人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课堂教学免费ppt课件

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1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
通过学习空间中距离的概念，点、线、面距离的相互转化与计算，培养学生的数学抽象、直观想象素养和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1.思考　如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.如何利用这些条件求点P到直线l的距离？
温馨提醒　点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.
二、点到平面的距离1.思考　已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.如何求平面α外一点P到平面α的距离？
又因为平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，
三、直线(平面)到平面的距离1.思考　类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？提示　在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离.
2.填空　(1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为______________的距离求解.(2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.温馨提醒　只有线面(或面面)平行时，才有线面(面面)距离.
3.做一做　两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　)
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离.
解　∵AB＝1，BC＝2，AA′＝3，∴A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，
训练1 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离.
解　如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，
例2 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2.(1)求证：A1C∥平面AB1D；
证明　如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA所在直线为x轴、y轴，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，
(2)求点C1到平面AB1D的距离.
利用向量法求点到平面的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)求出该平面的一个法向量.(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离.
训练2 已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，求点B1到平面A1BC1的距离.解　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则
A1(4，0，3)，B1(4，6，3)，B(4，6，0)，C1(0，6，3)，
解　∵A1B1∥AB，A1B1⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，∴A1B1∥平面ABE，∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离.
如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，
用向量方法研究空间距离问题的一般步骤：(1)确定法向量；(2)选择参考向量；(3)利用公式求解.
训练3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
解　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
1.重要思想与方法(1)线面距、面面距实质上都是求点到面的距离，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行.(2)利用向量求空间距离应用数形结合与转化化归的思想方法.2.易错易混点提醒(1)直线的方向向量可以任意选取，但必须保证计算正确；(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为(　　)
法二　如图建立空间直角坐标系，
易得C(a，a，0)，D1(0，a，2a)，
2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到平面AB1D1的距离为(　　)
解析　如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(2，0，0)，A1(2，0，4)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，
令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2，1).
3.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　)
则C(0，12，0)，D1(0，0，5).设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x＞0).设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，
4.已知三棱锥O－ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为(　　)
解析　以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由题意可知A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，
5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　)
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有
D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1).
解析　以C为坐标原点，CA，CB，CP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
7.在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2，1).已知点P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d＝________.
8.如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为________.
解析　取AB的中点O，连接OE.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz(其中z轴平行于BC)，
则A(0，－1，0)，E(1，0，0)，D(0，－1，2)，
9.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离.解　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图.
10.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离.解　如图所示，建立空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，G(2，1，0)，
11.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为(　　)
解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，
连接AC1，易知AC1∥平面BED，所以点C1到平面BED的距离也是1.
13.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.
(1)求证：B1D⊥平面ABD；
证明　如图所示，由条件知，BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz.
则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，设BA＝a，则A(a，0，0).
(2)求证：平面EGF∥平面ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
解　取AD的中点O，在△PAD中，∵PA＝PD，∴PO⊥AD.又侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD.