2021-2022学年陕西省西安市西咸新区沣东新城六中八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年陕西省西安市西咸新区沣东新城六中八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 徽章交换是现代奥林匹克运动会特有的文化活动．深受运动员、志愿者、媒体记者及工作人员的喜爱．一枚小小的徽章不仅是参与奥运盛会的证明，更是交流奥林匹克精神与世界文化的小窗口．在年北京冬奥会上徽章交换依然深受欢迎．下列徽章图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 、都是实数，且，则下列不等式不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，四边形是平行四边形，点，，，在同一条直线上，请添加一个条件使得≌，下列不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如果把分式中的，同时变为原来的倍，那么该分式的值(    )

A. 扩大为原来的倍 B. 缩小为原来的
C. 缩小为原来的 D. 不变

6. 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到若点刚好落在边上，且，若，则旋转的角度为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，，，分别是角平分线和中线，过点作于点，连接，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

9. 要使分式有意义，则的取值范围是______．
10. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为______．

11. 若关于的方程的解是正数，则的取值范围是______．
12. 不等式组：的解集为______．
13. 如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是______．

三、解答题（本大题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 因式分解：
    ；
    ．
15. 解方程：
    ；
    ．
16. 化简：
    ；
    ．
17. 先化简：，再从中选择一个合适的整数代入求值．
18. 如图，在一个边长为米的正方形铁皮的四角各剪去一个边长为米的正方形．
    用含和的代数式表示剩余铁皮的面积；
    利用因式分解的知识计算，当，时，剩余铁皮的面积是多少平方米．

19. 如图，点，分别是的边，的中点，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长．

20. 在中，角、、所对的边的长分别为、、，若且试证明是等边三角形．
21. 若关于的方程有增根，求实数的值．
22. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，每个方格的边长均为个单位长度．
    请画出关于原点对称的图形，并写出，，三点的坐标．
    将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的．

23. 如图，在▱中，延长到点，延长到点，使得，连接，分别交，于点，，连接，．
    求证：四边形是平行四边形．

24. 在双减背景下，西安某中学为让学生们扔下繁重的作业负担，置身于丰富多彩的阅读中，计划开展以“我阅读，我快乐”为主题的阅读分享活动，学校图书室计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的倍，用元单独购买甲图书比用元单独购买乙图书要少本．
    甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
    如果学校图书室计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的倍多本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
25. 如图，已知是的角平分线，于点，于点，．
    求证：是等腰三角形；
    若，，求的长．

26. 如图，是的中线，是线段上一点不与点重合交于点，，连结．
    
    如图，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；
    如图，当点不与重合时，中的结论还成立吗？请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、在不等式的两边都加上，不等号的方向不变，即，原变形正确，故本选项不符合题意；
B、在不等式的两边都乘，再加上，不等号的方向改变，即，原变形正确，故本选项不符合题意；
C、在不等式的两边都乘，不等号的方向不变，即，原变形正确，故本选项不符合题意；
D、在不等式的两边都乘，不等号的方向改变，即，必须规定，原变形错误，故本选项符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.等式的右边不是几个整式的积的形式含有分式，不是分解因式，故本选项不符合题意；
C.从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
D.从左到右的变形是整式乘法运算，不是分解因式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据分解因式的定义逐个判断即可．
本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
A.若添加，则无法证明≌，故选项A符合题意；
B.若添加，运用可以证明≌，故选项B不符合题意；
C.若添加，运用可以证明≌，故选项C不符合题意；
D.若添加，运用可以证明≌，故选项D不符合题意．
故选：．
根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
 

5.【答案】 

【解析】解：把分式中的，同时变为原来的倍结果为：
，
是原来的．
故选B．
利用分式的基本性质即可求解．
本题主要考查了分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以一个不为的数或式分式的值不变．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
将绕点按逆时针方向旋转得到，
，
，
，
旋转的角度为，
故选：．
由等腰三角形的性质得出，由三角形外角的性质求出，由旋转的性质得出，进而得出，由三角形内角和定理求出，继而得出答案．
本题考查了旋转的性质，掌握等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，得：，
解不等式，得：，
不等式组无解，
，
解得，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集情况得出关于的不等式，解之即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：延长交于，
为的角平分线，，
是等腰三角形，
，，
，
为的中线，
是的中位线，
，
故选：．
延长交于，根据等腰三角形的判定和性质得到，，进而求出，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形的中位线定理、等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
．
故答案为：．
根据分式有意义的条件：分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
以两函数图象交点为分界，直线在直线的下方时，．
【解答】
解 ：把代入得，，
根据图象可得：关于的不等式的解集为：，
故答案为：．  

