浙江省舟山市定海区2021-2022学年八年级下学期期末检测数学试题卷(word版含答案)

这是一份浙江省舟山市定海区2021-2022学年八年级下学期期末检测数学试题卷(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

浙江省舟山市定海区2021-2022学年八年级下学期期末检测
数学试题卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）要使代数式有意义，x可以取的值为（　　）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
2．（3分）方程3x2＝0的根是（　　）
A．x＝0 B．x1＝x2＝0
C．x＝3 D．
3．（3分）如图图形中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝ B．3 C．×＝7 D．＝2
5．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
6．（3分）对于命题“在同一平面内，若a∥b，a∥c，则b∥c”，用反证法证明，应假设（　　）
A．a⊥c B．b⊥c C．a与c相交 D．b与c相交
7．（3分）若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（　　）
A．17，2 B．18，2 C．17，3 D．18，3
8．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　）

A．2 B． C． D．
9．（3分）如图，已知▱ABCD的一组邻边AB，BC，用尺规作图作▱ABCD，下列4个作图中，作法与理论依据都正确的有几个（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这个最小值（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）一组数据﹣2，3，2，1，﹣2的中位数为　 　．
12．（4分）若的小数部分是a，则的值是 　 　．
13．（4分）一个多边形的每一个外角都为36°，则这个多边形是　 　边形．
14．（4分）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2020年年收入5万元，预计2022年年收入将达到7万元，设2020年到2022年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为 　 　．
15．（4分）如图，AC为四边形ABCD的对角线，∠ADC＝∠ACB＝90°，AD＝CD，∠CAB＝30°，BC＝2，E，F分别是边AC，BC上的动点，当四边形DEBF为平行四边形时，该平行四边形的面积是 　 　．

16．（4分）已知函数y＝x+1的图象与x轴、y轴分别交于点C、B，与双曲线y＝交于点A、D．若AB+CD＝BC，则k的值为 　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．化简或计算：
（1）；
（2）．
18．用配方法解一元二次方程：2x2+3x+1＝0．小明同学的解题过程如下：
解：x2+＝0

x+
x1＝﹣．
小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．
19．如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形．
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．

20．某中学九年级组织了一次数学计算比赛（禁用计算器），每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A等级得分为100分，B等级得分为85分，C等级得分为75分，D等级得分为60分，数学教研组将九年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根据提供的信息解答下列问题．

（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整．
（2）求出下表中a，b，c的值；

平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
一班
a
b
85
二班
84
75
C
（3）请从以下给出的两个方面对这次比赛成绩的结果进行分析：①从平均数、众数方面来比较一班和二班的成绩；②从B级以上（包括B级）的人数方面来比较一班和二班的成绩．
21．如图，点E，F分别为矩形ABCD的边AB，BC的中点，连结AF，DF，CE，DE．设AF与CE交于点M．
（1）找到两对全等三角形（不另添加点与线），并证明其中一对；
（2）证明：∠AME＝∠EDF．

22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）求每件衬衫应降价多少元，能使商场每天盈利1200元；
（2）小明的观点是：“商场每天的盈利可以达到1300元”，你同意小明的说法吗？若同意，请求出每件衬衫应降价多少元？若不同意，请说明理由．
23．背景：点A在反比例函数（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形，如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3.5．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”，如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．

24．在正方形ABCD中，点E在边BC上运动，点F在边DC或CB上运动．
（1）若点F在边DC上，
①如图1，已知∠EAF＝45°，连结EF，求证：EF＝BE+DF．
②如图2，已知AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．
（2）若点F在边CB上，如图3，已知E为BC的中点，且∠DAF＝2∠BAE，求证：AF＝CD+CF．



