江苏省2022中考数学真题分类汇编-05解答题基础题知识点分类

这是一份江苏省2022中考数学真题分类汇编-05解答题基础题知识点分类，共35页。试卷主要包含了﹣+20220，﹣1+﹣4sin60°，的值，计算，化简+，解方程等内容，欢迎下载使用。

江苏省2022中考数学真题分类汇编-05解答题基础题知识点分类
一．实数的运算（共2小题）
1．（2022•连云港）计算（﹣10）×（﹣）﹣+20220．
2．（2022•宿迁）计算：（）﹣1+﹣4sin60°．
二．代数式求值（共1小题）
3．（2022•苏州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
三．平方差公式（共2小题）
4．（2022•无锡）计算：
（1）|﹣|×（﹣）2﹣cos60°；
（2）a（a+2）﹣（a+b）（a﹣b）﹣b（b﹣3）．
5．（2022•常州）计算：
（1）（）2﹣（π﹣3）0+3﹣1；
（2）（x+1）2﹣（x﹣1）（x+1）．
四．分式的加减法（共1小题）
6．（2022•连云港）化简+．
五．分式的化简求值（共1小题）
7．（2022•扬州）计算：
（1）2cos45°+（π﹣）0﹣；
（2）（+1）÷．
六．零指数幂（共1小题）
8．（2022•苏州）计算：|﹣3|+22﹣（﹣1）0．
七．二次根式的混合运算（共1小题）
9．（2022•泰州）（1）计算：﹣×；
（2）按要求填空：
小王计算﹣的过程如下：
解：﹣
＝﹣……第一步
＝﹣……第二步
＝……第三步
＝……第四步
＝．……第五步
小王计算的第一步是 　 　（填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第 　 　步出现错误．直接写出正确的计算结果是 　 　．
八．解一元二次方程-配方法（共1小题）
10．（2022•无锡）（1）解方程：x2﹣2x﹣5＝0；
（2）解不等式组：．
九．一元二次方程的应用（共1小题）
11．（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？

一十．解分式方程（共2小题）
12．（2022•苏州）解方程：+＝1．
13．（2022•宿迁）解方程：．
一十一．分式方程的应用（共1小题）
14．（2022•扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？
一十二．解一元一次不等式（共1小题）
15．（2022•连云港）解不等式2x﹣1＞，并把它的解集在数轴上表示出来．
一十三．一元一次不等式的应用（共1小题）
16．（2022•宿迁）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 　 　元；乙超市的购物金额为 　 　元；
（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
一十四．解一元一次不等式组（共1小题）
17．（2022•常州）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

一十五．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
18．（2022•扬州）解不等式组并求出它的所有整数解的和．
一十六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
19．（2022•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝（x＞0）的图像交于点C，连接OC．已知点B（0，4），△BOC的面积是2．
（1）求b、k的值；
（2）求△AOC的面积．

一十七．二次函数的应用（共1小题）
20．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

一十八．平行四边形的性质（共2小题）
21．（2022•宿迁）如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：AF＝CE．

22．（2022•无锡）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：（1）△DOF≌△BOE；
（2）DE＝BF．

一十九．弧长的计算（共1小题）
23．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．

二十．轴对称-最短路线问题（共1小题）
24．（2022•连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC．
（1）求证：四边形DBCE为菱形；
（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．

二十一．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
25．（2022•无锡）如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，点E在BC上，CE＝AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．
（1）求EF的长；
（2）求sin∠CEF的值．

二十二．旋转的性质（共1小题）
26．（2022•常州）如图，点A在射线OX上，OA＝a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°（0＜n≤360）到OA′，那么点A′的位置可以用（a，n°）表示．
（1）按上述表示方法，若a＝3，n＝37，则点A′的位置可以表示为 　 　；
（2）在（1）的条件下，已知点B的位置用（3，74°）表示，连接A′A、A′B．求证：A′A＝A′B．

二十三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
27．（2022•连云港）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE＝45°，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE＝53°，AB＝10m；小亮在点G处竖立标杆FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，FG＝1.5m，GD＝2m．
（1）求阿育王塔的高度CE；
（2）求小亮与阿育王塔之间的距离ED．
（注：结果精确到0.01m，参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327）

