冀教版八年级上册第十三章 全等三角形13.1 命题与证明教学设计

13.1命题与证明

教学目标

【知识与能力】

1.理解逆命题的概念,能够判断命题的真假.

2.会把命题改写成“如果……那么……”的形式.

3.了解逆定理及证明的概念,会对一个真命题进行证明.

【过程与方法】

1.感受几何中推理的严谨性,掌握推理的方法.

2.通过对几何问题的演绎推理,体会证明的必要性,培养学生的逻辑推理能力.

【情感态度价值观】

通过积极参与,获取正确的数学推理方法,理解数学的严谨性,并培养与他人合作的意识.

教学重难点

【教学重点】

1.让学生弄清命题的条件和结论,熟悉命题的形式.

2.理解逆定理和证明的概念,能进行简单的证明.

【教学难点】  

　理解证明的必要性.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

情境:小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.

小亮:“哈!这个黑客终于被逮住了.”

小刚:“是的,现在网络广泛应用于我们的生活中,给我们带来了方便,但…”.

坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话,一边也在悄悄议论着.

“这个黑客是小偷吗?”

“可能是喜欢穿黑衣服的贼.”

你听完这节片段的故事,有何想法?

同学们各抒己见,老师给予同学的各种回答评价后,发表自己的看法:在日常生活中,我们会遇到许多概念,假如不对这些概念下定义,别人就无法理解这些概念的含义,以致无法正常地进行交流.同样,在数学学习中,要进行严格的论证,也必须首先对所涉及的概念下定义.本节我们就一起学习命题与证明.

导入二:

在电影《流浪者》中,法官和流浪者有这样一段对话,法官说:“贼的儿子永远是贼,因为你是贼的儿子,所以永远是贼.”同学们,法官这个推理对吗?显然是错误的,你知道这个荒谬的结论错在哪里吗?学完本节课“命题与证明”你就会明白了.

[设计意图]　通过风趣幽默的对话,让学生感知证明的重要性,从而激发学生的求知欲望,能够更好地投入到本节课的学习之中,为学习本节课的知识做好铺垫.

导入三:

师:我们已经学过一些图形的特性,如“三角形的内角和等于180度”“三条边相等的三角形是等边三角形”等.根据我们已学过的图形的特性,试判断下列句子是否正确.

1.如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.

2.两直线平行,同位角相等.

3.同旁内角相等,两直线平行.

4.平行四边形的四条边相等.

5.直角都相等.

[设计意图]　通过对以前学过知识的掌握能够判断一个命题的真假,初步感知真命题和假命题,从而自然地引入新知.

二、新知构建：

活动一:真假命题与互逆命题

思路一

【课件1】　观察下面两个命题:

(1)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

(2)两条直线被第三条直线所截,如果这两条直线平行,那么同位角相等.

引导学生思考:

(1)在这两个命题中,其中一个命题的条件和结论,与另一个命题的条件和结论有怎样的关系?

(2)请再举例说明两个具有这种关系的命题.

归纳:像这样,一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题,称为互逆命题.

在两个互逆的命题中,如果我们将其中一个命题称为原命题,那么另一个命题就是这个原命题的逆命题.

让学生完成教材第32页“做一做”,指出原命题和逆命题的真假性.

教师在学生思考的基础上指导学生注意语言的规范性和逻辑性.

[知识拓展]　每一个命题都有逆命题,只要将原命题的条件改成结论,并将结论改成条件,便可得到原命题的逆命题,但有很多命题的逆命题并不是简单地将原命题的条件与结论互换,必须正确运用数学语言.

强调:每个命题都有逆命题,但原命题正确,它的逆命题未必正确.要说明一个命题是假命题,只要举出反例就可以了.

例如:“若,则a=b”这个命题是假命题,只要举出两个数的绝对值相等,但这两个数不相等的情况就可以判断这个命题是假命题.如:,但5≠-5.

让学生举出反例说明:“如果a+b>0,那么a-b>0”是个假命题.

[设计意图]　明确真、假命题与互逆命题,通过区分两类概念,从中体会要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例就可以了,培养学生举反例进行说明的能力.