浙江省舟山市定海区2021-2022学年八年级下学期期末检测
数学试题卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）要使代数式有意义，x可以取的值为（　　）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
【分析】根据二次根式有意义的条件计算出x的取值范围，再判断即可．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
∴x≥3，
∵4＞3，
∴x可以取4，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0．
2．（3分）方程3x2＝0的根是（　　）
A．x＝0 B．x1＝x2＝0
C．x＝3 D．
【分析】先系数化成1，再开方即可．
【解答】解：3x2＝0，
x2＝0，
x1＝x2＝0，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
3．（3分）如图图形中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝ B．3 C．×＝7 D．＝2
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：，故选项A错误，
，故选项B错误，
，故选项C正确，
，故选项D错误，
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
5．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别计算出y1＝k，y2＝k，y3＝﹣k，然后在k＞0的条件下比较它们的大小即可．
【解答】解：根据题意得1•y1＝k，2•y2＝k，﹣3•y3＝k，
所以y1＝k，y2＝k，y3＝﹣k，
而k＞0，
所以y3＜y2＜y1．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
6．（3分）对于命题“在同一平面内，若a∥b，a∥c，则b∥c”，用反证法证明，应假设（　　）
A．a⊥c B．b⊥c C．a与c相交 D．b与c相交
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：c与b的位置关系有c∥b和c与b相交两种，因此用反证法证明“c∥b”时，应先假设c与b相交．
故选：D．
【点评】本题结合直线的位置关系考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．（3分）若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（　　）
A．17，2 B．18，2 C．17，3 D．18，3
【分析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．
【解答】解：∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，
∴x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数为18，
∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的方差为2，
∴数据x1+2，x2+2，…，xn+2的方差不变，还是2；
故选：B．
【点评】本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，那么另一组数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b，方差为a2S2．
8．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】取BC的中点G，AD的中点H，连接EG、GF、FH、HE，根据三角形中位线定理分别求出EG、GF，得出四边形EGFH为正方形，根据正方形的性质计算即可．
【解答】解：取BC的中点G，AD的中点H，连接EG、GF、FH、HE，
∵E，G分别是AB，BC的中点，AC＝2
∴EG＝AC＝1，EG∥AC，
同理：FH＝AC，FH∥AC，EG＝AC，GF∥BD，GF＝BD＝1，
∴四边形EGFH为平行四边形，
∵AC＝BD，
∴GE＝GF，
∴平行四边形EGFH为菱形，
∵AC⊥BD，EG∥AC，GF∥BD，
∴EG⊥GF，
∴菱形EGFH为正方形，
∴EF＝EG＝，
故选：D．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、正方形的判定定理和性质定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9．（3分）如图，已知▱ABCD的一组邻边AB，BC，用尺规作图作▱ABCD，下列4个作图中，作法与理论依据都正确的有几个（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据各个图形的做法结合平行四边形的判定方法进行判断即可．
【解答】解：图①，由作图可知AB＝CD，AD＝BC，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可知，图①作法与理论依据正确；
图②，由作图可知，作AC的垂直平分线，得到AC的中点O，再连接BO并延长到点D，使OD＝BO，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得，图2作法与理论依据正确；
图③，作同位角相等，得出AB∥CD，再截去CD＝AB，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得，图3作法与理论依据正确；
图④，作同位角相等，得出AB∥CD，再截取AD＝BC，“一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形”，因此图4作法与理论依据不正确；
综上所述，作法与理论依据正确的是图①、图②、图③；共3个，
故选：C．
【点评】本题考查尺规作图，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法以及尺规作图的意义是正确判断的前提．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这个最小值（　　）

A． B． C． D．
【分析】由对称性可得AB＝AH＝4，HM＝BM，BO＝HO，可得MN+BM＝HM+MN，则当点H，点M，点N共线且HN⊥AB时，MN+BM的最小值为HN，通过证明△ABH是等边三角形，可求AN＝BN＝cm，在Rt△BHN中，利用勾股定理可求HN的长，即可求解．
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点H，连接HB，交AC于O，连接AH，HM，过点H作HN⊥AB于N，

∴AB＝AH＝4，HM＝BM，BO＝HO，
∴MN+BM＝HM+MN，
∴当点H，点M，点N共线且HN⊥AB时，MN+BM的最小值为HN，
∵AB＝4cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝＝5（cm），
∵S△ABC＝×AB×BC＝AC×BO，
∴BO＝＝（cm），
∴BH＝（cm），
∴AH＝BH＝AB，
∴△ABH是等边三角形，
∵HN⊥AB，
∴AN＝BN＝（cm），
∴HN＝＝（cm），
∴MN+BM的最小值为，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，利用面积法求出BO是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）一组数据﹣2，3，2，1，﹣2的中位数为　1　．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：把这些数从小到大排列为﹣2，﹣2，1，2，3，
则中位数是1．
故答案为1．
【点评】此题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
12．（4分）若的小数部分是a，则的值是 　　．
【分析】先估算的大小，得出a的值，然后计算代数式的值即可．
【解答】解：3，
∴的整数部分是3，小数部分是，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
13．（4分）一个多边形的每一个外角都为36°，则这个多边形是　十　边形．
【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．
【解答】解：这个多边形是360÷36＝10边形．
故答案为：十．
【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
14．（4分）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2020年年收入5万元，预计2022年年收入将达到7万元，设2020年到2022年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为 　5（1+x）2＝7　．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
5（1+x）2＝7，
故答案为：5（1+x）2＝7．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
15．（4分）如图，AC为四边形ABCD的对角线，∠ADC＝∠ACB＝90°，AD＝CD，∠CAB＝30°，BC＝2，E，F分别是边AC，BC上的动点，当四边形DEBF为平行四边形时，该平行四边形的面积是 　　．

