于以上四个区域上的点，猜想：，，的关系不要求证明．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用幂的乘方与积的乘方的性质求解即可求得答案．
此题考查了幂的乘方与积的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的概念结合个汽车标志图案的形状求解．
【解答】
解：由轴对称图形的概念可知第个，第个，第个都是轴对称图形．
第个不是轴对称图形．
故是轴对称图形的有个．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
B、它不是方程，故本选项不符合题意；
C、该方程的最高次数是，属于二元二次方程，故本选项不符合题意；
D、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：．
根据二元一次方程的定义作出判断．
本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：
方程中只含有个未知数；
含未知数项的最高次数为一次；
方程是整式方程．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式，符合题意．
故选：．
各式分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得该二次三项式为完全平方式，
，，
，
即该二次三项式，
故选：．
由题意将该二次三项式配成完全平方式即可．
此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能将几何图形和完全平方公式结合解决问题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．
【解答】
解：数据出现了四次最多为众数；和处在第位和第位，其平均数是，所以中位数是．
所以本题这组数据的中位数是，众数是．
故选A．  

7.【答案】 

【解析】解：无法分解因式，故此选项不合题意；
B.无法分解因式，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，出现的小方格体需顺时针旋转，向右平移至边界．
故选：．
根据小方格体的两格与三格的不同，结合要填入的空格的形状解答．
本题考查了利用旋转设计图案，利用平移设计图案，认准小方格的特征与需要填入的空格的形状是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
得：，
．
关于，的二元一次方程组的解是，
．
故选：．
利用加减法求得的值，再利用方程组解的意义解答即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，利用加减法求得的值是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过作，

，
，
，
，
．
故选：．
过作，得到，根据平行线的性质得出，进而求得，再根据平行线的性质可求出答案．
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为．
故答案为：．
方程组利用代入消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
一次项系数为，
，
解得：．
故答案为：．
根据多项式乘多项式的法则进行运算，再结合所给的条件进行求解即可．
本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是运算时注意符号的变化．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则将原式变形，进而求出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为．
根据平方差公式将原式化为，即可得答案．
本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
 

16.【答案】 

【解析】
解：设与的交点为，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据垂直的性质和对顶角的性质求出、的度数，即可求出．
本题考查了垂直的性质、对顶角的性质、三角形外角的性质，关键是找准这些角的关系．
 

17.【答案】 

【解析】解：设一件元、一件元、一件元，
根据题意得：，
得：，
即一件学习用品比一件学习用品贵元，
故答案为：．
根据题意列方程组，再整体求解．
本题考查了三元一次方程的应用，整体求解是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：观察下列各式的规律：
，
，
，

可得到．
故答案为：．
观察已知等式得到一般性规律，写出所求即可．
此题考查了平方差公式，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
 

19.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】原式变形后，提取公因式即可得到结果；
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以原方程组的解是；

，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以原方程组的解是． 

【解析】得出，求出，再把代入求出即可；
得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：小亮的飞镖射击成绩由小到大排列为：，，，，，，，，，，
位于第、第位的数分别是，，
所以小亮的中位数是；
小莹的平均数，
故答案为：；；

小亮的平均数，
，
，
，
小亮的飞镖射击成绩更稳定．
根据平均数和中位数的定义解答即可；
计算方差，并根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定解答．
此题考查了方差、平均数和中位数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

22.【答案】解：

，
，
，
当时，原式． 

【解析】根据完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项，再根据，可得，再将代入所求式子计算即可．
本题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用．
 

23.【答案】  两直线平行，同位角相等  等量代换    内错角相等，两直线平行    两直线平行，同旁内角互补  已知    补角的定义 

【解析】解：因为，
所以两直线平行，同位角相等，
又因为，
所以等量代换，
所以内错角相等，两直线平行，
，所以两直线平行，同旁内角互补，
因为已知，
所以补角的定义，
故答案为：，两直线平行，同位角相等，等量代换，，内错角相等，两直线平行，，两直线平行，同旁内角互补；已知；；补角的定义．
根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质推出，代入求出即可求得．
本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确根据平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
 

24.【答案】解：设客运公司座客车每辆每天的租金是元，座的客车每辆每天的租金是元，
依题意得：，
解得：．
答：客运公司座客车每辆每天的租金是元，座的客车每辆每天的租金是元．
设租用座的客车辆，座的客车辆，
依题意得：，
解得：，
又，均为自然数，
．
答：应该租用座客车辆，座客车辆，才能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算． 

【解析】设客运公司座客车每辆每天的租金是元，座的客车每辆每天的租金是元，根据“座客车每辆每天的租金比座的贵元，且租用辆座和辆座的客车一天的租金共计元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设租用座的客车辆，座的客车辆，根据租用的客车正好乘坐人，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，即可得出租车方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

25.【答案】解：两条光线第一次重合，转过的角度和为，
由题意得，，
解得秒，
答：旋转秒时两条光线第一次重合；
若，则转过的角度和或，
第一次时，，
解得秒，
第二次时，，
解得秒，
答：当时，若时，的值为秒或秒；
当时，两条光线有次夹角是，转过的度数和分别是、、、、、、，
第一次夹角为时，，解得秒，
第二次夹角为时，，解得秒，
第三次夹角为时，，解得秒，
第四次夹角为时，，解得秒，
第五次夹角为时，，解得秒，
第六次夹角为时，，解得秒，
第七次夹角为时，，解得秒，
综上所述，时，当两条光线在绕点的旋转过程中，，的值为秒或秒或秒或秒或秒或秒或秒． 

【解析】两条光线第一次重合，转过的角度和为，根据题意列出方程即可；
当时，若，则转过的角度和或，根据题意列出方程即可；
容易发现，时，两条光线有次夹角是，转过的度数和分别是、、、、、、，列出方程解答即可．
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据角的旋转情况列出正确的方程．
 

26.【答案】解：；
；
猜想：，
证明：延长交于点，
，
，
为的外角，
；

根据题意得：
点在区域时，；
点在区域时，；
点在区域时，；
点在区域时，． 

【解析】根据图形猜想得出所求角度数即可；
根据图形猜想得出所求角度数即可；
猜想得到三角关系，理由为：延长与交于点，由与平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换即可得证；
分四个区域分别找出三个角关系即可．
此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．