2022年中考数学真题分类汇编：二次函数压轴题(含答案)

这是一份2022年中考数学真题分类汇编：二次函数压轴题(含答案)，共38页。
2022年全国各省市中考数学真题汇编
二次函数压轴题1

1. (2022·四川省乐山市)如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（-1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC=2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC=S△BCD，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示PQOQ的值，并求PQOQ的最大值．

2. (2022·浙江省湖州市)如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．

3. (2022·湖南省邵阳市)如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．

（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
4. (2022·湖南省衡阳市)如图，已知抛物线y=x2-x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．
（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
（2）若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5. (2022·江苏省苏州市)如图，二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
（2）若∠ACO=∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP=75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

6. (2022·山东省泰安市)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-2，0），B（0，-4），其对称轴为直线x=1，与x轴的另一交点为C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若点N在线段OC上，且MN=3NC，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．

7. (2022·湖南省株洲市)已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=34．
①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；
②若NP=2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．
阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=-ba，x1x2=ca”．此关系通常被称为“韦达定理”．



8. (2022·湖南省怀化市)如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．

9. (2022·甘肃省武威市)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=14（x+3）（x-a）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC=OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE=1时，求DP的长；
（3）连接BD．
①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；
②如图3，连接CE，当CD=AE时，求BD+CE的最小值．

10. (2022·云南省)已知抛物线y=-x2-3x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y=-x2-3x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y=-x2-3x+c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
（1）求c的值；
（2）直接写出T的值；
（3）求k4k8+k6+2k4+4k2+16的值．
11. (2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

12. (2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．
（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；
（2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．

13. (2022·浙江省舟山市)已知抛物线L1：y=a（x+1）2-4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．
14. (2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．

15. (2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称．
（1）如图①，求射线MF的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；
（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于点N．求PNAN的最大值．






16. (2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．








17. (2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

18. (2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．

参考答案
1.解：（1）∵A（-1，0），
∴OA=1，
∵∠AOC=90°，
∴tan∠OAC=OCOA=2，
∴OC=2OA=2，
∴点C（0，-3），
设二次函数的解析式为：y=a（x+1）•（x-2），
∴a•1×（-2）=-2，
∴a=1，
∴y=（x+1）•（x-2）=x2-x-2；
（2）设点P（a，a2-a-2），

如图1，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，
∵B（2，0），C（0，-2），
∴直线BC的解析式为：y=x-2，
∴当y=a2-a-2时，x=y+2=a2-a，
∴PE=a2-a-a=a2-2a，
∴S△PBC=12PE•OC，
∵抛物线的对称轴为直线y=12，CD∥x轴，C（0，-2），
∴点D（1，-2），
∴CD=1，
∴S△BCD=12CD⋅OC，
∴12PE•OC=12CD•OC，
∴a2-2a=1，
∴a1=1+2（舍去），a2=1-2，
当x=1-2时，y=a2-a-2=a-1=-2，
∴P（1-2，-2），

如图2，当点P在第一象限时，
作PE⊥x轴于E，交直线BC于F，
∴F（a，a-2）
∴PF=（a2-a-2）-（a-2）=a2-2a，
∴S△PBC=12PF⋅OB=12CD•OC，
∴a2-2a=1，
∴a1=1+2，a2=1-2（舍去），
当a=1+2时，y=a2-a-2=a2-2a+a-2=1+1+2-2=2，
∴P（1+2，2），
综上所述：P（1+2，2）或（1-2，-2）；
（3）如图3，

