必刷卷04-2022年高考数学考前信息必刷卷（新高考地区专用）（解析版）

绝密★启用前

2021年高考数学考前信息必刷卷

第四模拟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据图像可知，阴影部分表示，，所以.故选：A

2．若（是虚数单位），则复数的模为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，

所以，故选D.

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，可得，

.故选：A.

4．已知平面向量，满足，且，，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【解析】由及，可得，可得，

，故选：C.

5．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.按照香农公式，在不改变的情况下，将信噪比从1999提升至，使得大约增加了20%，则的值约为（参考数据：，）（    ）

A．7596 B．9119 C．11584 D．14469

【答案】B

【解析】由题可知 ，即，所以，即，

所以，所以.故选：B

6．已知点，分别是双曲线C： (，)的左､右焦点，M是C右支上的一点，与y轴交于点P， 的内切圆在边上的切点为Q，若，则C的离心率为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【解析】设的内切圆在边上的切点为，在上的切点为， 如图所示：

则 ，，

由双曲线的对称性可得，

由双曲线的定义可得

，解得，

又，即有， 离心率． 故选C．

7．在二项式的展开式中，各项系数的和为128，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】二项式的展开式中第项为，

则，则，则展开式中有项，

当时，，即有理项有项，无理项有项，

项重新排列共种排列数，先排列无理项共种排列数，要使得有理项不相邻，

则项有理项的排列数为，所以有理项都互不相邻的概率为，

故选: D.

8．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】函数有两个零点

由题意得方程有两个根.

设，则

设，则

所以在上单调递减，又

当，所以在上单调递增,

当，所以在上单调递减,

又，，当时，，则

所以存在，，即在上，

又当时，幂函数、对数函数的增加速度的快慢，可知时，

作出函数的大致图象如下.

所以方程有两个根，即的图象与有两个交点，

所以实数的取值范围是，故选：B

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分．

9．CPI是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标.同比一般情况下是今年第n月与去年第n月比；环比，表示连续2个统计周期(比如连续两月)内的量的变化比.如图是根据国家统计局发布的2019年4月—2020年4月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图，根据该折线图，则下列说法正确的是（    ）

A．2020年1月CPI同比涨幅最大

B．2019年4月与同年12月相比较，4月CPI环比更大

C．2019年7月至12月，CPI一直增长

D．2020年1月至4月CPI只跌不涨

【答案】AB

【解析】对于，由同比折线可发现2020年1月CPI同比涨幅最大，故正确；

对于，由图可知2019年4月环比涨幅为，2019年12月为，故正确；

对于，由环比定义可知，2019年10月至12月间，下跌，故错误；

对于，由环比定义可知，2020年1月至4月间，3月到4月增涨，故错误；故选AB．

10．记数列的前项和为，若存在实数H，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”.下列说法正确的是（    ）

A．若是等差数列，且公差，则是“和有界数列”

B．若是等差数列，且是“和有界数列”，则公差

C．若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”

D．若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比

【答案】BC

【解析】对于AB选项分析如下：若是等差数列，则.

对于A选项，当时，，若，根据一次函数的性质可知，此时不存在符合题意的.所以A选项错误.

对于B选项，是“和有界数列”，而，若，根据二次函数的性质可知，此时不存在符合题意的，故.所以B选项正确.

对于CD选项分析如下：若是等比数列，则.

对于C选项，若，则当时，，故存在实数H，使得对任意的，都有，即是“和有界数列”.所以C选项正确.

对于D选项，若是等比数列，且是“和有界数列”，的取值可能为，此时，所以存在实数H，使得对任意的，都有.所以D选项错误.

故选：BC

11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”.如图在堑堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1=AB=2.下列说法正确的是（    ）

A．四棱锥B-A1ACC1为“阳马”

B．四面体A1C1CB为“鳖膈”

C．四棱锥B-A1ACC1体积最大为

D．过A点分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，则EF⊥A1B

【答案】ABD

【解析】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”.

所以在堑堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，侧棱平面.

在选项A中. 所以，又AC⊥BC，且,则平面.

所以四棱锥B-A1ACC1为“阳马”，故A正确.

在选项B中. 由AC⊥BC，即，又且,所以平面.

所以，则为直角三角形.

又由平面，得为直角三角形.

由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形 .

所以四面体A1C1CB为“鳖膈”，故B正确.

在选项C中. 在底面有,即当且仅当时取等号.

,所以C不正确.

在选项D中.由上面有平面，则,AF⊥A1C且,则平面

所以,AE⊥A1B且,则平面,则,所以D正确.故选：ABD.

12．已知，下面结论正确的是（    ）

A．若，，且的最小值为π，则ω=2

B．存在ω∈(1,3)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称

C．若f(x)在上恰有7个零点，则ω的取值范围是

D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是(0,]

【答案】BCD

【解析】依题意，，.

对于A选项，若，，

且的最小值为，

则，

故A选项错误.

对于B选项，当时，，

向右平移个单位长度后得到，

其为偶函数，图象关于轴对称.故B选项正确.

对于C选项，，则，

若在上有恰有个零点，则，

解得，故C选项正确.

对于D选项，，则，

若在上递增，则，

即 ，由于，故.

