2021-2022学年山东省淄博市临淄区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2021-2022学年山东省淄博市临淄区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1. 函数中，自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，点，都在格点上，点在线段上，每个小格长度为，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 估计的值应在之间．(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

6. 如果方程是关于的一元二次方程，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D. 都不对

7. 根据下面表格中的对应值：

判断方程为常数的一个解的范围是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 已知多项式，为任意实数，试比较多项式与的大小．(    )

A. 无法确定 B.  C.  D.

9. 已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关

10. 已知：
    问题，某厂用年时间把总产值增加了原来的倍，求每年平均增长的百分数；
    问题，总产值用年的时间在原来万元的基础上增加了万元，求每年平均增长的百分数；
    问题，某厂用年的时间把总产值增加到原来的倍，求每年平均增长的百分数．
    设每年平均增长的百分数，那么下面的三个方程：，，，按问题、、的序号排列，相对应的是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 若关于的一元二次方程有一根为，则方程必有根为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 对于一元二次方程，下列说法：若，则；若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；若是方程的一个很，则一定有成立；若是一元二次方程的根，则其中正确的(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20分）

13. ______ ．
14. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则分解因式：______．
15. 阅读理解：设，，若，则，即，已知，，且，则的值为______．
16. 我国古代数学著作增删算法统宗记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边相距步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是______．
17. 关于的方程，，是方程的两个根，设，则当的值为时，______．

三、解答题（本大题共7小题，共70分）

18. 计算：；
    ．
19. 在进行二次根式化简时，我们有时会遇到如，这样的式子，可以将其进一步化简：；以上这种化简的方法叫做分母有理化．
    请化简下列各题写出化简过程：
    ；
    ；
    ．
20. 如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙墙长米，另三边用总长米的栏杆围成，留米宽的门，若想建成面积为平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？

21. 已知关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，．
    求的取值范围；
    当时，解这个方程；
    若，是方程的两个实数根，设，试求的最小值．
22. 请用配方法解方程；
    请用配方法解一元二次方程．
23. 直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．
    若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
    小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件元为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过中的售价，则该商品至少需打几折销售？
24. 如图，在梯形中，，，，，动点从点出发，沿线段的方向以每秒个单位长度的速度运动，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动．点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动时间为，当为何值时，以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
．
故选：．
根据题意得且，然后解不等式组即可．
本题考查了函数自变量的取值范围：对于，当时有意义；如果函数关系式中有分母，则分母不能为．
 

2.【答案】 

【解析】解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.是最简二次根式，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用最简二次根式的定义，进而分析得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，原计算正确，故此选项符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
C、原式，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、原式，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式加减法运算法则判断和，根据二次根式乘法的运算法则判断，根据二次根式的性质判断．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式加减法，二次根式乘法运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：点，都在格点上，点在线段上，每个小格长度为，
，
，
，
即的长为，
故选：．
由勾股定理求出的长，即可得出结论．
本题考查了勾股定理，由勾股定理求出的长是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式
，
，
，
，
故选：．
先化简，再估算无理数的大小即可得出答案．
本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由一元二次方程的定义可知，
解得．
故选C．
本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为；
是整式方程；
含有一个未知数．据此即可得到，，即可求得的范围．
要特别注意二次项系数这一条件，当时，上面的方程就是一元一次方程了．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据表中数据可得：
当时，，
当时，，
当时，
方程，
故选：．
根据表中数据可得当时，，当时，，从而可得当取和之间的某一个数时，使得方程，即可判断．
本题考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故选：．
先求出的差，再利用完全平方公式以及偶次方的性质即可求出与的大小．
此题主要考查了配方法的应用，用到的知识点是运用公式法分解因式，配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】
解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：问题，设每年平均增长的百分数是，则
．
问题，设每年平均增长的百分数是，则．
．
问题，设每年平均增长的百分数是，则．
．
故选：．
问题，设每年平均增长的百分数是，根据某厂用年时间把总产值增加了原来的倍，把两年前的看作单位，可列方程求解．
问题，设每年平均增长的百分数是，根据某工厂总产值用年的时间在原来万元的基础上增加了万元，可列方程求解．
问题，设每年平均增长的百分数是，根据某厂用年时间把总产值增加到原来的倍，把两年前的看作单位，可列方程求解．
考查理解题意的能力，关键是设出增长率，根据两年前和两年后的产量，列方程求解．本题注意区分增加了和增加到表示的意思．
 

11.【答案】 

【解析】解：由得到，
对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程有一根为．
故选：．
对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

12.【答案】 

【解析】解：若，则是方程的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：，故正确；
方程有两个不相等的实根，
，

则方程的判别式，
方程必有两个不相等的实根，
故正确；
是方程的一个根，
则，
，
若，等式仍然成立，
但不一定成立，
故不正确；
若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：，
，
，
故正确．
故正确的有，
故选：．
根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除．
本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为．
利用二次根式的性质化简即可．
本题考查了最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
 

14.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，
，
故答案为：．
本题考查了对一元二次方程的解和分解因式的关系的理解和运用，当、是方程的两个根，则分解因式为，代入求出即可．
本题考查了分解因式和解一元二次方程的解的应用，注意：当、是方程的两个根，则分解因式为
 

15.【答案】或 

【解析】解：，，且，
，
．
解得，．
即的值是或．
故答案是：或．
根据平面向量互相垂直的定义得到，通过解方程求得的值即可．
本题主要考查了平面向量，解题的关键是弄清楚互相垂直的平面向量的性质：若，则，即．
 

16.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是：．
故答案为：．
直接利用圆的面积减去正方形面积进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：根据根与系数的关系得，，
，
，
，
整理得，
解得，，
，，
．
故答案为：．
先根据根与系数的关系得到，，则利用得到，整理得，接着解关于的方程，然后利用和确定的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

18.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先将各数化简，再合并即可；
先算乘法和完全平方，再去括号，合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
 

19.【答案】解：原式

；

原式
；

原式

． 

【解析】直接利用分母有理化化简二次根式得出答案；
直接利用分母有理化化简二次根式得出答案；
直接利用分母有理化化简二次根式，再合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

20.【答案】解：设垂直于墙的一边的长为米，则平行于墙的一边的长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：车棚垂直于墙的一边的长为米． 

【解析】设垂直于墙的一边的长为米，则平行于墙的一边的长为米，根据自行车棚的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙长米，即可得出车棚垂直于墙的一边的长为米．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：根据题意得，
解得，
即的取值范围为；
当时，方程化为，
，
，
，
所以，；
根据根与系数的关系得，，



，
，
当时，有最小值，最小值为． 

【解析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；
当时，方程化为，然后利用配方法解方程即可；
根据根与系数的关系得，，则，配方得到，利用非负数的性质得到当时，有最小值，最小值为．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

22.【答案】解：方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，． 

【解析】方程二次项系数化为，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解；
方程二次项系数化为，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
此题考查了解一元二次方程配方法，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
 

23.【答案】解：设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，舍去．
答：售价应定为元；
该商品需要打折销售，
由题意，得，，
解得：，
答：该商品至少需打折销售． 

【解析】根据日利润每件利润日销售量，可求出售价为元时的原利润，设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件，根据日利润每件利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
设该商品需要打折销售，根据销售价格不超过元，列出不等式求解即可．
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，当时，作于，
，
，
，
，


解得：．
当时，如图，作于，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，．
在中，由勾股定理，得
．
，
解得：；
当时，作于，
，
，
，
，
．
．
解得：，

．
综上所述，，或时以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形．
 

【解析】以，，为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当时，当时，当时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．
本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据根据等腰三角形的性质建立方程是关键．