2021-2022学年山东省淄博市桓台县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版）

2021-2022学年山东省淄博市桓台县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若，则的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，，若的面积为，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，则化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是(    )

A. 无实根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定

6. 某商品每次降价，连续两次降价后的价格为元，则原价为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

7. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

8. 如图，，且：：，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形放大为原来的倍，得到，则点的对应点的坐标是(    )

A.
B.
C. 或
D. 或

10. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，点的纵坐标是，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在中，，，，若内接正方形的边长是，则、、的数量关系为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，是的中线，点在上，延长交于点，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

13. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于______．
14. 如图，四边形∽四边形，，，，则______．

15. 二次根式有意义，则实数的取值范围是______．
16. 如图，如果正方形的面积为，正方形的面积为，则的面积等于______．

17. 已知点是线段的黄金分割点，，若，则的值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

18. 若，求的值．

四、解答题（本大题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 如图，是的角平分线，过点分别作和的平行线，交于，交于，求证：四边形是菱形．

20. 九章算术中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端点观察井内水岸点，视线与井口的直径交于点如果测得米，米，米．请求出井深的长．

21. 一次学术研讨会上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了次手，这次会议到会的人数是多少？
22. 如图，已知点是坐标原点，，．
    
    以点为位似中心，在轴的上方将放大到原图的倍，即新图与原图的相似比为，画出对应的；
    直接写出放大后的面积：______．
23. 如图，点，，，在同一条直线上，且，，，与交于点．
    求证：≌．
    连结，若，，求的长．

24. 如图，在矩形中，，，直角三角板的直角顶点在上滑动，点与，不重合，一直角边经过点，另一直角边与射线交于点．
    求证：∽；
    当时，求的长；
    是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：；
．
故选A．
先将化简成含有的代数式，然后再代入数值求值．
解答此类问题时要先化简，然后再整体代入进行求值计算．
 

2.【答案】 

【解析】解：与关于原点位似，，
与相似比为：：，
与面积之比为：，
的面积为，
的面积为：．
故选：．
直接利用位似图形的性质得出与的面积比，进而得出答案．
此题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关知识是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，关键是掌握．
由知，，再利用完全平方公式和求解可得．
【解答】
解：，
，，
则原式

，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
，，
，
∽，
，即，
解得：．
答：该古城墙的高度为．
故选：．
利用入射与反射得到，则可判断∽，于是根据相似三角形的性质即可求出．
本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据图象可得，，
所以，，
因为，
所以，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先利用一次函数的性质得，，再计算判别式的值得到，于是可判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．
 

6.【答案】 

【解析】解：原价为：元；
故选：．
把原价看作单位“”，每降价一次，价格就是原价的．
本题主要考查列代数式，本题的关键是把原价看作单位“”，再分析题意列出代数式．
 

7.【答案】 

【解析】解：设原来矩形的长为，宽为，
则对折后的矩形的长为，宽为，
得到的两个矩形都和原矩形相似，
：：，
解得：：．
故选：．
表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
解得：，
故选：．
由平行线分线段成比例定理得，即可得出结论．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：以原点为位似中心，把放大为原来的倍，得到，，
点的对应点的坐标是或，即或．
故选：．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了菱形的性质与点与坐标的关系，此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
首先连接交于点，根据菱形的性质可得，，，即可求得点的坐标．
【解答】
解：如图，连接，交于点，

四边形是菱形，
，，，
点的坐标是，点的纵坐标是，
，，
，
点的坐标为：．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：如图，设与交于点，

四边形是正方形，
，，
∽，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，正方形的边长是，
，
，
，
，
，
，
故选：．
先根据正方形的性质得到，从而证明∽，根据相似三角形的性质可列出比例式，再通过证明四边形是矩形表示出的长度，即可求解．
本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是证明∽后列出比例式．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作交于，
则，
是的中线，
，
，
，
，
，
故选：．
过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
把代入方程有：
，
．
故答案是．
因为是方程的一个根，所以可以把代入方程，就能求出代数式的值．
本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，求出代数式的值．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形∽四边形，，，，
，，
．
故答案为：．
利用相似多边形的对应角相等以及四边形内角和定理求得答案即可．
此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等．也考查了四边形内角和定理．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：正方形的面积为，正方形的面积为，
，，
．
故答案为：．
先求出正方形的边长，根据计算即可．
本题考查二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活掌握三角形的面积公式，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 

【解析】解：点是线段的黄金分割点，且，，
，
故答案为：．
根据黄金分割点的定义，知是较长线段，代入计算即可．
此题考查了黄金分割点的概念．识记黄金分割的公式是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
． 

【解析】利用已知变形，进而代入原式化简得出答案．
本题考查了比例的性质，关键是熟悉内项之积等于外项之积．
 

19.【答案】证明：是的角平分线，
，
，，
四边形是平行四边形，，

，
四边形是菱形． 

【解析】由已知易得四边形是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得，，四边形是菱形；
本题考查角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：由题意得：
，
，，
∽，
，
，
解得：，
答：井深的长为米． 

【解析】根据字模型相似三角形证明∽，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：设这次会议到会的人数是人，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：这次会议到会的人数是人． 

【解析】设这次会议到会的人数是人，根据每两个参加会议的人都相互握了一次手且共握了次手，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求．

．
故答案为：．
根据位似的性质作图即可．
利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：如图：

≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
的长为． 

【解析】根据平行线的性质可得，根据等式的性质可得，从而利用证明即可解答；
利用的结论可得，从而可得四边形是平行四边形，进而可得，，然后证明字模型相似三角形∽，利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
∽；
解：在中，，，
，
，
，
，
，
，
中，，
；
解：假设存在满足条件的点，
设，则，
∽，
根据的周长等于周长的倍，得到两三角形的相似比为，
，即，
解得，
，
． 

【解析】根据矩形的性质，推出，再由直角三角形的性质，得出，又因，推出，，从而证明∽；
根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得结论；
假设存在满足条件的点，设，则，由∽知，解得的值，从而得结论．
此题是相似三角形的综合题，考查了矩形的性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定等知识，根据的周长等于周长的倍，得到两三角形的相似比为是解题关键．