2021-2022学年广东省清远市英德市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年广东省清远市英德市八年级（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图，在中，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 阿基米德螺旋线 D. 赵爽弦图

3. 下列分式是最简分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. “的倍与的和不大于”，用不等式表示是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 多项式的公因式是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 将不等式的解集表示在数轴上，正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 施工队要铺设一段全长米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工米，则根据题意所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在平行四边形中，点，在对角线上，连接，，，，点，满足以下条件中的一个：；；；；，其中，能使四边形为平行四边形的条件个数为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 因式分解的结果是______．
12. 如图，在中，、分别是、的中点，连结，若，则 ______ ．

13. 将点向上平移个单位长度得到点，则点的坐标是______．
14. 方程的解为______．
15. 一个正多边形的内角和为，那么它每个外角的度数是______．
16. 如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为______．

17. 如图，边长为的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，的最小值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．

19. 本小题分
    如图，，分别是▱的边，上的点，已知求证：．

20. 本小题分
    如图，在中，．
    利用尺规作图作的垂直平分线，垂足为，交于点，延长至点，使；
    若，求的周长．

21. 本小题分
    观察下面的等式：，，，
    按上面的规律归纳出一个一般的结论用含的等式表示，为正整数．
    请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
22. 本小题分
    如图，一次函数的图象与正比例函数为常数，且的图象都过．
    若一次函数的图象与轴交于点，求的面积；
    利用函数图象直接写出当时，的取值范围．

23. 本小题分
    如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，交于点．
    ______；
    求的长度及的度数．

24. 本小题分
    某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少元，且用元购进甲商品的数量与用元购进乙商品的数量相同．
    求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
    若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的倍还少个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过个，则商场最多购进乙商品多少个？
    在的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是元个和元个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
25. 本小题分
    在▱中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接、如图．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，过点作的垂线，与、、分别交于点、、如图．
    当时，求的长；
    求证：．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在中，，，
．
故选：．
根据等角对等边可得．
本题考查了等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，不是最简分式，不符合题意；
B、原式，不是最简分式，不符合题意；
C、原式，不是最简分式，不符合题意；
D、原式为最简分式，符合题意．
故选：．
利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可．
此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：“的倍与的和不大于”，用不等式表示是，
故选：．
的倍即，与的和可表示为，不大于即“”，据此可得答案．
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于小于、不超过不低于、是正数负数”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
 

5.【答案】 

【解析】解：多项式的公因式是．
故选：．
利用公因式的定义：数字取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一个式子出现的字母不能作为公因式的一个因式，判断即可．
此题考查了公因式，熟练掌握公因式的判断方法是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：不等式，
解得：，
解集表示在数轴上，如图所示：
．
故选：．
移项求出不等式的解集，表示在数轴上，判断即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：若设原计划每天施工米，则实际每天施工米，
根据题意，可列方程：，
故选：．
设原计划每天施工米，则实际施工时每天施工米，根据：原计划所用时间实际所用时间，列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式
，
故选：．
根据分式的运算法则即可求出答案
本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：平行四边形，、，
，
，
，
．
故选：．
直接利用平行四边形的性质得出的长，进而得出顶点的坐标．
此题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，正确得出的长是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于点，

四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
即，
四边形是平行四边形；故正确；
，不能判定≌，
不能判定四边形是平行四边形；
，不能判定≌，
不能判定四边形是平行四边形；
，
，

在和中，
，
≌，
，
，，
，
四边形是平行四边形，故正确；
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；故正确；
一定能判定四边形是平行四边形的是，共个，
故选：．
根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
根据平方差公式解答即可．
本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式：．
 

12.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：向上平移个单位到点，
则点的坐标为，即：．
故答案为：．
根据平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可直接算出答案．
此题考查了坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

14.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
当时，，
原分式方程的解为，
故答案为：．
方程两边同时乘以，把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．
本题考查了解分式方程，去分母把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设此多边形为边形，
根据题意得：，
解得：，
这个正多边形的每一个外角．
故答案为：．
首先设此多边形为边形，根据题意得：，即可求得，再由多边形的外角和等于，即可求得答案．
本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．解决问题的关键是掌握多边形内角和公式：，外角和等于．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于，如图，
平分，，，
，
点是射线上的动点，
的最小值为的值，即．
故答案为：．
过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
 

17.【答案】 

【解析】解：取的中点，则，

将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
≌，
，
点在直线上运动，
过点作，此时的最小值即为，
，
，
故答案为：．
取的中点，则，利用证明≌，得，则点在直线上运动，根据垂线段最短从而解决问题．
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，确定点的运动路径是解题的关键．
 

18.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据平行四边形的性质，可以得到，，再根据，利用可以证明和全等，然后即可证明结论成立．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明和全等．
 

20.【答案】解：如图，即为所求；

连接，设垂直平分线交于点，
，


，
，
，
故的周长为． 

【解析】根据线段垂直平分线的作法即可解决问题；
连接，设垂直平分线交于点，再根据线段垂直平分线的性质求解即可．
本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

21.【答案】解：观察规律可得：；



，
． 

【解析】观察已知等式，可得规律，用含的等式表达即可；
先通分，计算同分母分式相加，再约分，即可得到中的等式．
本题考查探索规律及分式的运算，解题的关键是观察得到已知等式中的规律．
 

22.【答案】解：令，则．
．
．
；

结合函数图象可得，当时，． 

【解析】根据函数解析式求得点的坐标，继而求得；然后由三角形的面积公式求解即可；
结合函数图象即可判断时的取值范围．
本题考查了正比例函数与一次函数的交点问题，解答本题注意数形结合思想的运用，数形结合是数学解题中经常用到的，同学们注意熟练掌握．
 

23.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转，得到，
；
故答案为；
连接，如图，
绕点逆时针旋转，得到，
，，
为等边三角形，
，
，
垂直平分，即，，
，，
，平分，
，
，，
在中，，
．
答：的长度为；的度数为．
直接利用旋转的性质求解；
根据旋转的性质和等边三角形的判定方法得到为等边三角形，则，再判断垂直平分，根据等腰直角三角形的性质得到，，，而，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质．
 

24.【答案】解：设每件乙种商品的进价为元，则每件甲种商品的进价为元，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：．
答：每件甲种商品的进价为元，每件乙种商品件的进价为元．

设购进乙种商品个，则购进甲种商品个．
由题意得：．
解得．
答：商场最多购进乙商品个；

由知，，
解得：．
为整数，，
或．
共有种方案．
方案一：购进甲种商品个，乙商品件个；
方案二：购进甲种商品个，乙种商品个． 

【解析】设每件乙种商品的进价为元，则每件甲种商品的进价为元，根据题意建立方程求出其解就可以了．
本题中“根据进两种商品的总数量不超过个”可得出不等式；
根据“使销售两种商品的总利润利润售价进价超过元”可以得出关于利润的不等式，组成不等式组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案．
本题考查了列分式方程解应用题与列不等式组解实际问题的运用，重点在于准确地找出相等关系与不等关系．
 

25.【答案】证明：在平行四边形中，点是对角线的中点，
，，
，
在与中，
，
≌，
且，
四边形是平行四边形；
解：如图，过点作于点，

，，，
，
，
，，
，
，
，
证明：，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
． 

【解析】通过证明≌，得，又，即可证明四边形是平行四边形；
过点作于点，先根据勾股定理求出，由得，即可求出答案；
根据，，得，，则有，再证，得出．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键．