28．（2022•宿迁）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保留根号）．

二十四．总体、个体、样本、样本容量（共1小题）
29．（2022•扬州）某校初一年级有600名男生，为增强体质，拟在初一男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动．
（1）A调查组从初一体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中 　 　（填“A”或“B”）调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况；
（2）根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下：
成绩/个
2
3
4
5
7
13
14
15
人数/人
1
1
1
8
5
1
2
1
这组测试成绩的平均数为 　 　个，中位数为 　 　个；
（3）若以（2）中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向上的合格标准，请估计该校初一有多少名男生不能达到合格标准．
二十五．用样本估计总体（共1小题）
30．（2022•苏州）某校九年级640名学生在“信息素养提升”培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并以同一标准折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5个成绩．为了解培训效果，用抽样调查的方式从中抽取了32名学生的2次测试成绩，并用划记法制成了如表表格：
训前
成绩（分）
6
7
8
9
10
划记
正正

正
正

人数（人）
12
4
7
5
4
培训后
成绩（分）
6
7
8
9
10
划记

一

正
正正正
人数（人）
4
1
3
9
15
（1）这32名学生2次测试成绩中，培训前测试成绩的中位数是m，培训后测试成绩的中位数是n，则m　 　n；（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）这32名学生经过培训，测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了多少？
（3）估计该校九年级640名学生经过培训，测试成绩为“10分”的学生增加了多少人？
二十六．扇形统计图（共1小题）
31．（2022•无锡）育人中学初二年级共有200名学生，2021年秋学期学校组织初二年级学生参加30秒跳绳训练，开学初和学期末分别对初二年级全体学生进行了摸底测试和最终测试，两次测试数据如下：
育人中学初二学生30秒跳绳测试成绩的频数分布表
跳绳个数（x）
x≤50
50＜x≤60
60＜x≤70
70＜x≤80
x＞80
频数（摸底测试）
19
27
72
a
17
频数（最终测试）
3
6
59
b
c
（1）表格中a＝　 　；
（2）请把下面的扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）
（3）请问经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数有多少？


二十七．条形统计图（共2小题）
32．（2022•宿迁）为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校m名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图．根据图表信息，解答下列问题：

（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数．
33．（2022•常州）为减少传统塑料袋对生态环境的破坏，国家提倡使用可以在自然环境下（特定微生物、温度、湿度）较快完成降解的环保塑料袋．调查小组就某小区每户家庭1周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查，使用情况为A（不使用）、B（1～3个）、C（4～6个）、D（7个及以上），以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．
（1）本次调查的样本容量是 　 　，请补全条形统计图；
（2）已知该小区有1500户家庭，调查小组估计：该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．调查小组的估计是否合理？请说明理由．

二十八．列表法与树状图法（共4小题）
34．（2022•苏州）一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为 　 　；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
35．（2022•宿迁）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 　 　；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
36．（2022•泰州）即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热．小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．用列表或画树状图的方法列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道A与通道D的概率．
37．（2022•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y＝x；②函数表达式为y＝x2；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是 　 　；
（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．