作PN⊥AB于N，交BC于M，
∵P（t，t2-t-2），M（t，t-2），
∴PM=（t-2）-（t2-t-2）=-t2+2t，
∵PN∥OC，
∴△PQM∽△OQC，
∴PQOQ=PMOC=-t2+2t2=-12(t-1)2+12，
∴当t=1时，（PQOQ）最大=12．
2.解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，
∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；
②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y=-x2+bx+c中得：-9+3b+c=0c=3，
解得：b=2c=3；
（2）∵AP⊥PM，
∴∠APM=90°，
∴∠APB+∠CPM=90°，
∵∠B=∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠CPM，
∵∠B=∠PCM=90°，
∴△MCP∽△PBA，
∴PCAB=CMPB，即3-m3=nm，
∴3n=m（3-m），
∴n=-13m2+m=-13（m-32）2+34，
∵-13＜0，
∴当m=32时，n的值最大，最大值是34．
3.解：在直线y=2x+2中，
当x=2时，y=2，
当y=0时，x=-1，
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，2），
把点A（-1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y=ax2+bx+c，
a-b+c=0c=29a+3b+c=0，
解得a=-23b=43c=2，
∴抛物线的解析式为y=-23x2+43x+2；
（2）①当△AOB≌△DPC时，AO=DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP=OP=AO=1，
此时点P的坐标为（1，0），
②当△AOB≌△CPD时，OB=DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP=OP=OB=2，
此时点P的坐标为（2，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）如图，

点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，
∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，
由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），
∴CD′′的最小值为1．
4.解：（1）当x=0时，y=-2，
∴C（0，2），
当y=0时，x2-x-2=0，
（x-2）（x+1）=0，
∴x1=2，x2=-1，
∴A（-1，0），B（2，0），
设图象W的解析式为：y=a（x+1）（x-2），
把C（0，2）代入得：-2a=2，
∴a=-1，
∴y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2，
∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y=-x2+x+2（-1≤x≤2）；
（2）由图象得直线y=-x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况：
①当直线y=-x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b=2；
②当直线y=-x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，

-x+b=-x2+x+2，
x2-2x+b-2=0，
Δ=（-2）2-4×1×（b-2）=0，
∴b=3，
综上，b的值是2或3；
（3）∵OB=OC=2，∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，

∵PN∥y轴，
∴P（1，0）；
如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC，

当y=2时，x2-x-2=2，
x2-x-4=0，
∴x1=1+172，x2=1-172，
∴P（1+172，0）；
如图4，当∠MCN=90°时，△OBC∽△CMN，

∴CN的解析式为：y=x+2，
∴x+2=x2-x-2，
∴x1=1+5，x2=1-5（舍），
∴P（1+5，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（1+172，0）或（1+5，0）．
5.解：（1）当y=0时，-x2+2mx+2m+1=0，
解方程，得x1=-1，x2=2m+1，
∵点A在点B的左侧，且m＞0，
∴A（-1，0），B（2m+1，0），
当x=0时，y=2m+1，
∴C（0，2m+1），
∴OB=OC=2m+1，
∵∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°；

（2）如图1中，连接AE．

∵y=-x2+2mx+2m+1=-（x-m）2+（m+1）2，
∴D（m，（m+1）2），F（m，0），
∴DF=（m+1）2，OF=m，BF=m+1，
∵A，B关于对称轴对称，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠OBC=45°，
∵∠ACO=∠CBD，∠OCB=∠OBC，
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACE=∠DBF，
∵EF∥OC，
∴tan∠ACE=AECE=BECE=BFOF=m+1，
∴m+1m=m+1，
∴m=1或-1，
∵m＞0，
∴m=1；

（3）如图，设PC交x轴于点Q．

当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，
∵∠ACQ=75°，
∴∠CAO＜60°，
∴2m+1＜3，
∴m＜3-12，
∴0＜m＜3-12．
6.解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点B（0，-4），
∴c=-4，
∵对称轴为直线x=1，经过A（-2，0），
∴-b2a=14a-2b-4=0，
解得a=12b=-1，
∴抛物线的解析式为y=12x2-x-4；

（2）①如图1中，

设直线AB的解析式为y=kx+n，
∵A（-2，0），B（0，-4），
∴-2k+n=0n=-4，
解得k=-2n=-4，
∴直线AB的解析式为y=-2x-4，
∵A，C关于直线x=1对称，
∴C（4，0），
设N（m，0），
∵MN⊥x轴，
∴M（m，-2m-4），
∴NC=4-m，
∵MN=3NC，
∴2m+4=3（4-m），
∴m=85，
∴点M（85，-365）；