11.【答案】且 

【解析】解：，
，
，
，
，
该方程的解是正数，且，
，
且．
故答案为：且．
先解分式方程，再根据该方程解为整数及有意义的条件即可得的不等式，进一步即可得的取值范围．
本题主要考查分式方程含参问题，正确掌握此类题型的解法是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转，
，，，
是等腰直角三角形，
，
当最大时，值最大，
在中，，
，
最大值为，
最大值为，
故答案为：．
将绕点顺时针旋转，得是等腰直角三角形，当最大时，值最大，在中，，得最大值为，即可求解．
本题考查了正方形的性质，图形的旋转，三角形的三边关系，解题关键是手拉手模型的构建．
 

14.【答案】解：

．


． 

【解析】先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解．
先提公因式，再逆用完全平方公式进行因式分解．
本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．
 

15.【答案】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是；

，
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即原分式方程无解． 

【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

16.【答案】解：原式



；
原式


． 

【解析】先把除法变乘法，再进行分式的混合运算；
先把整式化成分式的形式，再进行分式的混合运算．
本题考查了分式的混合运算，因式分解是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式


．
，，，
当时，原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的的值代入进行计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，注意分式的化简顺序及运算符号是解题的关键．
 

18.【答案】解：由图可得，
剩余铁皮的面积是平方米；
当，时，




，
即剩余铁皮的面积是平方米． 

【解析】根据图形，可以用含和的代数式表示剩余铁皮的面积；
将，代入中的结果，然后利用平方差公式，可以求得剩余铁皮的面积是多少平方米．
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
 

19.【答案】解：、分别是的边、的中点，
为的中位线，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
． 

【解析】先证明为的中位线，得到四边形为平行四边形，求出，根据中位线定理即可求解．
本题考查了三角形中位线定理，平行四边形判定与性质，熟知三角形中位线定理是解题关键．
 

20.【答案】证明：，
，
，
在中，
，
，
，，
是等腰三角形，
，
是等边三角形． 

【解析】根据完全平方公式进行变形，然后根据等边三角形的判定即可解决问题．
本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握完全平方公式．
 

21.【答案】解：该方程的最简公分母是，
该方程的增根为或，
方程两边同乘以得，，
当时，，
解得；
当时，，
，
实数的值为或． 

【解析】先确定增根的值，再把该方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程求解即可．
此题考查了分式方程增根问题的解决能力，关键是能根据增根的意义，利用整式方程进行求解．
 

22.【答案】解：如图所示，即为所求，，，；
如图所示，即为所求． 

【解析】利用关于原点对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
根据旋转的性质作出对应点的位置即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，，
，
即，
在与中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】根据平行四边形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质得到，由平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：设乙图书每本价格为元，则甲图书每本价格是元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验得：是原方程的根，且符合题意．
则，
答：甲图书每本价格是元，乙图书每本价格为元；

设购买甲图书本数为，则购买乙图书的本数为：，
故，
解得：，
故，
答：该图书馆最多可以购买本乙图书． 

【解析】利用用元单独购买甲图书比用元单独购买乙图书要少本得出等式求出答案；
根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．
此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出图书的价格是解题关键．
 

25.【答案】证明：是的角平分线，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
即，
即是等腰三角形；
解：由可知是等腰三角形，
又是的角平分线，，
，，
，
，
，，
，
． 

【解析】根据角平分线性质得到，，利用判定≌，根据全等三角形的性质得到，进而得到，即可得解；
根据等腰三角形的性质得出，，根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求解即可．
此题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
 

26.【答案】证明：如图，是的中线，与重合，
，
，
，
，即，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形．
成立，理由如下：
如图，过点作交于点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
由得，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由是的中线，与重合得，再根据平行线的性质证明，，即可证明≌，则与平行且相等，可证明四边形是平行四边形；
过点作交于点，则四边形是平行四边形，得，由得，所以，而，即可证明四边形是平行四边形．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．