参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2022•连云港）计算（﹣10）×（﹣）﹣+20220．
【解答】解：原式＝5﹣4+1
＝2．
2．（2022•宿迁）计算：（）﹣1+﹣4sin60°．
【解答】解：原式＝2+2﹣4×
＝2+2﹣2
＝2．
二．代数式求值（共1小题）
3．（2022•苏州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1+x2+x
＝2x2﹣x+1，
∵3x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣x＝1，
∴原式＝2（x2﹣x）+1
＝2×1+1
＝3．
三．平方差公式（共2小题）
4．（2022•无锡）计算：
（1）|﹣|×（﹣）2﹣cos60°；
（2）a（a+2）﹣（a+b）（a﹣b）﹣b（b﹣3）．
【解答】解：（1）原式＝×3﹣
＝﹣
＝1；
（2）原式＝a2+2a﹣（a2﹣b2）﹣b2+3b
＝a2+2a﹣a2+b2﹣b2+3b
＝2a+3b．
5．（2022•常州）计算：
（1）（）2﹣（π﹣3）0+3﹣1；
（2）（x+1）2﹣（x﹣1）（x+1）．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1+
＝；
（2）原式＝（x2+2x+1）﹣（x2﹣1）
＝x2+2x+1﹣x2+1
＝2x+2．
四．分式的加减法（共1小题）
6．（2022•连云港）化简+．
【解答】解：原式＝+
＝
＝
＝．
五．分式的化简求值（共1小题）
7．（2022•扬州）计算：
（1）2cos45°+（π﹣）0﹣；
（2）（+1）÷．
【解答】解：（1）原式＝2×+1﹣2
＝+1﹣2
＝1﹣；
（2）原式＝（+）•
＝•
＝．
六．零指数幂（共1小题）
8．（2022•苏州）计算：|﹣3|+22﹣（﹣1）0．
【解答】解：原式＝3+4﹣1
＝6．
七．二次根式的混合运算（共1小题）
9．（2022•泰州）（1）计算：﹣×；
（2）按要求填空：
小王计算﹣的过程如下：
解：﹣
＝﹣……第一步
＝﹣……第二步
＝……第三步
＝……第四步
＝．……第五步
小王计算的第一步是 　因式分解　（填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第 　三　步出现错误．直接写出正确的计算结果是 　　．
【解答】解：（1）原式＝3﹣
＝3﹣
＝2；
（2）﹣
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝
＝，
小王计算的第一步是因式分解，计算过程的第三步出现错误．直接写出正确的计算结果是．
故答案为：因式分解，三，．
八．解一元二次方程-配方法（共1小题）
10．（2022•无锡）（1）解方程：x2﹣2x﹣5＝0；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝5+1，
（x﹣1）2＝6，
∴x﹣1＝±，
解得x1＝1+，x2＝1﹣；
（2），
解不等式①，得：x＞1，
解不等式②，得：x≤，
∴原不等式组的解集是1＜x≤．
九．一元二次方程的应用（共1小题）
11．（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？

【解答】解：设路宽应为x米
根据等量关系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，
解得：x＝4或40，
40不合题意，舍去，
所以x＝4，
答：道路的宽应为4米．
一十．解分式方程（共2小题）
12．（2022•苏州）解方程：+＝1．
【解答】解：方程两边同乘以x（x+1）得：
x2+3（x+1）＝x（x+1），
解整式方程得：x＝﹣，
经检验，x＝﹣是原方程的解，
∴原方程的解为x＝﹣．
13．（2022•宿迁）解方程：．
【解答】解：＝1+，
2x＝x﹣2+1，
x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是原方程的解，
则原方程的解是x＝﹣1．
一十一．分式方程的应用（共1小题）
14．（2022•扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？
【解答】解：设每个小组有学生x名，
由题意得：，
解得：x＝10，
当x＝10时，12x≠0，
∴x＝10是分式方程的根，
答：每个小组有学生10名．
一十二．解一元一次不等式（共1小题）
15．（2022•连云港）解不等式2x﹣1＞，并把它的解集在数轴上表示出来．
【解答】解：去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，
移项，得：4x﹣3x＞﹣1+2，
合并同类项，得：x＞1，
将不等式解集表示在数轴上如下：
．
一十三．一元一次不等式的应用（共1小题）
16．（2022•宿迁）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 　300　元；乙超市的购物金额为 　240　元；
（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
【解答】解：（1）∵10×30＝300（元），300＜400，
∴在甲超市的购物金额为300元，在乙超市的购物金额为300×0.8＝240（元）．
故答案为：300；240．
（2）设购买x件这种文化用品．
当0＜x≤40时，在甲超市的购物金额为10x元，在乙超市的购物金额为0.8×10x＝8x（元），
∵10x＞8x，
∴选择乙超市支付的费用较少；
当x＞40时，在甲超市的购物金额为400+0.6（10x﹣400）＝（6x+160）（元），在乙超市的购物金额为0.8×10x＝8x（元），
若6x+160＞8x，则x＜80；
若6x+160＝8x，则x＝80；
若6x+160＜8x，则x＞80．
综上，当购买数量不足80件时，选择乙超市支付的费用较少；当购买数量为80件时，选择两超市支付的费用相同；当购买数量超过80件时，选择甲超市支付的费用较少．
一十四．解一元一次不等式组（共1小题）
17．（2022•常州）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