②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，-2t-4），则点N（t，0），

∵四边形MPNQ是正方形，
∴PQ⊥MN，NE=EP，NE=12MN，
∴PQ∥x轴，
∴E（t，-t-2），
∴NE=t+2，
∴ON+EP=ON+NE=t+t+2=2t+2，
∴P（2t+2，-t-2），
∵点P在抛物线y=12x2-x-4上，
∴12（2t+2）2-（2t+2）-4=-t-2，
解得t1=12，t2=-2，
∵点P在第四象限，
∴t=-2舍去，
∴t=12，
∴点M坐标为（12，-5）．
7.解：（1）当a=1，b=3时，y=x2+3x+c，
把x=1，y=1代入得，
1=1+3+c，
∴c=-3；
（2）①由ax2+bx+c=0得，
x1=-b-b2-4ac2a，x2=-b+b2-4ac2a，
∴AB=x2-x1=b2-4aca，
∵抛物线的顶点坐标为：（-b2a，4ac-b24a），
∴AE=b2-4ac4a，OM=b2a，
∵∠BAE=90°，
∴tan∠ABE=AEAB=34，
∴b2-4ac4a÷b2-4aca=34，
∴b2-4ac=9；
②∵b2-4ac=9，
∴x2=-b+32a，
∵OP∥MN，
∴NPBP=OMOB，
∴b2a：-b+32a=2，
∴b=2，
∴22-4ac=9，
∴c=-54a，
∴T=1a2+165c=1a2-54a⋅165=1a2-4a=（1a-2）2+4，
∴当1a=2时，T最小=4，
即a=12时，T最小=4．
8.解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（-1，0）、B（3，0），
∴a-2+c=09a+6+c=0，
解得a=-1c=3，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
令x=0，可得y=3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则b=33k+b=0，
∴k=-1b=3，
∴直线BC的解析式为y=-x+3；

（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，-m2+2m+3），

∵B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∵PF∥AB，
∴∠PFE=∠OBC=45°，
∵PE⊥BC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，
∵S△PBC=S△POB+S△POC-S△OBC
=12×3×（-m2+2m+3）+12×3×m-12×3×3
=-32m2+92m
=-32（m-32）2+94，
∵-32＜0，
∴m=32时，△PBC的面积最大，面积的最大值为94，此时PE的值最大，
∵12×32×PE=94，
∴PE=32，
∴△PEF的周长的最大值=32+32+62=3+62，此时P（32，154）；

（3）存在．
理由：如图二中，设M（1，t），G（m，-m2+2m+3）．

当BC为平行四边形的边时，则有|1-m|=3，
解得m=-2或4，
∴G（-2，-5）或（4，-5），
当BC为平行四边形的对角线时，12（1+m）=12（0+3），
∴m=2，
∴G（2，3），
综上所述，满足条件的点G的坐标为（-2，5）或（4，-5）或（2，3）．
9.解：（1）∵抛物线y=14（x+3）（x-a）与x轴交于A，B（4，0）两点，
∴14（4+3）（4-a）=0，
解得a=4，
∴y=14（x+3）（x-4）=14x2-14x-3，
即抛物线的表达式为y=14x2-14x-3；
（2）在y=14（x+3）（x-4）中，令y=0，得x=-3或4，
∴A（-3，0），OA=3，
∵OC=OB=4，
∴C（0，4），
∵AE=1，
∴DE=AE•tan∠CAO=AE⋅OCOA=1×43=43，OE=OA-AE=3-1=2，
∴E（-2，0），
∵DE⊥x轴，
∴xP=xD=xE=-2，
∴yP=14（-2+3）（-2-4）=-32，
∴PE=32，
∴DP=DE+PE=43+32=176；
（3）①如下图，连接DG交AB于点M，

∵△BCD与BFG关于x轴对称，
∴DG⊥AB，DM=GM，
设OM=a（a＞0），则AM=OA-OM=3-a，
MG=MD=AM•tan∠CAO=43（3-a），
∴G（-a，43（a-3）），
∵点G（-a，43（a-3））在抛物线y=14（x+3）（x-4）上，
∴14（-a+3）（-a-4）=43（a-3），
解得a=43或3（舍去），
∴G（-43，-209）；
②如下图，在AB的下方作∠EAQ=∠DCB，且AQ=BC，连接EQ，CQ，

