2020-2021学年22.3 相似三角形的性质优秀教学课件ppt

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1.掌握相似三角形的性质定理1、2；（重点）2.运用相似三角形的性质解决实际问题.(难点)
问题1： ΔABC与ΔA1B1C1相似吗？
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
ΔABC∽ ΔA1B1C1
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
2.如果CD和C1D1分别是他们的对应角平分线呢？ 3.如果CD和C1D1分别是他们的对应中线呢？
∵△ A′B′C′∽△ABC，
又∵ ∠AD′B =∠ADB =90°,
∴△A′B′D′∽△ABD (两角对应相等的两个三角形相似).
由此得到： 相似三角形对应高的比等于相似比．
　　类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．
例1：如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC，已知CD=2,AB=6，AC=4，求DE的长.
解: 在Rt△ABC与Rt△ACD中，
∴ △ABC∽△ACD.
∵ CD=2, AB=6，AC=4，
∵ ∠A=∠A, ∠ACD= ∠ADC=90°,
如图,电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是 m.
例1：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
（1）AE是ΔASR的高吗？为什么？
（2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
（3）求正方形PQRS的边长.
解： AE是ΔASR的高. 理由： ∵AD是ΔABC的高 ∴ ∠ADC=90 ° ∵四边形PQRS是正方形 ∴SR ∥BC ∴∠AER=∠ADC=90 ° ∴ AE是ΔASR的高
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
解： ΔASR与ΔABC相似 . 理由如下: ∵ SR∥BC， ∴ ΔASR∽ΔABC.
解：∵ ΔASR ∽ ΔABC AE、AD分别是ΔASR 和ΔABC 对应边上的高 ∴ 设正方形PQRS的边长为xcm, 则SR=DE=xcm AE=（40-x）cm ∴ 解得x=24. ∴正方形PQRS的边长为24cm.
如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？
如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm.
分析：情况一：SR=2SP
分析：情况二：SP=2SR
如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm
问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？
图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即 求证： 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠A′B′C′= ∠ABC, ∠B′A′C′= ∠BAC． 又BE,B'E'分别为对应角的平分线， ∴ △ABE∽△A′B′E′.
由此得到： 相似三角形对应的中线的比也等于相似比．
同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比．
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即 求证： 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′. ∴ ∠A′B′C′= ∠ABC, ． 又AD,AD′分别为对应边的中线. ∴ △ABD∽△A′B′D′.
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
例3：两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为xcm，则由相似性质有解得x＝18.较长的角平分线长为24cm.故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
ΔABC∽ ΔA1B1C1 ，BD和B1D1是它们的中线， 已知 ,B1D1 =4cm，则BD= cm.
2.ΔABC∽ ΔA1B1C1, AD和A1D1是对应角平分 线，已知AD=8cm， A1D1=3cm ,则 ΔABC与 ΔA1B1C1的对应高之比为 .
问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形， 它们都相似吗？
(1)与(2)的相似比=______,(1)与(2)的周长比=______，(1)与(3)的相似比=______,(1)与(3)的周长比=______.
结论： 相似三角形的周长比等于______．
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
求证：相似三角形的周长比等于相似比.
想一想：怎么证明这一结论呢？
例3.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，求△DEF的周长．
解：在△ABC和△DEF中，
∵ AB＝2DE，AC＝2DF
∴ △DEF∽△ABC，相似比为∴△DEF的周长= △ABC的周长， △DEF的周长=12.
3．两个相似三角形对应中线的比为 ，则对应高的比为______ .
2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的角平分线的比为______.
1．两个相似三角形的相似比为 , 则对应高的比为_________, 则对应中线的比为_________.
4.判断一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍；
一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5
扩大5倍周长＝5×原周长
解：∵ △ABC∽△DEF， 　
（相似三角形对应角平线的比等于相似比），
5.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.
6. 若△ABC ∽△ A′B′C′ ，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，B′C′=24cm，求BC，AC，A′B′,A′C′的长.
解：∵ △ABC ∽△ A′B′C′ ，它们的周长分别为60cm和72cm，∵AB=15cm，B′C′=24cm，∴BC = 20cm， AC = 25cm， A′B′=18cm，A′C′=30cm.
7.如图，AD是△ABC的高，AD=h, 点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当 时，求DE的长.如果 呢？ 　
∴△ASR∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似).
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
∴SR∥BC.
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
(相似三角形对应高的比等于相似比)，
当 时，得 解得
8. 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图（1）、（2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）
9.AD是ΔABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求图中小正方 形的边长.