【解答】解：由5x﹣10≤0，得：x≤2，
由x+3＞﹣2x，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

一十五．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
18．（2022•扬州）解不等式组并求出它的所有整数解的和．
【解答】解：，
解不等式①，得：x≥﹣2，
解不等式②，得：x＜4，
∴原不等式组的解集是﹣2≤x＜4，
∴该不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，
∵﹣2+（﹣1）+0+1+2+3＝3，
∴该不等式组所有整数解的和是3．
一十六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
19．（2022•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝（x＞0）的图像交于点C，连接OC．已知点B（0，4），△BOC的面积是2．
（1）求b、k的值；
（2）求△AOC的面积．

【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象过点B（0，4），
∴b＝4，
∴一次函数为y＝2x+4，
∵OB＝4，△BOC的面积是2．
∴OB•xC＝2，即＝2，
∴xC＝1，
把x＝1代入y＝2x+4得，y＝6，
∴C（1，6），
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×6＝6；

（2）把y＝0代入y＝2x+4得，2x+4＝0，解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴S△AOC＝＝6．
一十七．二次函数的应用（共1小题）
20．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x） m，
∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，
解得x＝2或x＝6，
经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去，
∴x＝2，
答：此时x的值为2m；
（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，
∵墙的长度为10，
∴0＜x≤，
根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当x＝时，y取最大值，最大值为﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），
答：当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．
一十八．平行四边形的性质（共2小题）
21．（2022•宿迁）如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：AF＝CE．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵点E、F分别是边AB、CD的中点，
∴AE＝BE＝CF＝DF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE．
22．（2022•无锡）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：（1）△DOF≌△BOE；
（2）DE＝BF．

【解答】证明：（1）∵点O为对角线BD的中点，
∴OD＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，
∴∠DFE＝∠BEF，
在△DOF和△BOE中，
，
∴△DOF≌△BOE（AAS）．
（2）∵△DOF≌△BOE，
∴DF＝EB，
∵DF∥EB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE＝BF．
一十九．弧长的计算（共1小题）
23．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．

【解答】解：（1）设BC与⊙O交于点M，

当t＝2.5时，BE＝2.5，
∵EF＝10，
∴OE＝EF＝5，
∴OB＝2.5，
∴EB＝OE，
在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴ME＝MO，
又∵MO＝EO，
∴ME＝EO＝MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM＝90°，
∴＝＝，
即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为；
（2）连接GO，HO，

∵∠GOH＝90°，
∴∠AOG+∠BOH＝90°，
∵∠AGO+∠AOG＝90°，
∴∠AGO＝∠BOH，
在△AGO和△OBH中，
，
∴△AGO≌△BOH（AAS），
∴OB＝AG＝t﹣5，
∵AB＝7，
∴AE＝t﹣7，
∴AO＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2＝OG2，
∴（t﹣5）2+（12﹣t）2＝52，
解得：t1＝8，t2＝9，
即t的值为8或9．
二十．轴对称-最短路线问题（共1小题）
24．（2022•连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC．
（1）求证：四边形DBCE为菱形；
（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
∵E在AD的延长线上，
∴DE∥BC，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∵BE⊥DC，
∴四边形DBCE是菱形；
（2）解：作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，如图：

由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，
∴PM+PN＝PM+PN'，
∴当P、M、N'共线时，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，
∵DE∥BC，
∴MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，
在Rt△DBH中，
∠DBC＝60°，DB＝2，
∴DH＝DB•sin∠DBC＝2×＝，
∴PM+PN的最小值为．
二十一．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
25．（2022•无锡）如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，点E在BC上，CE＝AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．
（1）求EF的长；
（2）求sin∠CEF的值．