∵AE=CD，
∴△AEQ≌△CDB（SAS），
∴EQ=BD，
∴当C、E、Q三点共线时，BD+CE=EQ+CE最小，最小为CQ，
过点C作CH⊥AQ，垂足为H，
∵OC⊥OB，OC=OB=4，
∴∠CBA=45°，BC=42，
∵∠CAH=180°-∠CAB-∠EAQ=180°-∠CAB-∠DCB=∠CBA=45°，
AC=OA2+OC2=32+42=5，AH=CH=22AC=522，
HQ=AH+AQ=AH+BC=522+42=1322，
∴CQ=CH2+HQ2=(522)2+(1322)2=97，
即BD+CE的最小值为97．
10.解：（1）把点（0，2）代入抛物线y=-x2-3x+c中得：c=2；
（2）由（1）知：y=-x2-3x+2=-（x+32）2+114，
∴顶点的坐标为（-32，114），
∵使S=m成立的点M恰好有三个，常数m＞0，S为△ABM的面积，
∴其中一个点M就是抛物线的顶点，
∴T=-114×2+114=-114；
（3）当y=0时，-x2-3x+2=0，
x2+3x-2=0，
∵k是抛物线y=-x2-3x+c与x轴交点的横坐标，即x=k是x2+3x-2=0的解，
∴k2+3k-2=0，
∴k2=2-3k，
∴k4=（2-3k）2=4-43k+3k2=4-43k+3（2-3k）=10-73k，
∵k8+k6+2k4+4k2+16
=（10-73k）2+（2-3k）（10-73k）+2（10-73k）+4（2-3k）+16
=100-1403k+147k2+20-243k+21k2+20-143k+8-43k+16
=164-1823k+168（2-3k）
=500-3503k，
∴k4k8+k6+2k4+4k2+16
=10-73k50(10-73k)
=150．
11.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0），
∴a-b+2=09a+3b+2=0，
解得：a=-23b=43，
∴该二次函数的表达式为y=-23x2+43x+2；
（2）存在，理由如下：
如图1，当点P在BC上方时，
∵∠PCB=∠ABC，
∴CP∥AB，即CP∥x轴，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵y=-23x2+43x+2，
∴抛物线对称轴为直线x=-432×(-23)=1，
∵C（0，2），
∴P（2，2）；
当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），
则OD=m，DB=3-m，
∵∠PCB=∠ABC，
∴CD=BD=3-m，
在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，
∴22+m2=（3-m）2，
解得：m=56，
∴D（56，0），
设直线CD的解析式为y=kx+d，则56k+d=0d=2，
解得：k=-125d=2，
∴直线CD的解析式为y=-125x+2，
联立，得y=-125x+2y=-23x2+43x+2，
解得：x1=0y1=2（舍去），x2=225y2=-21425，
∴P（225，-21425），
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（225，-21425）；
（3）由（2）知：抛物线y=-23x2+43x+2的对称轴为直线x=1，
∴E（1，0），
设Q（t，-23t2+43t+2），且-1＜t＜3，
设直线AQ的解析式为y=ex+f，则-e+f=0te+f=-23t2+43t+2，
解得：e=-23t+2f=-23t+2，
∴直线AQ的解析式为y=（-23t+2）x-23t+2，
当x=1时，y=-43t+4，
∴M（1，-43t+4），
同理可得直线BQ的解析式为y=（-23t-23）x+2t+2，
当x=1时，y=43t+43，
∴N（1，43t+43），
∴EM=-43t+4，EN=43t+43，
∴EM+EN=-43t+4+43t+43=163，
故EM+EN的值为定值163．
12.（1）解：把O（0，0）代入y=x2+（m-2）x+m-4得：
m-4=0，
解得m=4，
∴y=x2+2x=（x+1）2-1，
∴函数图象的顶点A的坐标为（-1，-1）；
（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y=x2+（m-2）x+m-4的顶点为（2-m2，-m2+8m-204），
∵m＞2，
∴2-m＜0，
∴2-m2＜0，
∵-m2+8m-204=-14（m-4）2-1≤-1＜0，
∴二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；
（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y=x2+bx+c，其顶点为（-b2，4c-b24），
当x=0时，B（0，c），
将（-b2，4c-b24）代入y=-x-2得：
4c-b24=b2-2，
∴c=b2+2b-84，
∵B（0，c）在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴OB=-c=-b2+2b-84，
过点A作AH⊥OB于H，如图：