【分析】由直角三角形的性质可求AC的长，由等腰直角三角形的性质可得CE＝AE＝＝DE，即可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，
∴AC＝BC＝3，
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴DE∥BF，
∴∠DEC＝∠ACB＝90°，
∵∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴CE＝AE＝＝DE，
∴S▱DEBF＝×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16．（4分）已知函数y＝x+1的图象与x轴、y轴分别交于点C、B，与双曲线y＝交于点A、D．若AB+CD＝BC，则k的值为 　　．
【分析】先证得△CBO∽△DBE，进而求点D的坐标，然后根据横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
【解答】解：已知函数y＝x+1的图象与x轴、y轴分别交于点C、B，
则B，C的坐标分别是（0，1），（﹣1，0），
则OB＝1，OC＝1，BC＝，
设点D的坐标是（m，n），
过D作DE⊥x轴于E点，
则△CBO∽△DBE，
∵AB+CD＝BC，由对称性可知AB＝CD，
∴AB＝CD＝
则＝＝，
即：＝＝，
解得m＝，n＝，
∴点D的坐标是：（，）．
∵点D在双曲线y＝上，
∴k＝×＝，
故答案为．

【点评】本题考查了求反比例函数和一次函数的交点问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．化简或计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简，再算加减即可；
（2）利用平方差公式进行运算较简便．
【解答】解：（1）
＝
＝0；
（2）
＝3﹣4
＝﹣1．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．用配方法解一元二次方程：2x2+3x+1＝0．小明同学的解题过程如下：
解：x2+＝0

x+
x1＝﹣．
小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．
【分析】根据解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：小明的解题过程不正确，
正确的解题过程如下：
2x2+3x+1＝0，
x2+x+＝0，
x2+x＝﹣，
x2+x+（）2＝﹣+（）2，
（x+）2＝，
x+＝±，
x+＝或x+＝﹣，
x1＝﹣，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
19．如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形．
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．

【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC．
∵CF∥AB，
∴四边形BCFD是平行四边形；

（2）解：∵AB＝BC，E为AC的中点，
∴BE⊥AC．
∵AB＝2DB＝4，BE＝3，
∴AE＝＝，
∴AC＝2AE＝2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．某中学九年级组织了一次数学计算比赛（禁用计算器），每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A等级得分为100分，B等级得分为85分，C等级得分为75分，D等级得分为60分，数学教研组将九年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根据提供的信息解答下列问题．

（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整．
（2）求出下表中a，b，c的值；

平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
一班
a
b
85
二班
84
75
C
（3）请从以下给出的两个方面对这次比赛成绩的结果进行分析：①从平均数、众数方面来比较一班和二班的成绩；②从B级以上（包括B级）的人数方面来比较一班和二班的成绩．
【分析】（1）用样本容量分别减去一班中A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全一班竞赛成绩统计图；
（2）先利用扇形统计图计算出二班中各等级的人数，然后利用众数、中位数和平均数的定义计算a、b、c的值；
（3）利用平均数和中位数的意义求解．
【解答】解：（1）统计图为：

（2）一班的平均数a＝×（6×100+12×90+2×80+5×70）＝87.6（分），
b＝90（分），
二班A等级的人数为44%×25＝11（人），B等级的人数为4%×25＝1（人），C等级的人数为36%×25＝9（人），D等级的人数为16%×25＝4（人），
c＝100（分）；
（3）从平均数看，两班的成绩一样，但从中位数看，一班的中位数为90分，二班的中位数为80分，则一班比二班成绩好．
【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数、平均数和统计图．
21．如图，点E，F分别为矩形ABCD的边AB，BC的中点，连结AF，DF，CE，DE．设AF与CE交于点M．
（1）找到两对全等三角形（不另添加点与线），并证明其中一对；
（2）证明：∠AME＝∠EDF．