【解答】解：（1）∵CE＝AE，
∴∠ECA＝∠EAC，
根据翻折可得：∠ECA＝∠FCA，∠BAC＝∠CAF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DA∥CB，
∴∠ECA＝∠CAD，
∴∠EAC＝∠CAD，
∴∠DAF＝∠BAE，
∵∠BAD＝90°，
∴∠EAF＝90°，
设CE＝AE＝x，则BE＝4﹣x，
在△BAE中，根据勾股定理可得：
BA2+BE2＝AE2，
即：，
解得：x＝3，
在Rt△EAF中，EF＝＝．
（2）过点F作FG⊥BC交BC于点G，
设CG＝x，则GE＝3﹣x，
∵FC＝4，FE＝，
∴FG2＝FC2﹣CG2＝FE2﹣EG2，
即：16﹣x2＝17﹣（3﹣x）2，
解得：x＝，
∴FG＝＝，
∴sin∠CEF＝＝．

二十二．旋转的性质（共1小题）
26．（2022•常州）如图，点A在射线OX上，OA＝a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°（0＜n≤360）到OA′，那么点A′的位置可以用（a，n°）表示．
（1）按上述表示方法，若a＝3，n＝37，则点A′的位置可以表示为 　（3，37°）　；
（2）在（1）的条件下，已知点B的位置用（3，74°）表示，连接A′A、A′B．求证：A′A＝A′B．

【解答】（1）解：由题意，得A′（a，n°），
∵a＝3，n＝37，
∴A′（3，37°），
故答案为：（3，37°）；
（2）证明：如图：

∵A′（3，37°），B（3，74°），
∴∠AOA′＝37°，∠AOB＝74°，OA＝OB＝3，
∴∠A′OB＝∠AOB﹣∠AOA′＝74°﹣37°＝37°，
∵OA′＝OA′，
∴△AOA′≌△BOA′（SAS），
∴A′A＝A′B．
二十三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
27．（2022•连云港）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE＝45°，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE＝53°，AB＝10m；小亮在点G处竖立标杆FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，FG＝1.5m，GD＝2m．
（1）求阿育王塔的高度CE；
（2）求小亮与阿育王塔之间的距离ED．
（注：结果精确到0.01m，参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327）

【解答】解：（1）在Rt△CAE中，
∵∠CAE＝45°，
∴CE＝AE，
∵AB＝10m，
∴BE＝AE﹣10＝CE﹣10，
在Rt△CEB中，
tan∠CBE＝tan53°＝＝，
∴1.327≈，
解得CE≈40.58（m）；
答：阿育王塔的高度CE约为40.58m；
（2）由题意知：∠CED＝90°＝∠FGD，∠FDG＝∠CDE，
∴△FGD∽△CED，
∴＝，即＝，
解得ED≈54.11（m），
答：小亮与阿育王塔之间的距离ED是54.11m．
28．（2022•宿迁）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保留根号）．

【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，

由题意得：
AB＝DE＝20m，
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，
∴AE＝＝＝20（m），
在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，
∴CE＝AE•tan45°＝20×1＝20（m），
∴CD＝CE+DE＝（20+20）m，
∴信号塔的高度为（20+20）m．

二十四．总体、个体、样本、样本容量（共1小题）
29．（2022•扬州）某校初一年级有600名男生，为增强体质，拟在初一男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动．
（1）A调查组从初一体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中 　B　（填“A”或“B”）调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况；
（2）根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下：
成绩/个
2
3
4
5
7
13
14
15
人数/人
1
1
1
8
5
1
2
1
这组测试成绩的平均数为 　7　个，中位数为 　5　个；
（3）若以（2）中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向上的合格标准，请估计该校初一有多少名男生不能达到合格标准．
【解答】解：（1）从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况，
故答案为：B；
（2）这组测试成绩的平均数为：（2×1+3×1+4×1+5×8+7×5+13×1+14×2+15×1）＝7（个），
中位数为：5（个），
故答案为：7，5；
（3）600×＝90（人），
答：校初一有90名男生不能达到合格标准．
二十五．用样本估计总体（共1小题）
30．（2022•苏州）某校九年级640名学生在“信息素养提升”培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并以同一标准折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5个成绩．为了解培训效果，用抽样调查的方式从中抽取了32名学生的2次测试成绩，并用划记法制成了如表表格：
训前
成绩（分）
6
7
8
9
10
划记
正正

