章末复习提升

要点一　指数与对数的运算

指数运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算，注意公式应用过程中适合的条件，前后要等价，熟练运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.

例1 求下列各式的值：

(1)－2－2×()0÷；

(2)log535＋2log0.5－log5－log514＋5log53.

解　(1)原式＝－2×－2×1×

＝－2×－2×＝0.

(2)原式＝log535＋log2＋log550－log514＋3

＝log5－1＋3＝log553＋2＝5.

训练1 (1)化简：()－×()÷；

(2)计算：lg ＋2lg 2－.

解　(1)原式＝×÷10

＝2－1×103×10－＝2－1×10＝.

(2)lg ＋2lg 2－

＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2

＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1.

要点二　指数函数、对数函数的图象

指数函数、对数函数的图象既是直接考查的对象，考查图象的识别判断，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换.

例2 (1)已知a>0，且a≠1，则函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是(　　)

(2)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)

A.{x|－1<x≤0}

B.{x|－1≤x≤1}

C.{x|－1<x≤1}

D.{x|－1<x≤2}

答案　(1)C　(2)C

解析　(1)函数g(x)的定义域是(－∞，0)，排除A，B；

若0<a<1，则f(x)＝ax是减函数，

此时g(x)＝loga是减函数，C，D都不满足；

若a>1，则f(x)＝ax是增函数，

此时g(x)＝loga是增函数，C满足.

(2)令y＝log2(x＋1)(x>－1)，作出函数y＝log2(x＋1)(x>－1)的图象，如图.

由解得

结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}.

训练2 在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)

答案　D

解析　幂函数f(x)＝xa的图象不过(0，1)点，故A错；

B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错；D对；

C项中由对数函数f(x)＝logax的图象知a>1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错.

要点三　指数函数、对数函数的性质

对于指数函数和对数函数，注意底数a对函数单调性的影响；对于幂函数y＝xα，注意指数α对函数单调性的影响.根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集.

例3 若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)

A.a>2b   B.a<2b

C.a>b2   D.a<b2

答案　B

解析　由题设知2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log4b2.

又log4b2＝log2b＝log2(2b)－1，

所以2a＋log2a＝22b＋log2(2b)－1，

从而2a＋log2a<22b＋log2(2b).

令函数f(x)＝2x＋log2x，x∈(0，＋∞)，

则有f(a)<f(2b)，

显然f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以a<2b.

例4 已知函数f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(3－ax)(a>0且a≠1).

(1)求当x<0时的f(x)的解析式；

(2)在①f(x)在(1，4)上单调递增；②在区间(－1，1)上恒有f(x)≥x2这两个条件中任选一个补充到本题中，求g(a)＝的取值范围.(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)

解　(1)当x<0时，－x>0，

又当x≥0时，f(x)＝loga(3－ax)，

且f(x)是偶函数，

∴f(x)＝f(－x)＝loga(3＋ax)，x<0.

(2)选条件①：由于f(x)在(1，4)上单调递增，

显然a>1不符合题意，则

解得0<a≤.

此时g(a)＝的取值范围是 .

选条件②：若0<a<1，则f(0)＝loga3<0，显然不符合要求.

当a>1时，因为f(x)与y＝x2都是偶函数，

所以只需满足x∈[0，1)时，f(x)≥x2即可.

因为函数f(x)在[0，1)上单调递减，且y＝x2在[0，1)上单调递增，

所以F(x)＝f(x)－x2在[0，1)上单调递减.

则即

解得1<a≤.

此时g(a)＝的取值范围是.

训练3 已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1.

(1)求a的值；

(2)若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域.

解　(1)因为loga3>loga2，

所以f(x)＝logax在[a，3a]上单调递增.

又f(x)在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，

所以loga(3a)－logaa＝1，

则loga3＝1，所以a＝3.

(2)函数y＝(log3x)2－log3＋2

＝(log3x)2－log3x＋2

＝＋.

令t＝log3x，x∈[1，3]，则0≤t≤1.

所以y＝＋在上递减，

在上递增，

∴≤y≤.

故所求函数的值域为.

要点四　函数的零点与方程的根

　函数的零点与方程的根的关系及应用

(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.

(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.

例5 (1)函数f(x)＝的零点个数是________；

(2)已知函数f(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.

答案　(1)2　(2)(3，＋∞)

解析　(1)①当x≤0时，由f(x)＝x2－2＝0，解得x＝－.

②法一　(函数单调性法)当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x.

因为f(1)＝2×1－6＋ln 1＝－4<0，f(3)＝2×3－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f(1)·f(3)<0.

又函数f(x)的图象是连续的，故由零点存在定理，可得函数f(x)在(1，3)内至少有一个零点.

由于函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，

故函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)内有且只有1个零点.

综上，函数f(x)共有2个零点.

法二　(数形结合法)当x>0时，由f(x)＝0，得2x－6＋ln x＝0，

即ln x＝6－2x.

如图，分别作出函数y＝ln x和y＝6－2x的图象.

显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在y轴的右侧，

故当x>0时，f(x)＝0只有一个解.

综上，函数f(x)共有2个零点.

(2)如图，当x≤m时，f(x)＝|x|.

当x＞m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，

在(m，＋∞)为增函数.

若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，

则m2－2m·m＋4m＜|m|.

∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3.

训练4 (1)用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A.x1   B.x2

C.x3   D.x4

答案　C

解析　能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0.

又x3左右两侧的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件.

(2)函数f(x)＝－lg x的零点所在的区间是(　　)

A.(7，8)   B.(8，9)

C.(9，10)  D.(10，11)

答案　C

解析　易知函数f(x)＝－lg x在定义域上是减函数，

且函数f(x)在(0，＋∞)上图象连续不断，

∴函数f(x)在定义域内至多有一个零点，

∵f(9)＝1－lg 9>0，f(10)＝0.9－1＝－0.1<0，

∴f(9)·f(10)<0，

故函数的零点在区间(9，10)内.

要点五　函数模型的应用

　利用函数模型解实际应用题，关键要分清函数类型，并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件，然后根据问题条件，建立函数模型，最后结合其实际意义作出解答.

例6 某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月污染度为60，整治后前四个月的污染度如表所示：

污染度为0后，该工厂停止整治，但污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)＝20|x－4|(x≥1)；g(x)＝(x－4)2(x≥1)；h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度.

(1)试问选用哪个函数模拟比较合理， 并说明理由；

(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？(注：log23≈1.58)

解　(1)选择函数h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)模拟比较合理.

理由如下：

因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30，

f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)＝30|log23－2|≈12.6，

由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理.

(2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，h(16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60.

训练5 国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a的彩色大气球，放在自己的房间内，由于气球密封不好，经过t天后气球体积变为V＝ae－kt.若经过25天后，气球体积变为原来的，则至少经过________天后，气球体积小于原来的(lg 3≈0.477，lg 2≈0.301，结果保留整数).

答案　68

解析　由已知得ae－25k＝a，

则e－25k＝，

∴－25k＝ln .①

设t0天后气球的体积变为原来的，

则V＝ae－kt0＝a，即e－kt0＝，

则－kt0＝ln ，②

①②两式相除可得＝，

∴＝＝≈≈0.369，

所以t0≈68，即至少经过68天后，气球体积小于原来的.