浙江省舟山市属校2021-2022学年八年级下学期期末联考数学试题 (word版含答案)

2021-2022学年浙江省舟山市属校八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 二次根式在实数范围内有意义，则可以取的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 方程的根是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图，所给图形中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 对于命题“在同一平面内，若，，则”，用反证法证明，应假设(    )

A.  B.  C. 与相交 D. 与相交

7. 若一组数据，，的平均数为，方差为，则另一组数据，，，的平均数、方差分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8. 如图，四边形的对角线，相交于点，，，分别是，的中点，若，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 在以下图形中，根据尺规作图痕迹，不能判断射线平分的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 将一副三角尺如图拼接：含角的三角尺的长直角边与含角的三角尺的斜边恰好重合．已知，，分别是边，上的动点，当四边形为平行四边形时，该四边形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 一组数据，，，，的中位数为______．
12. 若的小数部分是，则的值是______．
13. 若一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形有______条边．
14. 中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民年年收入美元，预计年年收入将达到美元，设年到年该地区居民年人均收入平均增长率为，可列方程______．
15. 已知函数的图象与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点、若，则的值为______．
16. 如图，矩形中，，，若在、上各取一点、，使的值最小，求这个最小值______．

三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    化简或计算：
    ；
    ．
18. 本小题分
    在用配方法解一元二次方程时，李明同学的解题过程如下：
    解：方程可化成，
    移项，得．
    配方，得，
    即．
    由此可得，．
    晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？
19. 本小题分
    如图，中，点，分别是边，的中点，过点作交的延长线于点，连结．
    

求证：四边形是平行四边形．

当时，若，，求的长．

20. 本小题分
    重庆市某中学九年级组织了一次数学计算比赛禁用计算器，每班选名同学参加比赛，成绩分为，，，四个等级，其中等级得分为分，等级得分为分，等级得分为分，等级得分为分，数学教研组将九年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根据提供的信息解答下列问题．
    把一班竞赛成绩统计图补充完整．
    填表：

请从以下给出的两个方面对这次比赛成绩的结果进行分析：
从平均数、众数方面来比较一班和二班的成绩；
从级以上包括级的人数方面来比较一班和二班的成绩．

21. 本小题分
    如图，在正方形中，、分别为边、的中点，连接、交于点，连结．
    试判断与的数量关系与位置关系，并证明．
    求证：平分．

22. 本小题分
    北国购物商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元；为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．
    每天销售这种衬衫的盈利要达到元，则每件衬衫应降价多少元？
    每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？利润是多少？
23. 本小题分
    背景：点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，分别在射线，上取点，，使得四边形为正方形．如图，点在第一象限内，当时，小李测得．
    探究：通过改变点的位置，小李发现点，的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
    求的值．
    设点，的横坐标分别为，，将关于的函数称为“函数”如图，小李画出了时“函数”的图象．
    求这个“函数”的表达式；
    补画时“函数”的图象；
    并写出这个函数的性质两条即可．
     

24. 本小题分
    已知：边长为的正方形，的两边分别与射线、相交于点、，且，连接求证：．
    思路分析：
    如图，正方形中，，，
    把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，
    ______度，
    根据定理，可证：≌．
    ．
    类比探究：
    如图，当点在线段的延长线上，探究、、之间存在的数量关系，并写出证明过程；
    拓展应用：
    如图，在中，，、在上，若，，求线段、、围成的三角形的面积．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得：．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：．
直接利用二次根式的定义得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
先系数化成，再开方即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，
，故选项B错误，
，故选项C正确，
，故选项D错误，
故选：．
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，，
所以，，，
而，
所以．
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别计算出，，，然后在的条件下比较它们的大小即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 

6.【答案】 

【解析】解：与的位置关系有和与相交两种，因此用反证法证明“”时，应先假设与相交．
故选：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
本题结合直线的位置关系考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

7.【答案】 

【解析】解：数据，，的平均数为，
数据，，，的平均数为，
数据，，，的方差为，
数据，，，的方差不变，还是；
故选：．
根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．
本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据，，，的平均数为，方差为，那么另一组数据，，，的平均数为，方差为．
 

8.【答案】 

【解析】解：取的中点，的中点，连接、、、，
，分别是，的中点，
，，
同理：，，，，，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为菱形，
，，，
，
菱形为正方形，
，
故选：．
取的中点，的中点，连接、、、，根据三角形中位线定理分别求出、，得出四边形为正方形，根据正方形的性质计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、正方形的判定定理和性质定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图中，射线是角平分线．
如图中，根据可以证明≌，推出，再根据证明≌，推出，再根据证明≌，推出，推出射线是角平分线；
如图中，根据证明≌，推出，推出是角平分线．
如图中，无法证明是角平分线．

故选：．
根据角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质一一判断即可．
本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，正确寻找全等三角形解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，当四边形为平行四边形时，，
，
，
，
，，
，，
，
四边形的面积为：，
故选：．
由平行四边形的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，根据含的直角三角形的性质可求解的长，即可求得，利用四边形的面积公式可求解．
本题主要考查等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，求解是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：把这些数从小到大排列为，，，，，
则中位数是．
故答案为．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
此题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
的整数部分是，小数部分是，
．
故答案为：．
先估算的大小，得出的值，然后计算代数式的值即可．
本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
 