∵A（-1，-1），
∴AH=1，
在△AOB中，
S△AOB=12OB•AH=12×（-b2+2b-84）×1=-18b2-14b+1=-18（b+1）2+98，
∵-18＜0，
∴当b=-1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为98，
答：△AOB面积的最大值是98．
13.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：
a（1+1）2-4=0，
解得a=1，
∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；
答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x-3；
（2）抛物线L1：y=（x+1）2-4的顶点为（-1，-4），
将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（-1，-4+m），
而（-1，-4+m）关于原点的对称点为（1，4-m），
把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得：
12+2×1-3=4-m，
解得m=4，
答：m的值为4；
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=（x-n+1）2-4，
∵点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，
∴s=（8-t-n+1）2-4=（9-t-n）2-4，
r=（t-4-n+1）2-4=（t-n-3）2-4，
∵当t＞6时，s＞r，
∴s-r＞0，
∴[（9-t-n）2-4]-[（t-n-3）2-4]＞0，
整理变形得：（9-t-n）2-（t-n-3）2＞0，
（9-t-n+t-n-3）（9-t-n-t+n+3）＞0，
（6-2n）（12-2t）＞0，
∵t＞6，
∴12-2t＜0，
∴6-2n＜0，
解得n＞3，
∴n的取值范围是n＞3．
14.解：（1）由题意可得：A（-6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8，将A（-6，2）代入，
（-6）2a+8=2，
解得：a=-16，
∴抛物线对应的函数表达式为y=-16x2+8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，-16m2+8），
∴P1P2=P3P4=MN=-16m2+8，P2P3=2m，
∴l=3（-16m2+8）+2m=-12m2+2m+24=-12（m-2）2+26，
∵-12＜0，
∴当m=2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=-12m2+2m+24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1=n，则P2P3=18-3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18-3n）n=-3n2+18n=-3（n-3）2+27，
∵-3＜0，
∴当n=3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1=3，P2P3=9，
令-16x2+8=3，
解得：x=±30，
∴此时P1的横坐标的取值范围为-30+9≤P1横坐标≤30，
方案二：设P2P1=n，则P2P3=18-2n2=9-n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9-n）n=-n2+n=-（n-92）2+814，
∵-1＜0，
∴当n=92时，矩形面积有最大值为814，
此时P2P1=92，P2P3=92，
令-16x2+8=92，
解得：x=±21，
∴此时P1的横坐标的取值范围为-21+92≤P1横坐标≤21．
15.解：（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，
∴F（5，3），
∵直线y=-x+2与x轴交于点M，
∴M（2，0），
设直线MF的解析式为y=kx+b，
则有2k+b=05k+b=3，
解得k=1b=-2，
∴射线MF的解析式为y=x-2（x≥2）；

（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q．

∵抛物线的对称轴x=-4-2=2，点M（2，0），
∴点M值抛物线的对称轴上，
∵直线EM的解析式为y=-x+2，直线MF的解析式为y=x-2，
∴直线EM，直线MF关于直线x=2对称，
∴P，Q关于直线x=2对称，
∴2=x1+x22，
∴x1+x2=4；

（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．

∵C（0，5），
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，
∴A（-1，0），B（5，0），
设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），
∵PT∥AM，
∴PNAN=PTAM=13（t-（t2-4t-3）=-13（t-52）2+3712，
∵-13＜0，
∴PNAN有最大值，最大值为3712．
16.解：（1）把A（-1，0）和点B（0，3）代入y=-x2+bx+c，
得-1-b+c=0c=3，
解得：b=2c=3，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