思路二

　　[过渡语]　刚才通过实例,我们初步了解了推理的重要性,首先我们来学习真假命题与互逆命题.

1.命题的条件和结论

教师讲解:在数学中,许多命题是由已知条件、结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.这样的命题常可以改写成“如果……那么……”的形式,用“如果”开始的部分是条件,“那么”开始的部分是结论.

有的命题的条件和结论不十分明显,可以将它写成“如果……那么……”的形式,就可以分清它的条件和结论了.例如:命题“直角都相等”可以写成“如果两个角是直角,那么这两个角相等”.

【课件2】　下列命题的条件是什么?结论是什么?

(1)对顶角相等.

(2)如果a>b,b>c,那么a=c.

引导学生把(1)先改写成“如果……那么……”的形式,再确定条件和结论.

解:(1)条件:两个角是对顶角.结论:这两个角相等.

(2)条件:a>b,b>c,结论:a=c.

2.真假命题

　　[过渡语]　命题有真命题和假命题,真命题就是条件成立,结论也一定成立的命题;而假命题是条件成立时,不能保证结论总是成立的命题.请同学们看下面的问题.

【课件3】　判断下列句子是否正确.

(1)三角形的内角和是180度.

(2)同位角相等.

(3)同角的余角相等.

(4)一个锐角与一个钝角的和是180度.

让学生根据已有的知识进行判断,并说明理由.

3.互逆命题

教师讲解:例如“两直线平行,内错角相等”这个命题,条件为“如果两条直线被第三条直线所截,且两直线平行”,结论是“那么内错角相等”.如果把这个命题的条件和结论互换一下位置,新句子也是一个命题,这时条件为“如果两条直线被第三条直线所截,内错角相等”,结论变为“那么这两条直线平行”.这样我们就说后一个命题是前一个命题的逆命题,前一个命题也是后一个命题的逆命题.这两个命题互为逆命题.

一般来说,在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做这个原命题的逆命题.

活动二:证明与互逆定理

　　[过渡语]　要说明一个命题是真命题,则要从命题的条件出发,根据已经学过的基本事实、定义、性质和定理等,进行有理有据的推理,这种推理叫做证明.

【课件4】　证明:平行于同一条直线的两条直线平行.

让学生首先判断这个命题的真假性,引导学生分析讨论证明的方法.

说明:教师要重点关注学生的证明过程的书写是否符合要求.

已知:如图所示,直线a,b,c,a∥c,b∥c.

求证:a∥b.

证明:如图所示,作直线d,分别与直线a,b,c相交.

∵a∥c(已知),

∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).

∵b∥c(已知),

∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等).

∴∠1=∠3(等量代换).

∴a∥b(同位角相等,两直线平行).

即平行于同一条直线的两条直线平行.

一般地,证明命题按如下步骤进行:

(1)依据题意画图,将文字语言转换为符号(图形)语言;(2)根据图形写出已知、求证;(3)根据基本事实、已有定理等进行证明.

教师讲解:如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也就成了定理.这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.

我们已经知道命题“两直线平行,内错角相等”和它的逆命题“内错角相等,两直线平行”都是真命题,所以它们都是定理,因此它们就是互逆定理.

你能举出我们学过的一些互逆定理吗?

一个假命题的逆命题可以是真命题,甚至可以是定理.例如:“相等的角是对顶角”是假命题,但它的逆命题“对顶角相等”是真命题,且是定理.

指导学生完成教材第33页“做一做”.

【课件5】　已知:如图所示,点O在直线AB上,OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线.

求证:OD⊥OE.

证明:∵OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,

∴∠COD=∠AOC,∠COE=∠BOC,

∴∠COD+∠COE=(∠AOC+∠BOC)=180°=90°,

即∠DOE=90°,

∴OD⊥OE.

[设计意图]　通过做一做锻炼学生的逻辑思维能力,巩固所学的知识,同时培养学生的合作探究精神和归纳总结的能力,让学生理解定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据.

三、课堂小结：