13.【答案】 

【解析】解：一个多边形的每个外角都等于，
多边形的边数为．
即该多边形由条边．
故答案是：．
多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的边数．
本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是．
 

14.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故答案为：．
利用该地区居民年年人均收入该地区居民年年人均收入该地区居民年人均收入平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：已知函数的图象与轴、轴分别交于点、，
则，的坐标分别是，，
则，，，
设点的坐标是，
过作轴于点，
则∽，
，由对称性可知，

则，
即：，
解得，，
点的坐标是：
点在双曲线上，
，
故答案为．
先证得∽，进而求点的坐标，然后根据横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
本题考查了求反比例函数和一次函数的交点问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示：作点关于的对称点，过点作，交于点．

在中，，
．
点与点关于对称，
，．
．
是等边三角形．
，
．
点与点关于对称，
．
．
故答案为：．
作点关于的对称点，由轴对称图形的性质可知：，，，从而可知为等边三角形，过点作，交于点，则，然后依据特殊锐角三角函数可求得的长．
本题主要考查的是轴对称路径最短问题，解答本题需要同学们熟练掌握轴对称图形的性质、等边三角形的性质和判定、特殊锐角三角三角函数值，证得是等边三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先化简，再算加减即可；
利用平方差公式进行运算较简便．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：不同意晓强的想法，
当二次项系数不为时，有时也可以把系数的算术平方根与字母看成整体，再配方． 

【解析】晓强认为李明的解题过程错误，我不同意他的想法，说明理由即可．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

19.【答案】证明：点，分别是边，的中点，
．
，
四边形是平行四边形；

解：，为的中点，
．
，，
，
． 

【解析】根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】     

【解析】解：一班等级的学生有：人，
补全的条形统计图如下图所示；

一班名学生成绩从小到大排列，处在第为的一个数等级，是分，因此一班的中位数是，
一班名学生成绩出现次数最多的是分，因此众数是．
二班的平均数为分，
故答案为：，，；
从平均数、众数方面来比较，二班成绩更好；
一班级及以上的人数为人，二班级及以上的人数为人，
由于，
因此从级以上包括级的人数方面来比较，一班成绩更好．
根据频数之和为可求出一班组的频数，进而补全条形统计图；
根据中位数、众数、平均数的计算方法进行计算即可；
从平均数、众数比较得出答案；
按照级及以上人数比较得出答案．
本题考查中位数、众数、条形统计图、扇形统计图，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的前提．
 

21.【答案】解：，，理由如下：
是正方形，
，，
、分别为边、的中点，
．
≌．
，．
，
．
．
；

证明：如图，过点作，垂足为，则，
，
．
设，则，，，，

为等腰直角三角形．
，．
．
平分． 

【解析】利用正方形的性质证明≌，其对应边相等；对应角相等，推出，即可得到结论；
如图，过点作，垂足为，则是的中位线，故AG根据勾股定理逆定理判定为等腰直角三角形，由等腰三角形的性质和图形推知即可．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线解决问题是解题的关键．
 

22.【答案】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，
得：，
解得：或，
商场要尽快减少库存，
，
答：每天销售这种衬衫的盈利要达到元，则每件衬衫应降价元；
设每套降价元，商场平均每天赢利元，
则，
当时，有最大值为元，
答：当每件降价元时，商场平均每天盈利最多． 

【解析】根据：每件的实际利润降价后的销售量每天利润，列出方程解方程，再结合题意取舍可得；
根据：每件的实际利润降价后的销售量每天利润，列出函数关系式，配方成二次函数顶点式，结合函数性质可得最值情况．
本题主要考查二次函数的实际应用能力，准确抓住题目中的相等关系列出方程或函数关系式是解题的关键．
 

23.【答案】解：，，
，
四边形是正方形，
，
轴，轴，
，
四边形是矩形，
，
，
；
由题意，，
，
，
图象如图所示，

性质：时，随的增大而增大，
性质：时，随的增大而增大，答案不唯一． 

【解析】由四边形是正方形，得，从而得出，则；
由题意，，则，即可得出“函数”的表达式；
利用描点法画出图象；
根据图象可得出性质．
本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，利用描点法画函数图象，解题的关键是读懂题意，表示出“函数”的表达式．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图，正方形中，，，
把绕点逆时针旋转至，
则、、在一条直线上，≌，
，，，
，
则，
，
≌，
，
，
．
故答案为：；
    理由如下：
将绕点逆时针旋转得到，
≌，
，，，
，
则，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
将绕点逆时针旋转得到，连接，
则≌，
，
，
同得：≌，
，，
、、围成的三角形面积为、、围成的三角形面积．
把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，≌，再证≌，得，进而得出结论；
将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得≌，，再证≌，得，进而得出结论；
将绕点逆时针旋转得到，连接，则≌，得，因此，同得≌，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型．