（2）∵y=-（x-1）2+4，
∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x=1，
如图，设CD=t，则D（1，4-t），

∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC=90°，DP=DC=t，
∴P（1+t，4-t），
把P（1+t，4-t）代入y=-x2+2x+4得：
-（1+t）2+2（1+t）+3=4-t，
整理得t2-t=0，
解得：t1=0（舍去），t2=1，
∴P（2，3）；

（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，
∴E点坐标为（1，-1），
∴点E关于y轴的对称点F（-1，-1），
连接PF交y轴于M，则MP+ME=MP+MF=PF的值最小，

设直线PF的解析式为y=kx+n，
∴2k+n=3-k+n=-1，
解得：k=43n=13，
∴直线PF的解析式为y=43x+13，
∴点M的坐标为（0，13）．
17.解：（1）把A（-2，0），B（0，4）两点代入抛物线y=ax2+x+c中得：4a-2+c=0c=4
解得：a=-12c=4；
（2）由（2）知：抛物线解析式为：y=-12x2+x+4，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则-2k+b=0b=4，解得：k=2b=4，
∴AB的解析式为：y=2x+4，
设直线DE的解析式为：y=mx，
∴2x+4=mx，
∴x=4m-2，
当x=3时，y=3m，
∴E（3，3m），
∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，
∴12•3•（-3m）=12•4•42-m，
∴9m2-18m-16=0，
∴（3m+2）（3m-8）=0，
∴m1=-23，m2=83（舍），
∴直线DE的解析式为：y=-23x；
（3）存在，
B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：
设P（t，-12t2+t+4），
①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，

∵四边形BPGF是矩形，
∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，
∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°，
∴∠PBH=∠OFB=∠CGF，
∵∠PHB=∠FCG=90°，
∴△PHB≌△FCG（AAS），
∴PH=CF，
∴CF=PH=t，OF=3-t，
∵∠PBH=∠OFB，
∴PHBH=OBOF，即t-12t2+t+4-4=43-t，
解得：t1=0（舍），t2=1，
∴F（2，0）；
②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，

同①可得：NG=FM=3，OF=t-3，
∵∠OFB=∠FPM，
∴tan∠OFB=tan∠FPM，
∴OBOF=FMPM，即4t-3=3-12t2+t+4，
解得：t1=1+2014，t2=1-2014（舍），
∴F（201-114，0）；
综上，点F的坐标为（2，0）或（201-114，0）．
18.解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．
∴1-b+c=0c=-3，
∴b=-2c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．

由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，
∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，
令y=0，则x2-2x-3=0，
解得x=-1或3，
∴B（3，0），
∴OB=OC=3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），
∴D2（1，-3），
∵D，D1关于x轴的长，
∴D1（0，2），
∴D1D2=D2C2+D1C2=52+12=26，
∴△DEF的周长的最小值为26．

（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．
∴S△ABM=2d，
又∵S△AMN=2d，
∴S△ABM=S△AMN，
∴B，N到AM的距离相等，
∵B，N在AM的同侧，
∴AM∥BN，
设直线BN的解析式为y=kx+m，
则有m=-33k+m=0，
∴k=1m=-3，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
∴设直线AM的解析式为y=x+n，
∵A（-1，0），
∴直线AM的解析式为y=x+1，
由y=x+1y=x2-2x-3，解得x=1y=0或x=4y=5，
∴M（4，5），
∵点N在射线BC上，
∴设N（t，t-3），
过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．

∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），
∴AM=52，AN=(t+1)2+(t-3)2，MN=(t-4)2+(t-8)2，
∵△AMN是等腰三角形，
当AM=AN时，52=(t+1)2+(t-3)2，
解得t=1±21，
当AM=MN时，52=(t-4)2+(t-8)2，
解得t=6±21，
当AN=MN时，(t+1)2+(t-3)2=(t-4)2+(t-8)2，
解得t=72，
∵N在第一象限，
∴t＞3，
∴t的值为72，1+21，6+21，
∴点N的坐标为（72，12）或（1+21，-2+21）或（6+21，3+21）．