2022年中考数学真题分类汇编：三角函数实际问题专题一(含答案)

2022年全国各省市中考数学真题汇编

三角函数实际问题专题一

1. (2022·湖北省宜昌市)知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足参考数据：，，，，，，，，
   如图，现有一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上．
   当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端与地面距离的最大值；
   当梯子底端距离墙面时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？

2. (2022·山西省)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长结果精确到参考数据：，，，．

3. (2022·江苏省泰州市)小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜，与墙面所成的角，厂房高，房顶与水平地面平行，小强在点的正下方处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处到他的距离是多少？结果精确到，参考数据：，，

4. (2022·湖北省仙桃市）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度．如图，已知测角仪的高度为米，她在点观测旗杆顶端的仰角为，接着朝旗杆方向前进米到达处，在点观测旗杆顶端的仰角为，求旗杆的高度．结果保留小数点后一位参考数据：

5. (2022·湖北省鄂州市)亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽鄂州花湖机场，于年月日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为若斜坡的坡比：，铅垂高度米点、、、在同一水平线上求：
   两位市民甲、乙之间的距离；
   此时飞机的高度结果保留根号

6. (2022·湖南省常德市)第届冬季奥林匹克运动会于今年月日至日在北京举行，我国冬奥选手取得了块金牌、块银牌、块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台如图，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端到的距离为米，，，，求此大跳台最高点距地面的距离是多少米结果保留整数．
   参考数据：，，，，，，，，

7. (2022·湖北省荆州市)荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高含底座，先在点处用测角仪测得其顶端的仰角为，再由点向城徽走到处，测得顶端的仰角为已知，，三点在同一直线上，测角仪离地面的高度，求城徽的高参考数据：，，．

8. (2022·广西壮族自治区贺州市)如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度，因为不能直接到达烟囱底部处，测量人员用高为的测角器在与烟囱底部成一直线的，两处地面上，分别测得烟囱顶部的仰角，，同时量得为问烟囱的高度为多少米？精确到，参考数据：，

9. (2022·四川省宜宾市)宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城周年之际的年，新建成的东楼如图成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步处如图测得楼顶的仰角为，沿坡比为：的斜坡前行米到达平台处，测得楼顶的仰角为，求东楼的高度结果精确到米．参考数据：，

10. (2022·河北省)如图，某水渠的横断面是以为直径的半圆，其中水面截线嘉琪在处测得垂直站立于处的爸爸头顶的仰角为，点的俯角为已知爸爸的身高为．
    求的大小及的长；
    请在图中画出线段，用其长度表示最大水深不说理由，并求最大水深约为多少米结果保留小数点后一位．
    参考数据：取，取

11. (2022·湖南省娄底市)“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”墩墩使用握力器如实物图所示锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点处，在无外力作用下，弹簧的长度为，即开始训练时，将弹簧的端点调在点处，此时弹簧长，弹力大小是，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点调到点处，使弹力大小变为，已知，求的长．
    注：弹簧的弹力与形变成正比，即，是劲度系数，是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为，在外力作用下，弹簧的长度为，则．
     

12. (2022·四川省成都市)年月日是第个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
    如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时点是的对应点，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．结果精确到；参考数据：，，

13. (2022·四川省自贡市)某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
    探究原理
    制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合如图，绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线如图，此时目标的仰角请说明这两个角相等的理由．
    
    实地测量
    如图，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为米，点到地面的距离为米，求树高，结果精确到米
    拓展探究
    公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度如图，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、、、在同一直线上，分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离E、均为米．求用、、表示．

14. 
    (2022·浙江省嘉兴市)小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图，已知，，，，．
    连结，求线段的长．
    求点，之间的距离．
    结果精确到参考数据：，，，，，
     
15. (2022·甘肃省武威市)灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河渭河上游上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥图，该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
    方案设计：如图，点为桥拱梁顶部最高点，在地面上选取，两处分别测得和的度数在同一条直线上，河边处测得地面到水面的距离在同一条直线上，，，．
    数据收集：实地测量地面上，两点的距离为，地面到水面的距离，，．
    问题解决：求灞陵桥拱梁顶部到水面的距离结果保留一位小数．
    参考数据：，，，，，．
    根据上述方案及数据，请你完成求解过程．

16. (2022·四川省眉山市)数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高．结果保留整数．参考数据：，

17. (2022·浙江省台州市)如图，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图梯子与地面所成的角为，梯子长，求梯子顶部离地竖直高度结果精确到；参考数据：，，

18. (2022·四川省广元市)如图，计划在山顶的正下方沿直线方向开通穿山隧道在点处测得山顶的仰角为，在距点的处测得山顶的仰角为，从与点相距的处测得山顶的仰角为，点、、、在同一直线上，求隧道的长度．

参考答案

1.解：，当时，取最大值，
在中，，
米，
梯子顶端与地面的距离的最大值为米；
在中，，
，
，
，
人能安全使用这架梯子． 

2.解：延长，分别与直线交于点和点，

则，，，
在中，，
，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，
，
，
楼与之间的距离的长约为． 

3.解：连接，过点作，

由题意得：
，，，，
，
，
，
在中，米，
能看到的水平地面上最远处到他的距离约为米． 

4.解：过点作于点，

则，，三点共线，米，米，
设米，则米，
在中，，
，
解得，
在中，，
，
解得，
米，
米．
旗杆的高度约为米． 

5.解：斜坡的坡比：，米，
，
米，
在中，米，
两位市民甲、乙之间的距离为米；
过点作，垂足为，

则米，，
设米，
在中，，
米，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
此时飞机的高度为米． 

6.解：如图，过点作于点，交于点，则．

根据题意可知，，米，
，
，
在中，，，
米，
在和中，设米，则米，
，
，
，解得米，
米，
米．
此大跳台最高点距地面的距离是米． 

7.解：延长交于点，

则，米，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
城徽的高约为米． 

8.解：由题意得：
米，米，
是的一个外角，
，
，
米，
在中，，
米，
米，
烟囱的高度约为米． 

9.解：由已知可得，
，米，，，，
设米，米，
，
解得，
米，米，
，，
，
，
设米，则米，米，
，
，
解得，
答：东楼的高度约为米． 

10.解：嘉琪在处测得垂直站立于处的爸爸头顶的仰角为，
，，
，
，，
，
，
答：，的长为；
图中画出线段如图：

，，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
，
，
答：最大水深约为米． 

11.解：由题意可得，
，
，
解得，
，
当时，，
解得，
由图可得，
，，
，
，
，，
，
，
，
即的长是． 

12.解：，
，
在中，，
，
由题意得：
，
，
，
在中，，
此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为． 

13.解：，，
，
；
由题意可得，
米，米，，，
，
，
解得，
米，
即树高为米；
由题意可得，
，米，
由图可得，，，
，，
，
，
，
米． 

14.解：如图，过点作于点，

，．
，
，
，
线段的长约为；
横截面是一个轴对称图形，
延长交、延长线于点，
连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
点，之间的距离． 

15.解：设，
由题意得：
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
，
灞陵桥拱梁顶部到水面的距离约为． 

16.解：在中，，
设为，
，
，
在中，，
，
解得．
答：此建筑物的高度约为． 

17.解：在中，，，
，
解得．
答：求梯子顶部离地竖直高度约为． 

18.解：过点作，垂足为，

设米，
在中，，
米，
米，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
在中，，
米，
米，
隧道的长度为米．