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2023高考一轮重点难点题型考点突破--13 三角函数与解三角形大题归类
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【题型一】 图像与性质1:给图求解析式和值域(最值)
【典例分析】
1.已知函数的部分图象如图所示.
(1)求;
(2)将函数图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的最小值.
【提分秘籍】
基本规律
1.注意正余弦“第一零点”和“第二零点”的区别和联系。
2.对称轴在最大值最小值处的区别和联系
【变式演练】
1.已知函数的部分图象如图.
(1)求函数的解析式;
(2)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位,得到函数的图象,当时,求值域.
2.已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及对称中心坐标:
(2)先把的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图象,若当时,求的值域.
3.已知函数的图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)首先将函数的图象上每一点横坐标缩短为原来的,然后将所得函数图象向右平移个单位,最后再向上平移个单位得到函数的图象,求函数在内的值域.
【题型二】 图像与性质2:二倍角降幂公式恒等变形
【典例分析】
已知函数的最小正周期是π.
(1)求ω值;
(2)求f(x)的对称中心和单调递增区间;
(3)将f(x)的图象向右平移个单位后,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求若,|g(x)﹣m|1.
(1)当t=3时.求;
(2)是否存在正整数,使得角C为钝角?如果存在,求出的值,并求此时的面积;如果不存在.说明理由.
【题型十四】 四边形转化为解三角形
【典例分析】
如图,在四边形中,.
(1)求证:;
(2)若,求的长.
【提分秘籍】
基本规律
四边形,一般适当的连接对角线,分解为有公共边俩三角形。如果是有外接圆,则要充分运用对角互补这个隐形条件
【变式演练】
1.如图,在平面四边形ABCD中,,,,.
(1)求的正弦值;
(2)求AB的长及的面积.
2.如图,在中,对边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)已知,若为外接圆劣弧上一点,且,求四边形的面积.
3.如图,在平面四边形ABCD中,已知,点E在AB上且AE=2BE,.
(1)求的值;
(2)求的周长.
【题型十五】 解三角形:四边形求最值
【典例分析】
如图,在凸四边形中,为定点,,为动点,满足.
(1)写出与的关系式;
(2)设和的面积分别为和,求的最大值.
【变式演练】
1.在平面四边形中,,,,
(1)求的长;
(2)求的最大值.
2.在①,②,③三个条件中任选一个补充在下面的横线上,并加以解答.
在中,角,,的对边分别为,,且______,作,使得四边形满足,, 求的取值范围.
3.如图,在四边形中,CD=33,BC=7,cs∠CBD=−714.
(1)求;
(2)若∠A=π3,求△ABD周长的最大值.
【题型十六】 三角形中证明题
【典例分析】
在平面四边形中,已知AD//BC,∠CBD=∠BDC=α,∠ACD=β.
(1)若α=30∘,β=75∘,3AC+2CD=5,求的长;
(2)若α+β>90∘,求证:AB1,
(i)证明:tanA2tanC2=m−1m+1;
(可能运用的公式有sinα+sinβ=2sinα+β2csα−β2)
(ii)是否存在函数φm,使得对于一切满足条件的m,代数式csA+csC+φmφmcsAcsC恒为定值?若存在,请给出一个满足条件的φm,并证明之;若不存在,请给出一个理由.
2.在中,A为定角且,求证:.
3.在中,为上一点,,,是线段的延长线上一点.
(1)证明:∠MEG=∠HEG;
(2)若HG=3,EH=2,求EG.
【题型十七】 解三角形综合
【典例分析】
D为边上一点,满足,,记,.
(1)当时,且,求CD的值;
(2)若,求面积的最大值.
【变式演练】
1.设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,点D为边BC上一点,.
(1)求的大小;
(2)若,,求|AB|.
2.如图,在中,,,D,E分别在边BC,AC上,,且.
(1)求;
(2)求的面积.
3.如图,在ΔABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,为ΔABC内一点,∠BPC=90°.
(1)若PC=32,求PA;
(2)若∠APB=120°,求ΔABP的面积.
【题型十八】 建模应用
【典例分析】
北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕,运动员休息区本着环保,舒适,温馨这一出发点,进行精心设计,如图,在四边形休闲区域,四周是步道,中间是花卉种植区域,为减少拥堵,中间穿插了氢能源环保电动步道,且.
(1)求氢能源环保电动步道的长;
(2)若,求花卉种植区域总面积(电动步道的面积忽略不计).
【变式演练】
1.某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图,AO、OB为直线岸线,OA=1000米,OB=1500米,∠AOB=π3,该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB,过弧AB上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱,已知∠APB=2π3.
(1)求岸线上点与点之间的直线距离;
(2)如果线段PA上的网箱每米可获得40元的经济收益,线段PB上的网箱每米可获得30元的经济收益.记∠PAB=θ,则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少?(精确到元)
2.如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=,.计划在上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ.
(1)当θ=时,求∠OPQ的大小;
(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,角θ的正弦值.
3.某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾,决定进行围海造陆以增加陆地面积.如图,两海岸线,所成角为,现欲在海岸线,上分别取点,修建海堤,以便围成三角形陆地,已知海堤长为6千米.
(1)如何选择,的位置,使得的面积最大;
(2)若需要进一步扩大围海造陆工程,在海堤的另一侧选取点,修建海堤,围成四边形陆地.当海堤与的长度之和为10千米时,求四边形面积的最大值.
模拟题
1.函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)先将函数图象上所有点向右平移个单位长度,再将横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数的图象,当时,求函数的单调递增区间.
2.已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及对称中心坐标:
(2)先把的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图象,若当时,关于的方程有实数根,求实数的取值范围.
3.函数,.
(1)把的解析式改写为(,)的形式;
(2)求的最小正周期并求在区间上的最大值和最小值;
(3)把图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图象,再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度,得到函数的图象,若函数在区间上至少有个零点,求的最小值.
4.已知函数的最小正周期是π.
(1)求f(x)的对称中心和单调递增区间;
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求若,|g(x)﹣m|
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