【分析】（1）△AED≌△BCE；△AFB≌△DCF，根据矩形的性质证明其中一对即可；
（2）先证明△AED≌△BCE得出∠AED＝∠BEC，再利用矩形的性质证得∠AED＝∠EDC，从而∠BEC＝∠EDC，再利用外角的性质即可证得结论．
【解答】证明：（1）△AED≌△BCE，△AFB≌△DCF，
证明△AFB≌△DCF如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABF＝∠FCD＝90°，AB＝CD，
又∵F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△AFB和△DCF中，
，
∴△AFB≌△DCF（SAS）；
证明△AED≌△BCE如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠EBC＝90°，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AED和△BEC中，
，
∴△AED≌△BCE（SAS）；
（2）∵△AED≌△BCE，
∴∠AED＝∠BEC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠AED＝∠EDC，
∴∠BEC＝∠EDC，
∵△AFB≌△DCF，
∴∠BAF＝∠FDC，
∵∠BEC＝∠BAF+∠AME，∠EDC＝∠EDF+∠FDC，
∴∠AME＝∠EDF．
【点评】本题考查了矩形的性质和三角形全等的证明，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）求每件衬衫应降价多少元，能使商场每天盈利1200元；
（2）小明的观点是：“商场每天的盈利可以达到1300元”，你同意小明的说法吗？若同意，请求出每件衬衫应降价多少元？若不同意，请说明理由．
【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，根据能使商场每天盈利1200元列一元二次方程，求解即可；
（2）设每件衬衫应降价m元，根据商场每天盈利1300元列一元二次方程，求解即可．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，
根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得x1＝10（舍去），x2＝20，
答：每件衬衫应降价20元，能使商场每天盈利1200元；
（2）不同意，理由如下：
设每件衬衫应降价m元，能使商场每天盈利1300元，
根据题意，得（40﹣m）（20+2m）＝1300，
化简得m2﹣30m+250＝0，
∵Δ＝900﹣4×1×250＝﹣100＜0，
∴原方程没有实数解，
∴商场每天的盈利不可能达到1300元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
23．背景：点A在反比例函数（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形，如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3.5．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”，如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．

【分析】（1）根据正方形的性质，可得A（4，0.5），再将A（4，0.5）代入反比例函数（k＞0），可得k的值；
（2）①由题意知，A（x，x﹣z），则x（x﹣z）＝2，变形即可得出z关于x的函数解析式；
②根据描点法，画出图象即可．
【解答】解：（1）当AC＝4，CD＝3.5时，AD＝0.5，
∵四边形ABED是正方形，
∴AD＝AB＝0.5，
∴A（4，0.5），
∵点A在反比例函数（k＞0），的图象上，
∴k＝4×0.5＝2；
（2）①由题意知，A（x，x﹣z），
∴x（x﹣z）＝2，
∴z＝x﹣；
②如图，

性质：当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而增大；
函数图象与y轴无交点．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，描点法画函数图象，解题的关键是读懂题意，表示出“Z函数”的表达式．
24．在正方形ABCD中，点E在边BC上运动，点F在边DC或CB上运动．
（1）若点F在边DC上，
①如图1，已知∠EAF＝45°，连结EF，求证：EF＝BE+DF．
②如图2，已知AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．
（2）若点F在边CB上，如图3，已知E为BC的中点，且∠DAF＝2∠BAE，求证：AF＝CD+CF．


【分析】（1）①延长CD至G，使DG＝BE，连接AG，证明△ADG≌△ABE（SAS），由全等三角形的性质得出AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，证明△GAF≌△EAF（SAS），由全等三角形的性质得出GF＝EF，则可得出结论；
②延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，根据正方形的性质得到∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，AD＝AB，根据全等三角形的性质得到∠GAB＝∠DAF，AG＝AF，求得∠GAE＝∠DAE，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠AEB等量代换得到∠GAE＝∠AEB，根据线段的和差即可得到结论．
（2）延长AE交DC的延长线于点N，证明△ABE≌△NCE（ASA），由全等三角形的性质得出AB＝CN，∠BAE＝∠N，在CD上截取DM＝BF，则CF＝CM，证明△ABF≌△ADM（SAS），由全等三角形的性质得出AF＝AM，∠AFB＝∠AMD，则可得出结论．
【解答】（1）①证明：延长CD至G，使DG＝BE，连接AG，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠B＝90°，
∴∠ADG＝90°＝∠ABE，
在△ADG和△ABE中，
，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠DAF+∠DAG＝∠GAF＝45°＝∠EAF，
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴GF＝EF，
∵GF＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
②证明：如图2，延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，AD＝AB，
在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠GAB＝∠DAF，AG＝AF，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠GAB+∠BAE＝∠DAF+∠EAF，
即∠GAE＝∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠GAE＝∠AEB，
∴AG＝GE，
∴AF＝GE，
∵GE＝BG+BE＝DF+BE，
∴AF＝DF+BE．
（2）证明：延长AE交DC的延长线于点N，

∵E为BC中点，
∴CE＝BE．
∵∠B＝∠ECN＝90°，∠AEB＝∠CEN，
∴△ABE≌△NCE（ASA），
∴AB＝CN，∠BAE＝∠N，
在CD上截取DM＝BF，则CF＝CM，
∵AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴AF＝AM，∠AFB＝∠AMD，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠AMD，
∵∠DAF＝2∠BAE，∠AMD＝∠N+∠MAN＝∠BAE+∠MAN，
∴∠N＝∠MAN，
∴AM＝AN，
∵MN＝CM+CN＝CF+AB＝CF+CD，
∴AF＝CF+CD．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，构造出全等三角形是解本题的关键．