所以D选项正确.故选：BCD

三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______________.

【答案】

【解析】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，

所以圆的圆心为，半径为，故圆的标准方程为.

14．我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山，中岳嵩山.某位老师在课堂中拿出这五岳的图片，打乱顺序后在图片上标出数字1—5，他让甲､乙､丙､丁､戊这五位学生来辨别，每人说出两个，学生回答如下：

甲：2是泰山，3是华山；

乙：4是衡山，2是嵩山；

丙：1是衡山，5是恒山；

丁：4是恒山，3是嵩山；

戊：2是华山，5是泰山.

老师提示这五个学生都只说对了一半，那么五岳之尊泰山图片上标的数字是__________.

【答案】5

【解析】若甲：2是泰山是正确的，则戊：2是华山，5是泰山都是错的，故甲：3是华山是正确的；戊：5是泰山是正确的；丙：1是衡山是正确的；丁：4是恒山是正确的；乙： 2是嵩山是正确的，故五岳之尊泰山图片上标的数字是5.

15．2021·河南信阳·高三期末（文））函数满足下列性质：

（）定义域为，值域为．

（）图象关于对称．

（）对任意，，且，都有．

请写出函数的一个解析式__________（只要写出一个即可）．

【答案】

【解析】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式，

此时对称轴为，开口向上，满足（），

因为对任意，，且，都有，

等价于在上单调减，

∴，满足（），

又，满足（），故答案为．

16．已知水平地面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C.如图椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，OE=3.若光线与地面所成角为θ，则______________，椭圆的离心率e=___________.

【答案】       

【解析】连接，则，因为，，所以

所以

在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，

，如图．

椭圆的长轴长是，过向做垂线，垂足是，

由题意得：，，

又

所以

即，，

椭圆的离心率为

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，.

（1）求C；

（2）若，求c.

【解析】（1）∵，；

结合正弦定理得：，

∴；

∵；

∴；

（2）由（1）得：；

∵；；

∴；

∴；∴（负值舍）.即.

18．甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列的前n项和为，已知_____，

（1）判断，，的关系；

（2）若，设，记的前n项和为，证明：.

甲同学记得缺少的条件是首项a1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是，，成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题.

【解析】（1）由题意可得，，，

可得，即，，成等差数列；

（2）证明：由，可得，解得，

，

则，

，

上面两式相减可得

，

化简可得，

由，可得.

19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点.

（1）证明：点F在线段上移动时，为直角三角形；

（2）若F为线段的中点，求二面角的余弦值.

【解析】（1）证明：因为，E为线段的中点，所以，

因为底面，平面，所以，

又因为底面为正方形，所以，

又，所以平面，

∵平面，∴，

因为，所以平面，

因为平面，所以，

所以点F在线段上移动时，为直角三角形.

（2）由题意，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，令，

则，，，，

易知平面的一个法向量为；

设平面的法向量为，则，可得：，，

取，

所以，

由图可知：二面角的平面角为钝角，因此余弦值为.

20．已知椭圆：（）的右顶点与抛物线：（）的焦点重合.的离心率为，过的右焦点F且垂直于x轴的直线截所得的弦长为.

（1）求椭圆和抛物线的方程；

（2）过点的直线l与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线过定点.

【解析】（1）由的离心率为，可得，所以，

因为椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，所以，，

所以可得，

过的右焦点F且垂直于x轴的直线截所得的弦长为，k令代入抛物线的方程：可得，所以，

即，解得，所以，

由可得，

所以椭圆和抛物线的方程分别为：，；

（2）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：，设，，由题意可得，

直线与椭圆联立：，

整理可得：，，

可得，，，

直线的方程为：，

整理可得：

所以当时，，即过定点，

所以可证直线过定点.

21．调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析、鉴定，调配、研发，周而复始、反复对比.对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设，分别以，，，表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.（如第二次排序时的序号为1，3，2，4，则）.

（1）写出X的所有可能值构成的集合；

（2）假设，，的排列等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的数学期望；

（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有.

（i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；

（ⅱ）请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由.

【解析】（1）X的可能值集合为，

在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，

所以，中的奇数个数等于，中的偶数个数，

因此与的奇偶性相同，

从而必为偶数，X的值非负，且易知其值不大于8.

由此能举出使得X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子.

（2）可用列表列出1，2，3，4的一共24种排列，如下表所示：

计算每种排列下的X值如上表所示，在等可能的假定下，得到

.

（3）（ⅰ）首先，将三轮测试都有的概率记做p，

由上述结果和独立性假设，得.

（ⅱ）由于是一个很小的概率，

这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小，

所以我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.

22．已知函数，.

（1）如果关于x的不等式在恒成立，求实数a的取值范围；

（2）当时，证明：.

【解析】（1）由，得.

整理，得恒成立，即.

令.则.

函数在上单调递减，在上单调递增.

函数最小值为.

，即.

的取值范围是

（2）由（1），当时，有，即.

要证，

即证时即，.

构造函数.

则.

当时，.在上单调递增.

在上成立，即，证得.

当时，成立.

构造函数.

则

当时，，在上单调递减.

，即

当时，成立.

综上，当时，有.