【最新版】高中数学高三培优小题练第81练　计数原理、排列与组合

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考点一 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
1．王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋里装有30张英语单词卡片，右边口袋里装有20张英语单词卡片，这些卡片上英语单词都互不相同，则从两个口袋里任取一张英语单词卡片，不同取法的种数为( )
A．20 B．30 C．50 D．600
答案 C
解析 从口袋里任取一张英语单词卡片的方案分两类：
第一类，从左边口袋里取一张英语单词卡片，有30种不同的取法；
第二类，从右边口袋里取一张英语单词卡片，有20种不同的取法．
由分类加法计数原理知，从两个口袋里任取一张英语单词卡片的取法种数为30＋20＝50.
2．某公司新招聘8名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门，另外3名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是( )
A．18 B．24 C．36 D．72
答案 C
解析 由题意可得，分两类：①甲部门要1名英语翻译人员，2名电脑编程人员， 共有2×3×3＝18(种)．
②甲部门要1名英语翻译人员，1名电脑编程人员，共有2×3×3＝18(种)．
由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有18＋18＝36(种)．
3．已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则对于方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1的说法不正确的是( )
A．可表示3个不同的圆
B．可表示6个不同的椭圆
C．可表示3个不同的双曲线
D．表示焦点位于x轴上的椭圆有3个
答案 C
解析 当m＝n>0时，方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示圆，故有3个，选项A正确；
当m≠n且m，n>0时，方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示椭圆，焦点在x，y轴上的椭圆分别有3个，故有3×2＝6(个)，选项B正确；
若椭圆的焦点在x轴上，则m>n>0，当m＝4时，n＝2,3；
当m＝3时，n＝2，即所求的椭圆共有2＋1＝3(个)，选项D正确；
当mn<0时，方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线，故有3×1＋1×3＝6(个)，选项C错误．
考点二 排列
4．设n∈N*，且n<19，则(19－n)·(20－n)…(2 022－n)等于( )
A．Aeq \\al(2 004,2 022－n) B．Aeq \\al(2 004－n,2 022－n)
C．Aeq \\al(19,2 022－n) D．Aeq \\al(2 003,2 022－n)
答案 A
解析 先确定最大数，即2 022－n，再确定因式的个数，即(2 022－n)－(19－n)＋1＝2 004，所以原式＝Aeq \\al(2 004,2 022－n).
5．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 A
解析 四人站成一排共有Aeq \\al(4,4)＝24(种)站法，甲、乙都不站在两端有Aeq \\al(2,2)×Aeq \\al(2,2)＝4(种)站法，所以甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为eq \f(24－4,24)＝eq \f(5,6).
6．将1,2,4,7,0这5个数组成不同的五位偶数的个数为( )
A．24 B．54 C．60 D．72
答案 C
解析 个位数字为0时，个数为Aeq \\al(4,4)＝24，个位数字不为0时，个数为3×Aeq \\al(3,3)×2＝36，所以共有24＋36＝60(种)．
7．为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行．若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题班会、主题团日安排的阶段相邻，则不同的安排方案共有( )
A．12种 B．28种
C．20种 D．16种
答案 C
解析 若中心组学习安排在第1阶段，则其余四种活动的安排方法有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)＝12(种)；若中心组学习安排在第2阶段，则主题班会、主题团日可安排在第3,4阶段或者第4,5阶段，专题报告会、党员活动日分别安排在剩下的2个阶段，不同的安排方法有2Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝8(种)．故共有12＋8＝20(种)不同的安排方案．
考点三 组合
8．若 Ceq \\al(7,x)＝Ceq \\al(7,11)＋Ceq \\al(6,11)，则x的值是( )
A．x＝13 B．x＝12
C．x＝11 D．x＝10
答案 B
解析 ∵Ceq \\al(7,x)＝Ceq \\al(7,11)＋Ceq \\al(6,11)，
由组合数公式Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)，得x＝12.
9．从5名男生和4名女生中选出4人参加辩论赛，如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，那么不同选法的种数为( )
A．20 B．60 C．78 D．91
答案 D
解析 在9人选4人的所有选法中，去掉甲和乙都不在内的选法，于是符合条件的选法种数为Ceq \\al(4,9)－Ceq \\al(4,7)＝91.
10．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品．从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论不正确的有( )
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,98)种
B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,99)种
C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,98)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,98)种
D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有Ceq \\al(3,100)－Ceq \\al(3,98)种
答案 B
11．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数为( )
A．Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6) B．Aeq \\al(3,9)Aeq \\al(3,6)
C.eq \f(C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(3,3)) D．Aeq \\al(3,9)Aeq \\al(3,6)Ceq \\al(3,3)
答案 C
12．(2022·盐城模拟)如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有( )
.
A．40 320种 B．5 040种
C．20 160种 D．2 520种
答案 D
解析 先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有Ceq \\al(1,7)＝7(种)方法，
再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有Aeq \\al(6,6)种方法，
由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，
所以不同的涂色方法共有eq \f(7×A\\al(6,6),2)＝2 520(种)．
13．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a不能去甲单位，则不同的选派方式共有( )
A．280种 B．350种
C．70种 D．80种
答案 B
解析 由题意，先安排甲单位，从a医生之外的7名医生中任选3人，有Ceq \\al(3,7)种方法．
再安排乙单位，从剩下的5名医生中任选3人，有Ceq \\al(3,5)种方法．
最后安排丙单位，剩下的2名医生去丙单位，有1种方法．
由分步乘法计数原理，共有Ceq \\al(3,7)Ceq \\al(3,5)×1＝350(种)选派方法．
14．为迎接元旦的到来，某学校高中部决定举行歌唱比赛．已知高中三个年级各推选了2个班级，共6个班级进行比赛．现要求同一年级的2个班级的节目不连排，则节目编排的不同方法共有( )
A．240种 B．248种
C．432种 D．712种
答案 A
解析 不妨记高一、高二、高三每个年级推选的2个班级分别为A1，A2，B1，B2，C1，C2.可根据A1，A2之间的班级个数进行分类讨论．
当A1，A2之间有1个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(1,2)·eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(A\\al(2,2)＋))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(C\\al(1,2)·A\\al(2,2)))＝96(种)；
当A1，A2之间有2个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2)·eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(A\\al(2,2)＋))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(C\\al(1,2)·A\\al(2,2)))＝96(种)；
当A1，A2之间有3个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,4)·Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)＝32(种)；
当A1，A2之间有4个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,2)＝16(种)．
综上，不同的排法共有96＋96＋32＋16＝240(种)．