正
正

人数（人）
12
4
7
5
4
培训后
成绩（分）
6
7
8
9
10
划记

一

正
正正正
人数（人）
4
1
3
9
15
（1）这32名学生2次测试成绩中，培训前测试成绩的中位数是m，培训后测试成绩的中位数是n，则m　＜　n；（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）这32名学生经过培训，测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了多少？
（3）估计该校九年级640名学生经过培训，测试成绩为“10分”的学生增加了多少人？
【解答】解：∵培训前测试成绩的中位数m＝＝7.5，培训后测试成绩的中位数n＝＝9，
∴m＜n；
故答案为：＜；
（2）培训前：×100%，培训后：×100%，
×100%﹣×100%＝25%，
答：测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了25%；
（3）培训前：640×＝80，培训后：640×＝300，
300﹣80＝220，
答：测试成绩为“10分”的学生增加了220人．
二十六．扇形统计图（共1小题）
31．（2022•无锡）育人中学初二年级共有200名学生，2021年秋学期学校组织初二年级学生参加30秒跳绳训练，开学初和学期末分别对初二年级全体学生进行了摸底测试和最终测试，两次测试数据如下：
育人中学初二学生30秒跳绳测试成绩的频数分布表
跳绳个数（x）
x≤50
50＜x≤60
60＜x≤70
70＜x≤80
x＞80
频数（摸底测试）
19
27
72
a
17
频数（最终测试）
3
6
59
b
c
（1）表格中a＝　65　；
（2）请把下面的扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）
（3）请问经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数有多少？


【解答】解：（1）a＝200﹣19﹣27﹣72﹣17＝65，
故答案为：65；
（2）100%﹣41%﹣29.5%﹣3%﹣1.5%＝25%，
扇形统计图补充：如图所示：

（3）200×25%＝50（人），
答：经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数有50人．
二十七．条形统计图（共2小题）
32．（2022•宿迁）为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校m名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图．根据图表信息，解答下列问题：

（1）m＝　200　，n＝　30　；
（2）补全条形统计图；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数．
【解答】解：（1）n%＝1﹣（15%+5%+25%+25%）＝30%，
∴n＝30，
m＝10÷5%＝200；
故答案为：200，30；
（2）参加“综合与实践”活动天数为3天的学生人数为200×15%＝30（名），
补全条形图如下：

（3）估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数为2000×（1﹣5%﹣15%）＝1600（名）．
33．（2022•常州）为减少传统塑料袋对生态环境的破坏，国家提倡使用可以在自然环境下（特定微生物、温度、湿度）较快完成降解的环保塑料袋．调查小组就某小区每户家庭1周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查，使用情况为A（不使用）、B（1～3个）、C（4～6个）、D（7个及以上），以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．
（1）本次调查的样本容量是 　100　，请补全条形统计图；
（2）已知该小区有1500户家庭，调查小组估计：该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．调查小组的估计是否合理？请说明理由．

【解答】解：（1）20÷20%＝100，
所以本次调查的样本容量为100；
C类户数为100×25%＝25（户），
B类户数为100﹣20﹣25﹣15＝40（户），
补全条形统计图为：

故答案为：100；
（2）调查小组的估计合理．
理由如下：
因为1500×＝225（户），
所以根据该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．
二十八．列表法与树状图法（共4小题）
34．（2022•苏州）一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为 　　；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【解答】解：（1）∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为：＝．
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：

共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，
∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为＝．
35．（2022•宿迁）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 　　；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
【解答】解：（1）由题意可得，
甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，有3种可能性，其中选中丙的有1种可能性，
故恰好选中丙的概率是，
故答案为：；
（2）树状图如下：

由上可得，一共有12种可能性，其中一定有乙的可能性有6种，
故一定有乙的概率是＝．
36．（2022•泰州）即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热．小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．用列表或画树状图的方法列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道A与通道D的概率．
【解答】解：树状图如下所示，

由上可得，一共有6种可能性，其中恰好经过通道A与通道D的可能性有1种，
∴恰好经过通道A与通道D的概率为．
37．（2022•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y＝x；②函数表达式为y＝x2；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是 　　；
（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．
【解答】解：（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：

①
②
③
①③
②③
④
①④
②④
⑤
①⑤
②⑤
由表知，共有6种等可能结果，其中抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的①③、①⑤、②④这3个，
所以2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为＝．